数学物理方法概论ppt课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、数学物理方法概论数学物理方法概论之之(积分方程法积分方程法积分方程法积分方程法)主讲教师:白璐主讲教师:白璐主讲教师:白璐主讲教师:白璐联络电话:联络电话:联络电话:联络电话:1529145699615291456996Email:bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 积分方程积分方程 积积分分方方程程是是研研究究数数学学其其它它学学科科和和各各种种物物理理问问题题一一个个主主要要数数学学工工具具。它它在在弹弹性性介介质质理理论论和和流流体体力力学学中中应应用用很很广广,也也常常见见于于电电磁磁场场理理论论物物理理中中。本节将介绍求解积分方程理论和普通方法。本节将介绍求解
2、积分方程理论和普通方法。第第2页页/10/1031、基本概念;基本概念;2、迭代法;迭代法;3、算子范数;算子范数;4、巴拿赫空间中迭代法;巴拿赫空间中迭代法;5、非线性方程迭代法;非线性方程迭代法;6、可分核;可分核;7、普遍有限秩;普遍有限秩;8、全连续算子;全连续算子;9、全连续厄米算子;全连续厄米算子;10、全连续算子弗雷德霍姆择一定理;、全连续算子弗雷德霍姆择一定理;11、积分方程数值计算;、积分方程数值计算;第五章第五章 积分方程积分方程 第第3页页/10/104 5 积分方程法积分方程法 5.1 基本概念基本概念 一、积分方程定义一、积分方程定义 在方程中,若未知函数在积分号下出
3、现,则称这种方程为在方程中,若未知函数在积分号下出现,则称这种方程为积分方程。积分方程。普通线性积分方程,可写为以下形式普通线性积分方程,可写为以下形式其中,和其中,和 已知。已知。是未知函数,是未知函数,积分方程核,也是已知函数。积分方程核,也是已知函数。被称为被称为本征值作用)本征值作用)是常数因子(经常起一是常数因子(经常起一第第4页页若未知函数仅出现在积分号内,称为第一类方程。若未知函数仅出现在积分号内,称为第一类方程。若未知函数既出现在积分号内,又出现在积分号外称为第二类方程。若未知函数既出现在积分号内,又出现在积分号外称为第二类方程。积分限为常数,称为积分限为常数,称为Fredho
4、lm 弗雷德霍姆方程。弗雷德霍姆方程。积分限中有一个是变数,称为积分限中有一个是变数,称为volterra伏特拉方程伏特拉方程/10/105 5 积分方程法积分方程法 5.1 基本概念基本概念 积分方程核,积分方程核,是是 连续函数。连续函数。或平方可积,称核或平方可积,称核为非奇性核或为非奇性核或fredholm核。核。另外,还有弱奇性核及另外,还有弱奇性核及Cauchy奇性核奇性核二、积分方程分类二、积分方程分类 1)按照积分上下限按照积分上下限2)按照未知函数是否在积分内按照未知函数是否在积分内第一第一 类类 第二第二 类类 3)按照积分核进行分类按照积分核进行分类第第5页页/10/10
5、6 5.1 基本概念基本概念 三、积分方程算子形式三、积分方程算子形式 积分方程也可采取算符形式来表示。即积分方程也可采取算符形式来表示。即 其中其中K为积分算子为积分算子 若算子方程若算子方程 逆存在,则问题在形式上就处理逆存在,则问题在形式上就处理了。此时了。此时 5 积分方程法积分方程法 第第6页页/10/1075.2 退化核方程解法退化核方程解法 假如积分方程核含有以下形式假如积分方程核含有以下形式 则被称为是退化,含有退化核积分方程,可用初等方法来则被称为是退化,含有退化核积分方程,可用初等方法来求解。求解。以下经过详细例子来说明怎样求解退化核方程。以下经过详细例子来说明怎样求解退化
6、核方程。例例.求解积分方程求解积分方程 解:令解:令则式则式(1)能够变为能够变为 (1)5 积分方程法积分方程法 (2)(3)第第7页页/10/108 5 积分方程法积分方程法 显然,采取迭代方法,将式显然,采取迭代方法,将式(3)代入代入(2),得,得这个方程组解是这个方程组解是代入式代入式(3)就能够得到积分方程解为就能够得到积分方程解为注意有两个注意有两个 值可使上式解变为无穷大。当值可使上式解变为无穷大。当 取一些特殊值取一些特殊值时,齐次积分方程有非零解,这么时,齐次积分方程有非零解,这么 值称为值称为积分方程本征值积分方程本征值,而对应非零解称作而对应非零解称作本征函数本征函数。
