高等数学章节练习题及答案第九章.doc

高等数学章节练习题及答案第九章

作业9.1.1

1．指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（1）A＝{下周日福州下雨}；
（2）B＝{某公交车站恰好有5人等候公共汽车}；
（3）C＝{上抛一本书，一段时间后书落地}；
（4）D＝{没有水分，种子仍然发芽}；
（5）E＝{某战士射击一次，至少命中7环}．
解 （3）是必然事件，（4）是不可能事件，（1）（2）（5）是随机事件．

2．盒子中有5个白球，3个红球，从中随机取出三个球观察颜色，若记A＝{一红二白}、B={三红}、C ={三球同色}、D ={至少一白}，（1）写出三球颜色的样本空间；（2）请分别写出A~D的随机事件所包含的样本点数；（3）请指出A~D的随机事件中哪些事件是基本事件，哪些事件是互不相容事件，哪些事件是对立事件.
解 （1）样本空间＝{三白，一红二白，二红一白，三红}；
（2） A~D的随机事件所包含样本点数分别为1，1，2，3；
（3） A，B是基本事件，A与B、A与C是互不相容事件，B与D是对立事件．

3．设甲、乙、丙三人各向目标射一子弹，用A,B,C分别表示甲、乙、丙命中目标，试以A,B,C的运算关系表示下列各事件：
（1）{至少一人命中目标}=
（2）{恰有一人命中目标}=
（3）{三人均未命中目标}=
（4）{三人均命中目标}=
解 （1）{至少一人命中目标}=A＋B＋C；
（2）{恰有一人命中目标}=；
（3）{三人均未命中目标}= ；
（4）{三人均命中目标}=ABC．

4．某企业招聘，要求应聘人要全部通过3项考核，才能被录用．若用表示第项（）考核通过，就以下两种应聘程序，请用表示应聘者被淘汰的事件A．
(1)应聘者若全部通过这3项考核，则被录用，否则被淘汰；
(2)应聘者只要有一项考核没通过，就没有资格参加下一项的考核，随即被淘汰．
解 (1)；
　 (2) ．

作业9.1.2

1．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论赛，问：
（1）若4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
（2）若男生甲与女生乙必须在内，有多少种选法？
（3）若男生甲与女生乙至少有1人在内，有多少种选法？
解 （1）设事件 A=｛4人中男生和女生各选2人｝,则
（种选法）；
（2） 设事件 B=｛4人中男生甲与女生乙必须在内｝,则
（种选法）；
（3） 设事件C=｛男生甲与女生乙至少有1人在内｝，则
｛种选法｝．

2．一个酒店停车场有1－20号的停车位，现在包括王先生在内的5辆车需停在该停车场，求王先生正好停在1号停车位的概率．
解 ．

3．有甲、乙二位新来的同学要分到1,2,3,4,5,6的6个班级中去，求第2个班级恰好分到一位新同学的概率．
解 ．

4. 在10件产品中，有2件次品，从中任取3件，求：
（1）恰有1件次品的概率有多少？
（2）没有次品的概率有多少？
（3）有2件次品的概率有多少？
解 （1）；（2）；（3）．

作业9.1.3（1）

1．某学校数学优秀率为15%，英语优秀率为10%，两门都优秀的有5%，现从中任选一位同学，求
（1）若已知其数学优秀，则英语优秀的概率；
（2）若已知其英语优秀，则数学优秀的概率；
（3）数学和英语两科中至少有一门优秀的概率．
解 设A={数学优秀}，B={英语优秀}。（1）；
（2） ；
（3）

2．某医院有甲、乙二位专家，每周按7天算甲专家出诊3天，乙专家出诊2天，其中有一天甲、乙二位专家都出诊，病人丙某天去该医院就诊，求他恰好得到专家就诊的概率．
解 因为一个星期有7天，而两个专家出诊只有四天，所以病人丙某天去该医院就诊，他恰好得到专家就诊的概率是。

