利用群作用构造一类不可测集.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1334-1337 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134123 文章引用文章引用:梁亚华.利用群作用构造一类不可测集J.应用数学进展,2024,13(4):1334-1337.DOI:10.12677/aam.2024.134123 利用群作用构造一类不可测集利用群作用构造一类不可测集 梁亚华梁亚华 云南师范大学数学学院，云南 昆明 收稿日期：2024年3月17日；录用日期：2024年4月11日；发布日期：2024年4月18日 摘摘 要要 本文研究了群作用和本文研究了群作用和Zermelo选择公理构造出一类一维不可测集，为了得到主要结果，进行了选择公理构造出一类一维不可测集，为了得到主要结果，进行了n维不可测维不可测集的构造，在群作用和集的构造，在群作用和Zermelo选择公理的前提下选择公理的前提下，用构造的方法给出了用构造的方法给出了n维不可测集维不可测集，从而证明了一类从而证明了一类n维不可测集的存在性，且给出了该类型不可测集的内侧度为零维不可测集的存在性，且给出了该类型不可测集的内侧度为零。关键词关键词 不可测集不可测集，Zermelo选择公理选择公理，群作用群作用 A Class of Non-Measurable Sets Is Constructed by Using Group Action Yahua Liang School of Mathematics,Yunnan Normal University,Kunming Yunnan Received:Mar.17th,2024;accepted:Apr.11th,2024;published:Apr.18th,2024 Abstract In this paper,a class of one-dimensional unmeasurable sets is constructed by studying group ac-tion and Zermelo choice axiom.In order to get the main result,the dimensional unmeasurable sets are constructed.Under the premise of group action and Zermelo choice axiom,the dimensional unmeasurable sets are given by constructing method,thus proving the existence of a class of di-mensional unmeasurable sets.The inner degree of this type of unmeasurable set is zero.Keywords Non-Measurable Set,Zermelo Axiom of Choice,Group Action 梁亚华 DOI:10.12677/aam.2024.134123 1335 应用数学进展 Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.基本概念基本概念 定义定义 1.1 1设E为nR中的点集，如果对于任何点集T都有()()cm TmTEmTE=+则称E为Lebesgue可测集，简称为可测集。这时E的Lebesgue外侧度m E即称为E的侧度，记为mE。定义定义 1.2 2非空集合G称为一个群，如果在G中定义了一个代数运算，叫做乘法“”。若“”满足以下条件：(1)“”符合结合律；(2)存在eG，使得对任意的aG，有;a ee a=(3)对于任意的aG，存在bG，使得.a bb ae=定理定理 1.3 3(Zermelo 选择公理)设|SAI=是一族两两不相交的非空集合，其中I是指标集，则存在集合L满足下列条件：(1)ILA。(2)集L与S中每个集A有且仅有一个公共元素。2.n 维不可测集的构造维不可测集的构造 定理定理 2.1 如果存在一个群(),G 满足nGR，()0m G，以及一个可列子群123,nhQr r rr=，其中()12,niiiinrr rrR=，对任意的()12,niiiinrr rrQ=，任意的()12,nxx xxG=，做一个变换()1 122,iiiinnxr xr x r xr x=，满足以下三个条件：当集合EG是一个可测集时，nirQ，:iriT Er x xE=仍然是一个可测集；当0mE=的时，对任意的nirQ，有()0irm T E=；当EG，且()0m E 时，存在0和有限的n维开区间()123:,|,1,2,niiiIy yyyayb in=，以及nQ的可列子集，仍记为123,nhQr r rr=，使得()()irm T Em E，其中1,2,3,i=，且()1iriT EI=。则对任意的,nx yR，当1nx yQ时，记xy。