7、5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第8页页/10/109定理定理1.假如假如 5 积分方程法积分方程法 齐次方程齐次方程 有唯一解;有唯一解;若若 是本征值,则齐次方程是本征值,则齐次方程从上例能够看到,假如核是退化,则解一个积分方程问题就从上例能够看到,假如核是退化,则解一个积分方程问题就简化为解一个大家非常熟悉代数方程组问题。假如退化核有简化为解一个大家非常熟悉代数方程组问题。假如退化核有N项,显然将有项,显然将有N个本征值,当然它们不一定都不一样。既然退个本征值,当然它们不一定都不一样。既然退化核方程解是与对应线性代数方程组亲密相关,所以退化核化核方程解是与对应线性代数方程组亲密相
8、关,所以退化核方程许多性质可由对应代数方程组相关性质导出。弗雷德霍方程许多性质可由对应代数方程组相关性质导出。弗雷德霍姆将之简化为一系列理论,这些理论被人们称为姆将之简化为一系列理论,这些理论被人们称为弗雷德霍姆弗雷德霍姆定理定理,在此我们不作证实。,在此我们不作证实。不是本征值,则对于任何非齐次项不是本征值,则对于任何非齐次项 ,非非 最少有一个非平凡解即本征函数,且与一个本征值相对于,最少有一个非平凡解即本征函数,且与一个本征值相对于,线性独立本征函数只有一个。线性独立本征函数只有一个。5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第9页页/10/1010定理定理3.假如假如 是一个本征值,那么
9、非齐次方程有解充要条件是一个本征值,那么非齐次方程有解充要条件是:是:与转置齐次方程一切解正交,即与转置齐次方程一切解正交,即 定理定理2.假如假如 不是一个本征值,那么不是一个本征值,那么 也不是转置方程也不是转置方程 5 积分方程法积分方程法 最少有一个平凡解。最少有一个平凡解。一个本征值;假如一个本征值;假如 是一个本征值,则是一个本征值,则 也是转置方程一个本也是转置方程一个本征值,即征值,即 其中其中 满足式满足式5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第10页页/10/1011 5 积分方程法积分方程法 并对并对x 积分,便可得定理积分,便可得定理3正交关系。正交关系。实际上,定理
10、实际上,定理2是这么一个事实模拟,即矩阵和它转置含有是这么一个事实模拟,即矩阵和它转置含有一样本征值。假如我们以一样本征值。假如我们以 乘以乘以 需要指出是弗雷德霍姆定理仅严格地适合用于非奇异需要指出是弗雷德霍姆定理仅严格地适合用于非奇异积分方程。奇异积分方程理论是一个不一样问题。积分方程。奇异积分方程理论是一个不一样问题。对于含有退化核伏特拉方程,经常能经过求微分变为微对于含有退化核伏特拉方程,经常能经过求微分变为微分方程。我们仍以一个详细例子来说明。分方程。我们仍以一个详细例子来说明。5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第11页页/10/1012 5 积分方程法积分方程法 例例2.求解
11、积分方程求解积分方程解:令解:令代入原式,有代入原式,有 所以所以解此微分方程可得解此微分方程可得于是得于是得把它再代入原方程可求得把它再代入原方程可求得,所以,所以 5.2 退化核方程解法退化核方程解法 第第12页页/10/1013 5 积分方程法积分方程法 到到 于是得于是得5.3 含有位移核方程求解含有位移核方程求解 假如核仅仅是假如核仅仅是 一个函数,即所谓位移核且积分范一个函数,即所谓位移核且积分范围是围是,则能够应用傅立叶变换来求解。考虑方程,则能够应用傅立叶变换来求解。考虑方程 对此方程进行傅氏变换,并记对此方程进行傅氏变换,并记则由卷积定理有则由卷积定理有第第13页页/10/1
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