数值积分专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx
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1、第十讲第十讲数值积分数值积分1第1页第十讲主要知识点求积公式、代数精度概念求积公式、代数精度概念牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式求积公式*各种求积公式代数精度各种求积公式代数精度2第2页引言 依据微积分基本定理依据微积分基本定理,只要找到被积函数只要找到被积函数原函数原函数 ,便有牛顿,便有牛顿-莱伯莱伯公式公式 因为大量被积函数找不到用初等函数表示原函数,因为大量被积函数找不到用初等函数表示原函数,而而试验测量或数值计算给出通常是一张函数表,所以牛顿试验测量或数值计算给出通常是一张函数表,所以牛顿-莱莱伯尼兹公式往往不能
2、直接利用。所以有必要研究积分数值伯尼兹公式往往不能直接利用。所以有必要研究积分数值计算问题。计算问题。3第3页数值求积基本思想 依据积分中值定理,依据积分中值定理,就是说,底为就是说,底为 而高为而高为 矩形面积恰恰等于矩形面积恰恰等于所求曲边梯形面积。所求曲边梯形面积。取取 内若干个节点内若干个节点 处高度处高度 ,经过加权平均方法生成平均高度经过加权平均方法生成平均高度 ,这类求积,这类求积公式称机械求积公式:公式称机械求积公式:式中式中 称为求积节点,称为求积节点,称为求积系数,亦称称为求积系数,亦称伴随节点权。伴随节点权。4第4页定积分思想 1.1.求积公式普通形式求积公式普通形式 我
3、们知道,定积分是求和式极限即我们知道,定积分是求和式极限即 。它几何意义是曲边梯形面积。从定义可知,定积它几何意义是曲边梯形面积。从定义可知,定积分基本分析方法是四步,即分割、近似、求和、取极分基本分析方法是四步,即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量(整块曲边梯形面积)分成若干限。分割就是把总量(整块曲边梯形面积)分成若干分量(小曲边梯形面积);近似就是在每个分量中用分量(小曲边梯形面积);近似就是在每个分量中用轻易计算量去代表(这里是用矩形面积近似曲边梯形轻易计算量去代表(这里是用矩形面积近似曲边梯形面积);求和就是把分量加起来得到总近似值;最终面积);求和就是把分量加起来得到总近似值
4、;最终取极限就得到积分准确值。取极限就得到积分准确值。5第5页矩形公式将被积函数将被积函数在在a处泰勒处泰勒 展开展开,在在x、a之间,之间,在在上连续,而上连续,而在在上不变号(非负),由积分中值定理知上不变号(非负),由积分中值定理知于是有于是有 两端积分两端积分注意右端第二项,设注意右端第二项,设式称为式称为左矩形公式左矩形公式,其余项为,其余项为,6第6页矩形公式(续)或者写为或者写为同理,有同理,有右矩形公式右矩形公式和和中矩形公式中矩形公式7第7页插值型求积公式 由插值理论可知,任一函数由插值理论可知,任一函数给定一组节点给定一组节点后,后,可用一可用一n次次多项式多项式对其插值,
5、即对其插值,即所以所以当当为拉格朗日插值多项式时,即为拉格朗日插值多项式时,即则则,8第8页插值型求积公式(续)其中其中通常称公式为通常称公式为插值型求积公式插值型求积公式。9第9页代数精度概念 数值求积方法是近似方法,为确保精度,自然希望所提供数值求积方法是近似方法,为确保精度,自然希望所提供求积公式对于求积公式对于“尽可能多尽可能多”函数是准确。函数是准确。假如机械求积公式对假如机械求积公式对 均能准确成均能准确成立但对立但对 不准确,则称机械求积公式含有不准确,则称机械求积公式含有 次次代数精度。代数精度。实际上,令求积公式对实际上,令求积公式对 准确成立,即得准确成立,即得 可见,在求
6、积公式节点给定情况下,求积公式结构问题本可见,在求积公式节点给定情况下,求积公式结构问题本质上是个解线性方程组代数问题。质上是个解线性方程组代数问题。10第10页插值型求积公式代数精度(续1)轻易验证左(右)矩形公式含有零次代数轻易验证左(右)矩形公式含有零次代数精度,中矩形公式含有一次代数精度。对于插精度,中矩形公式含有一次代数精度。对于插值型求积公式其余项值型求积公式其余项 所以对于次数小于所以对于次数小于n多项式多项式其余项其余项因而插值型求积公式最少含有因而插值型求积公式最少含有n次次代数精度。代数精度。11第11页插值型求积公式代数精度(续2)反之,假如求积公式最少含有反之,假如求积
7、公式最少含有n次次代数精代数精度,则对于插值基函数度,则对于插值基函数(为(为n次次多项式)求积公式准确成立,即多项式)求积公式准确成立,即注意到注意到,上式右端实际上等于,上式右端实际上等于即即求积公式为插值型求积公式。求积公式为插值型求积公式。12第12页插值型求积公式代数精度(续3)定理定理机械求积公式最少有机械求积公式最少有 次代数精度充次代数精度充分必要条件是它是插值型。分必要条件是它是插值型。13第13页梯形公式 利用插值求积公式,结构等距节点插值多项式利用插值求积公式,结构等距节点插值多项式 并以并以近似近似 ,这么就能够得到各,这么就能够得到各种近似公式种近似公式过过两点,作直
8、线两点,作直线以以近似近似得:得:易见,上式几何意义是用梯形易见,上式几何意义是用梯形面积近似代替曲边梯形面积,面积近似代替曲边梯形面积,故称式为梯形求积公式,如图所表示。故称式为梯形求积公式,如图所表示。14第14页梯形公式(续1)定理定理5.25.2设设在区间在区间 上含有二阶连上含有二阶连续导数,则梯形求积公式有误差预计:续导数,则梯形求积公式有误差预计:证实证实:由插:由插值值求求积积公式公式误误差差(5.9)(5.9)式得式得因为因为,且,且,用积分中值定理,存在用积分中值定理,存在使使15第15页梯形公式(续2)显然梯形公式最少含有一次代数精度。能够令显然梯形公式最少含有一次代数精
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