《高等数学》(第三版)教案第二章全.doc
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1、高等数学(第三版)教案第二章全2.1.1导数的概念教学目标:(1)研究曲线的切线问题,寻找求曲线上一点处切线的斜率的方法;(2)学习导数的概念;(3)分析曲线上一点处切线的斜率与导数之间的关系,学会求曲线上一点处的切线的方程。教学重点:(1)导数的概念; (2)曲线上一点处的切线的方程。教学难点:对导数的概念的理解。授课时数: 2课时教学过程过程备注引言 介绍本章学习的主要内容。教师讲授知识回顾设直线的倾斜角为,点和点为直线上的任意两点,则当时,直线的斜率为引导学生回答5问题在平面解析几何中,我们将与圆只有一个交点的直线定义为圆的切线如图21所示,直线L是过圆周上一点P的切线 P 图21 图2
2、2但是对其他曲线,这样的定义就不一定合适,例如,图22中的直线虽然与曲线只有一个交点,但是不能确定它们一定是曲线的切线那么,对于一般曲线,如何定义和研究过曲线上一点P的切线呢?教师讲授10新知识下面采用动态处理的方法定义一般曲线的切线如图23所示,选取曲线上的任意点Q,做割线;然后让点Q沿着曲线趋近于点P,判断此时割线斜率的极限是否存在,如果存在,就把以这个极限值为斜率的直线定义为曲线在点P的切线 图23 大家知道,二次函数的图像是抛物线。如图24所示,点为抛物线上的点依据上面的切线定义,求抛物线在点处的切线T设为抛物线上任意一点,在点处, 为自变量的改变量(或自变量的增量),为函数的相应改变
3、量(或函数的增量)则割线的斜率为当点Q沿着抛物线趋近点P时, 此时,割线的极限位置为PT 图24因为 故抛物线在点处切线的斜率为2因此,切线PT的方程为,即 一般地,设是曲线上的一个定点,是曲线上异于的任意一点,则割线PQ的斜率为,其中为割线PQ的倾斜角.当时,如果极限 存在,那么,这个极限值就是曲线在点处的切线PT的斜率.结合动画演示讲授教师讲授与学生回答相结合30做一做采用同样的思路来研究非匀速直线运动物体的瞬时速度设一个物体做非匀速直线运动,其路程与时间的关系为.求该物体在时刻的瞬时速度在附近的一段时间间隔内,即从到这段时间内,物体走过的路程为当很小时,我们把变速运动近似地看成是匀速运动
4、.因此,可以用这段时间间隔的平均速度近似地描述瞬时速度由于速度是变化的,所以对任意的固定的,它只是一个近似值.但是,在无限变小的过程中,平均速度无限接近时刻的瞬时速度因此,当趋于零时,如果极限存在,那么,这个极限值就是变速直线运动的瞬时速度即在教师引领下共同完成40新知识以上两个例子的具体意义虽然不同,但抽象出的数量关系却相同研究函数改变量与自变量改变量之比的极限一般地,设函数在点处自变量的改变量为,对应函数的改变量为,若当时存在,则称函数在点处可导,并将极限值叫做函数在点处的导数(瞬时变化率)记作,即= (2.1)关于函数的导数有以下结论(1)若不存在,则称函数在点处不可导(2)函数在点处的
5、导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率(3)若函数 在区间 (a,b) 内的每一点处都可导,即对任意x(a,b),极限都存在,则称“函数yf (x)在区间 (a, b) 内可导”这时,函数对于每一点x(a, b),都有一个确定的导数值与之对应,这就构成了x的一个新函数,这个新函数叫做函数的导函数,记为,或f (x) .即 (2.2)(4)函数yf (x)在点x0处的导数就是导函数在点xx0处的函数值,即.今后,在不引起混淆的情况下,导函数和导数统称为导数.利用定义求函数yf (x)的导数的步骤是:.(1)写出函数的改变量 ;(2)计算比值;(3)计算极限 .教师讲授60知识巩固例1 求函数(是常
6、数)的导数解 (1)求函数的改变量 ;(2)算比值 ,(3)取极限 .即 例2 求函数的导数解 (1)求函数的改变量 ;(2)算比值 ;(3)取极限 .故 .教师讲授在教师引领下共同完成701用定义求函数在处的导数2求抛物线在点处的切线方程学生课上完成85小结 新知识:导数的概念;曲线上一点处的切线的方程。 90作业 1. 通过复习导数的概念, 加深对其内涵的理解,并尝试总结导数的思想及本质;2. 完成高等数学习题集“作业2.1.1”。2.1.2导数的运算法则教学目标:(1)记忆基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,学会用公式、运算法则求函数的导数;(2)学会复合函数的求导法;(3)学会隐函