3．一批产品共15件，其中有3件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率． （你能用二种方法求解吗？）
解 解法1——直接法
解法2 ——间接法 ．

4．三名同学同时独立地求解一道难题，设在1h内他们能解出此题的概率分别为0.3,0.6,0.5，试求1h内难题被解出的概率. （你能用二种方法求解吗？）
解 设A、B、C分别表示三名同学解出这道难题 则P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(C)=0.5,又A、B、C是相互独立的，所以也是相互独立的。
解法1——直接法
解法2 ——间接法

作9.1.3(2)

1．在10件产品中有3件次品，7件正品，现采用不放回抽样从中随机抽取两次，每次取1件，求
（1）第一次取到次品的条件下，第二次取得次品的概率；
（2）两次都取到次品的概率．
解 设A=｛第一次取到次品｝，B=｛第二次取到次品｝，则，
（1） 由于是不放回，在第一次取到次品后，还有9件产品，其中有2件次品，故第一次取到次品的条件下，第二次取得次品的概率为；
（2） 两次都取到次品的概率为．

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中任取一个零件，取出后不放回去，再从余下的部分中任取一个零件，求第一次取得次品且第二次取得正品的概率．
解 设A=｛第一次取到次品｝，B=｛第二次取到正品｝
.

3． 某电子商店有甲、乙两种主要电器，当一种电器畅销时，商店就赢利，已知甲电器
畅销的概率为0.6，乙电器畅销的概率为0.5，两种电器都畅销的概率为0.2，求
（1）该商店赢利的概率；
（2）已知甲电器畅销的条件下，乙电器畅销的概率．
解 设A=｛甲电器畅销｝，B=｛乙电器畅销｝
（1） ；
（2） ．

4．某人投掷一枚硬币6次，求正面朝上恰好2次的概率以及至少1次的概率．
解 某人投掷一枚硬币1次可看成是1次伯努利实验，正面朝上恰好2次的概率为
；
至少1次正面朝上的概率为．

作业9.2.1

1. 设盒中装有5部手机，其中3部是好的，2部是坏的，现从盒中随机地摸出两部，设随机变量为两部中的好手机数量，求，，．
解 ，，．

2．设随机变量的分布律为，求（1）的值；（2）．
解 （1）
；
（2）．

3．某篮球运动员投篮2次，每次投中的概率均为0.9，以表示他2次投篮中投中的次数，求的分布律．
解

所以 的分布律为

0 1 2

0.01 0.18 0.81

4．某盏吊灯上并联着3只灯泡．如果在某段时间内每只灯泡能正常照明的概率都是0.7，那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少？
解 设X=｛灯泡能正常照明的只数｝，A=｛在这段时间内吊灯能照明｝则

作业9.2.2（1）

1．抛掷一颗骰子，设{＝1}表示出现的点数是6，{＝0}表示出现的点数不是6，求(1) 的分布律；(2) 的分布函数；(3) ．
解 (1), 所以 的分布律为

0 1

(2) 由的分布律易知
(3) 由 的分布函数易知．

2．已知连续型随机变量的概率密度为

求（1）系数；（2）；（3）．
解 (1)；
(2) ；
(3) ．

作业9.2.2（2）

1．设，求 (1) ；(2) ；(3)；(4) ．
解 查附表1得 (1) ；
(2) ；(3)
；
(4) ．

3．设且＝0.1587，求的值．
解 ．

4．设，求 (1) ；(2) ；(3)；(4) ．
解 (1) ；
(3) ；(3)
；
(4)
．

6． 据资料，某储蓄所在某段时间内每天存款额是一个随机变量（万元），且；每天取款额也是一个随机变量（万元），且；求
（1）每天存款额在1万元以下的概率；（2）每天取款额在1万元以上的概率．
解 （1）；
（2）．

作业9.2.3

1．某厂研制一种新产品，根据市场需求分析和估计，产品畅销、一般、滞销的概率为0.5，0.3， 0.2．对此，有关人员制订了三种推销方案，盈利情况如下表：（单位：万元）试通过决策分析，确定推销方案．
自然状态
概
率