那么“”是一种等价关系，且将nR中的任意一个有界正测度集合B分成若干个等价类，又由 Zermelo 选择公理，从每一个等价类中任意选取一个元素构成一个新的集合E，那么集合E就是 Lebesgue 不可测集。证明：首先证明“”是一种等价关系。因为nQ是一个可列子群，因此单位元素neQ，所以对任意的xG，有1nx xeQ=，即xx；当xy时，即1nx yQ，由子群的性质可知()111nx yy xQ=，有yx；同理当xy，yz时，即1nx yQ，1ny zQ，由子群的性质可知()()111nx yy zx zQ=，Open AccessOpen Access梁亚华 DOI:10.12677/aam.2024.134123 1336 应用数学进展 即有xz，因此便证明了“”是一种等价关系。当ij时，有ijrrT ET E=.若不然，假设ijrrT ET E ，则存在12,e eE，使得12ijr ere=，所以1112nije errQ=，从而可知12,e e属于同一个等价类，这与集合E的构造矛盾.所以当ij时，irT E与jrT E必定互不相交。假设集合E是可测集，那么集合E只能是有界正测度集或者零测度集，下面分两种情况来证明。当集合E是有界正测度集时，从条件可知，0和有限的 n 维开区间()123:,|,1,2,niiiIy yyyayb in=，以及nQ的可列子集，仍记为123,nhQr r rr=，使得()()irm T Em E，其中1,2,3,i=，且()1iriT EI=，又因为irT E是两两互不相交的集族，由测度的可加性和单调性可知()()111,iilnrriiiiimT EmT El m EbaI=其中()1Ilm E=+，(为取整运算)。但是，由()1iriT EI=可得()()11inriiiimT Em IbaI=，上述两个不等式相互矛盾，所以集合E不是有界正测度集。当集合E是零测度集时，从条件可知，()0irm T E=，其中nirQ，1,2,i=。又由测度的完全可加性可知，10.irimT E=又由集合E的构造以及测度的单调性知：由()1iriT EB=可得()10irimT Em B=，由此导出矛盾，因此集合E不是零测度集。综上所述，E是不可测集。推论推论 2.2 上述那样构造的不可测集E的内测度为零。证明：证明：若E的内测度不为零，由内测度定义可知，存在闭集F，且FE，使得()0m F，由条件可知，存在实数0，有限的n维开区间()123:,1,2,niiiIy yyyayb in=，和nQ的一个可列子集，仍记为123,nhQr r rr=，使得()(),1,2,3,irm T Fm Fi=，()1iriT FI=首先证明当ij时，有ijrrT FT F=。若不然，假设ijrrT FT F ，则存在12,e eFE，使得12ijr ere=，所以1112nije errQ=，从而可知12,e e属于同一个等价类，这与集合E的构造矛盾。所以当ij时，irT F与jrT F必定互不相交。再次，由测度单调性和可加性知 梁亚华 DOI:10.12677/aam.2024.134123 1337 应用数学进展 ()()111iinlrriiiiimT FmT Flm FbaI=，其中()1Ilm F=+。另外，由测度单调性知，()()11inriiiimT Fm IIba=。上述两个不等式相互矛盾，所以假设()0m F 不成立。因此()0,m F=从而E的内测度为零。事实上，由定理 2.1 构造的不可测集是存在的。例 2.3 群(),nR+，其中“+”表示通常的两个向量的加法，对于处处稠密的可列子群 1,2,3,niiiQrpi=+=，其中()12,iiiinpppp=，()12,iiiin=，,ijp为有理数，ij为确定的某一无理数或零，1,2,3,;1,2,.ijn=且满足()1122,iiiiiiininpppp+=+.显然定理 2.1 中的条件，成立。下面验证条件也成立。如果()123,1,2,niiiy yyycyd iEIn=是正测度集，取1=，iiac=，1iibd=+，取群nQ中的一个可列子集为 12,ikkkrrr ，其 中()1122,iiiiiiiiikkkkkkkk nk nrpppp=+=+，且 满 足01,iik jk jp+1,2,3,i=；1,2,jn=。由此可得定理 2.1 中的条件成立。因此，由定理 2.1 构造的不可测集E是存在的。3.结论结论 证明了E维不可测集的构造在群作用和 Zermelo 选择公理的前提下，说明了 n 维不可测集的存在性；并根据测度的可加性和单调性证明集合E不是有界正测度集；最后，构造的 n 维不可测集E是存在的且该类型不可测集的内侧度为零。就 n 维不可测集来说依然存在许多问题尚未解决，比如延伸在线性空间或者欧氏空间上，此类不可测集的构造是否还成立呢？对于未解决的问题而言，本文仅仅是对 n 维不可测集构造进行的一些浅显的探讨，更深层次的探讨还需要再进一步的研究学习。基金项目基金项目 国家自然科学基金青年科学基金项目(11801499)。参考文献参考文献 1 周民强.实变函数论M.北京:北京大学出版社,2001.2 聂灵沼,丁石孙.代数学引论M.第二版.北京:高等教育出版社,2000.3 杨旭.选择公理的等价命题及应用J.四平师院学报(自然科学版),1982(1):27-45.