7、数的求导法。教学重点:求初等函数导数的方法。教学难点:复合函数的求导法。授课时数: 4课时.教学过程过程备注新知识根据导数的定义,可以得到初等函数的导数及导数的运算法则,作为公式介绍如下1.基本初等函数的导数公式:(1) (是常数);(2);(3);(4);(5);(6);(7); (8);(9);(10);(11); (12);(13) ; (14) ;(15) ; (16) .2.导数的运算法则:设和在处都可导,则(1);(2) (为常数);(3);(4).利用上述导数公式和法则,可以求出函数的导数教师讲 授20知识巩固例1 求函数的导数解 .例2 求函数的导数解 .例3 已知,求及.解
8、,所以 .例4 求函数的导数解 例5 已知,求.解 ,故 =.教师讲授 在教师引领下共同完成55练习2.1.2.1(1),求; (2),求 (3),求学生课上完成70想一想 我们来计算函数的导数考虑到,所以 如果直接应用公式计算可以得到的两个计算结果为什么不一样呢? 师生共同完成80新知识产生上面问题的原因是,函数不是正弦函数,是正弦函数与一次函数的复合函数,所以计算的导数的时候,不能直接应用正弦函数的导数公式计算复合函数的导数一般需要采用下面的方法(证明略)设在处可导, 在对应的处可导,则复合函数的导数为, (2.3)还可以记作 或 .教师讲授95知识巩固例6 求下列函数的导数 (1) ;
9、(2) 解 (1)是由和复合而成,所以 ;(2)是由和复合而成,所以 教师讲授105链接软件利用微软高级计算器可以方便的求出复合函数的导数计算例6(1)的操作为:利用操作面板在输入窗格输入,点击输入得到结果说明 点击功能区中的求解步骤,则显示出复合函数的计算过程演示110练习2.1.2.2求下列函数的导数并利用软件进行验证 (1) ; (2) ; (3) .学生课上完成125问题如果函数关系式以方程的形式给出如,写成一般函数形式需要进行开平方运算,不能写成唯一的一个解析式,如何求导数呢?130新知识以方程形式表示函数关系的函数叫做隐函数,以函数解析式表示函数关系的函数叫做显函数有些隐函数可以非
10、常方便的转化为显函数,如转化为;有些函数完成这种转化则是非常困难的,如因此,求隐函数的导数时,一般采用方程两端同时对自变量求导的方法需要注意,当遇到含有函数的项时,必须将视为的函数,应用复合函数求导法则,这样就得到一个含有的等式,从而求得.教师讲授135知识巩固例7 求由方程所确定的隐函数的导数.解 方程两边同时对求导,得,注意到是的函数,得 ,整理得 .例8 求由方程所确定的隐函数的导数.解 方程两边同时对求导,得,即 整理得 .说明 可以看到,隐函数的导数中,可以含有因变量教师讲授在教师引领下共同完成150链接软件微软高级计算器不具备求隐函数导数的功能,可以采用软件matlab进行计算计算
11、例8的操作步骤为:输入: Dy_dx=maple(implicitdiff(exp(y)+x*y-exp(1)=0,y,x)按回车键,显示:Dy_dx=-y/(exp(y)+x)即 演示160练习2.1.2.3求下列各隐函数的导数:(1); (2); (3)学生课上完成175小结 新知识:基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,复合函数的求导法,隐函数的求导法。180作业 1.记忆基本初等函数的导数公式及导数的运算法则;梳理复合函数、隐函数的求导方法;2.完成高等数学习题集“作业2.1.2.(1)”、“作业2.1.2.(2)”、“作业2.1.2.(3)”。2.1.3高阶导数教学目标:学习高阶导
12、数的概念及计算。教学重点:高阶导数的概念及计算。教学难点:高阶导数的计算。授课时数: 1课时.教学过程过程备注做一做连续计算函数的导数发现,第1次计算得,仍然是变量x的函数;再一次求导得,仍然是变量x的函数;,显然,导数的计算可以一直进行下去在教师引领下完成6新知识一般地,函数的导数仍是的函数.如果它在处仍可导,那么把函数的导数叫做函数在点处的二阶导数,记作或或,即或或.类似地,二阶导数的导数,叫做三阶导数,一般地,阶导数的导数,叫做n阶导数. 同时把叫做的一阶导数. 函数的各阶导数分别记作,,,;或 ,;或 ,.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.教师讲授16知识巩固例9 求下列函数的二阶导