（畅销）　　（一般）（滞销）

收
益

6　　　　　4　　　　　1
4　　　　　5　　　　　3
3　　　　　7　　　　　2

解

所以的期望最大，故推销方案．

2．某厂有两种产品可供开发生产，甲产品畅销的概率为0.7，滞销的概率为0.3．畅销时盈利2000万元，滞销时亏本200万元；乙产品畅销的概率为0.8，滞销的概率为0.2．畅销时盈利1800万元，滞销时亏本100万元.试用决策树的方法选择一种产品开发．
解 设A={甲产品的收益｝，B={乙产品的收益｝

所以乙产品收益的期望最大，故选择开发乙产品．

方
案

作业9.3.1

1．设总体的一组样本观察值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8．试求样本均值和样本方差．
解 样本均值为
样本方差为

2．设是来自总体的容量为的一组样本，其中已知，未知，分别是样本均值和样本方差，请指出下列各式哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
（1）； （2）；（3）；；
（4）；（5）； （6）．
解 (3)(4)(6) 是统计量，(1)(2)(5) 不是统计量，因为(1)(2)(5)含有未知参数，而(3)(4)(6) 不含有任何未知参数．

3．求满足的U分布的临界值.
解 由 得 查标准正态分布表得 ＝2.65.

4．求满足的t分布的临界值.
解 根据 查t分布的临界值表（附表2）得 ＝3.499.

5． 求满足，的分布的临界值.
解 由已知， 。计算 ，查分布的临界值表（附表3）得
查分布的临界值表得 .

作业9.3.2

1．某公园的工作人员记录了一周（非节假日）进入公园的游客人数如下：
852 949 696 752 944 2300 2950，
试估计这个公园游客人数的总体均值．
解 由题意知，这一周7个数据的样本均值为
．

2． 某日抽取某乳业有限公司生产的一批袋装牛奶中的10袋，获得如下数据（单位：
ml）495,500,500,510,505,490,500,510,500,510，试估计这批牛奶的方差．
解 由题意知，这批袋装牛奶10个数据的样本均值为
．
3． 某百货公司准备在某地设置分店，为确定分店的规模，需要知道该地区住户家庭平
均每人年收入情况．为此，在该地区随机调查了10户居民，得每户人均年收入（单位：万元）为
11.5, 8, 9.7, 10.2, 11, 9.5, 16.4, 13.3, 12.8, 14．
试估计该地区每户人均年收入的均值和方差．
解

作业9.3.3
1． 已知每包奶粉净重(单位：g) ，从一批袋装奶粉中随机抽取9包，称得
净重(单位：g)为 498，503，510，501，499， 497，499，500，502，
求每包奶粉平均净重的置信区间().
解 根据题意 ，总体方差已知，求总体均值的置信区间：
（1） 已知，查标准正态分布表得；
（2）
计算区间端点
（3）所求的每包奶粉平均净重置信水平为95%的置信区间为(495.12,506.88).
[499.04，502.96] ．

2． 一家保险公司想要估计在过去一年里投保人的平均理赔额，随机地选取了25个投保
人作为一个随机样本，观察样本均值，，试求以0.99的置信水平估计去年一年里投保人平均理赔额的置信区间.
解 根据题意 ，总体方差未知，求总体均值的置信区间：
（1） ，查分布的临界分布值表得；
（2）由已知，
计算区间端点
（3）所求的置信水平为99%置信区间为(562.789，915.211)．

3． 某彩电的使用寿命服从正态分布，现随机地取16台进行检测，测得平均使用寿命为
6720h，样本标准差为200h，给定置信水平为90%，求使用寿命均值的置信区间.
解 根据题意知，总体方差未知，求总体均值的置信区间：
(1) 已知，，查分布的临界分布值表得；
(2) 由已知，
计算区间端点
(3) 所求的置信水平为90%置信区间为[6632.35，6807.65]。