13、数.(1);(2).解 (1),.(2),.例10 设,求.解 ,故 .教师讲授在教师引领下完成28链接软件利用微软高级计算器可以方便的求出函数的二阶导数计算例9(2)利用操作面板在输入窗格输入,点击输入得到结果演示34练习2.1.3求下列函数的二阶导数 (1); (2)学生课上完成42小结 新知识:高阶导数 45作业 完成习高等数学习题集“”。 2.1.4微分教学目标:(1)学习函数微分的概念及计算;(2)会利用微分计算由参数方程确定的函数的导数。教学重点:函数微分的概念及计算;教学难点:函数微分的概念授课时数: 1课时.教学过程过程备注知识回顾设点为函数图像上的点,则曲线在点P处切线的斜率
14、为3新知识如图图25所示,过Q点作x轴的垂线,交曲线过P点的切线于T、过P平行于x轴的直线于G可以看到,当Q点沿着曲线无限趋近于P点时, T点也无限趋近于P点,同时无限趋近于0此时无限趋近于a+x 图25一般地,设函数在点处有可导,则叫做函数在点处的微分,记作,即 (2.4)此时称函数在点处可微. 可见,函数的微分与和有关.结合动画演示讲授10知识巩固例11 求函数在,时函数的增量及微分.解 ,.在教师引领下完成15新知识如果函数在区间I内任意点处可微,那么称函数在区间I内可微.记作.特别地,由函数可以得到,于是,通常将函数的微分记作,从而有 .这就是说,导数是函数的微分与自变量的微分之商故导
15、数又称为微商. 因此,对于由参数方程所确定的函数.有教师讲授22知识巩固例12 求由参数方程所确定的函数的导数.解 例13 某一正方体金属的边长为2 m,当金属受热边长增加0.01 m时,体积的微分是多少?体积的改变量又是多少?解 设正方体的边长为,则其体积为体积的微分为 将代入上式,得在处的微分 在处体积的改变量为 由此可见, .教师讲授30练习2.1.41.求函数在时函数的增量及微分.2.求下列函数的微分(1); (2); (3).学生课上完成42小结 新知识:函数微分的概念及计算,由参数方程确定的函数的导数。45作业 1. 利用图25分析函数的增量与函数微分的区别;2. 完成高等数学习题
16、集“”。2.2.1函数单调性的判断教学目标:(1)结合图像,分析导数的符号与函数的单调性的关系;(2)理解驻点,不可导点的概念,掌握利用导数判断函数的单调性的方法,会求函数的单调区间。教学重点:函数单调性的判别与函数的单调区间的求法。教学难点:导数符号与函数的单调性的关系。授课时数:2课时.教学过程过程备注观察设函数在闭区间上连续,在开区间内可导观察函数图像(图26)可以看出,曲线上至少有一点,使曲线在点处的切线平行于弦由于恰好是弦的斜率,而为曲线在点处的切线的斜率故 图26结合动画演示讲授8新知识由此得到微分中值定理:如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少存在一点,使成立即设函
17、数在上连续,开区间内可导,、,且,由中值定理有,其中如果对任意,都有(或),则必有(或),从而有(或),那么可以判断函数在区间内为增函数(或减函数)由此得到判断函数单调性的方法:设函数在上连续,在内可导.(1)如果在内恒有,那么函数在上单调增加;(2)如果在内恒有,那么函数在上单调减少.说明:(1)如果将闭区间换成其他各种区间(包括无限区间)上述结论仍然成立 (2)如果在区间I内的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或负),那么,在区间I内的仍旧是增(或减)函数教师讲授20知识巩固例1 判断函数在区间(1,3)内的单调性解 因为在区间(1,3)内,故函数在区间(1,3)内为增函数例2 判断函数
18、在区间上的单调性.解 ,在区间内,当时,对有故和都是函数的增区间此时函数在上是增函数.例3 求函数的单调区间解 函数的定义域为(-,+) ,令,得以为分点,将定义域分成区间 (-,1)和(1,+)当时, ;当时, 因此函数的减区间为(-,1),增区间为(1,+)教师讲授在教师引领下完成教师讲授40新知识使的点叫做函数的驻点如果驻点的两侧的导数异号,那么称为增减区间的分界点,如例3中的;如果驻点的两侧的导数同号,那么不是分界点,如例2中的说明:除了驻点有可能是分界点外,导数不存在的点也可能是分界点.因此,确定函数单调区间的一般步骤是:(1)确定定义域并求;(2)找出可能的分界点,分界点将定义域分
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