数学经典问题省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

一一 周髀算经与勾股定理周髀算经与勾股定理1第1页1、周髀算经是中国现存最早一部数学典籍，成书时间大约在两汉之间(纪元之后)。也有史家认为它出现更早，是孕于周而成于西汉，甚至更有些人说它出现在纪元前10。严格说来，周髀算经是一部天文著作，为讨论天文历法，而叙述一些相关数学知识，其中主要题材有勾股定理、百分比测量与计算天体方位所不能防止分数四则运算。2、周髀算经九章算术孙子算经数书九章3、勾股定理=百牛定理=毕达哥拉斯定理2第2页第24届“国际数学家大会”（ICM）International Congress of MathematiciansInternational Congress of Mathematicians 3第3页4第4页为北京为北京“国际数学家大会国际数学家大会”发行发行纪念邮资明信片纪念邮资明信片 JP1085第5页第24届“国际数学家大会”会标宋刻本宋刻本周髀算经周髀算经周髀算经周髀算经，（上海图书馆藏）（上海图书馆藏）（上海图书馆藏）（上海图书馆藏）6第6页案例 2 勾股定理毕达哥拉斯定理（尼加拉瓜，1971）7第7页周髀算经中周髀算经中“勾股定理勾股定理”（约公元前（约公元前7）周髀算经周髀算经周髀算经周髀算经卷上记载卷上记载卷上记载卷上记载西周开国西周开国西周开国西周开国时时时时期周公与大夫期周公与大夫期周公与大夫期周公与大夫商高商高商高商高讨论勾股测量讨论勾股测量讨论勾股测量讨论勾股测量对话，商高答周公问时提到对话，商高答周公问时提到对话，商高答周公问时提到对话，商高答周公问时提到“勾勾勾勾广三广三广三广三 股修四股修四股修四股修四 经隅五经隅五经隅五经隅五”，这是勾这是勾这是勾这是勾股定理特例。股定理特例。股定理特例。股定理特例。卷上另一处叙述卷上另一处叙述卷上另一处叙述卷上另一处叙述周公后人周公后人周公后人周公后人荣方与陈荣方与陈荣方与陈荣方与陈子（约公元前子（约公元前子（约公元前子（约公元前6 6、7 7世纪）对话中，世纪）对话中，世纪）对话中，世纪）对话中，则包含了勾股定理普通形式则包含了勾股定理普通形式则包含了勾股定理普通形式则包含了勾股定理普通形式：“以日下为勾，日高为股，以日下为勾，日高为股，以日下为勾，日高为股，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得勾股各自乘，并而开方除之，得勾股各自乘，并而开方除之，得勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。邪至日。邪至日。邪至日。”8第8页 中国数学史上最先完成勾股定理证实：中国数学史上最先完成勾股定理证实：公元公元3世纪三国时期赵爽。世纪三国时期赵爽。赵爽赵爽注周注周髀算经髀算经，作，作“勾股圆方图勾股圆方图”，其中，其中 弦弦图图，相当于利用面积，相当于利用面积“出入相补出入相补”方法，方法，证实了勾股定理证实了勾股定理。如图。如图9第9页10第10页勾股定理“证实”现有约500余种 因为勾股定理主要性，尽管该定理早已被证实，因为勾股定理主要性，尽管该定理早已被证实，许多人依然愿意探索该定理新证实。许多人依然愿意探索该定理新证实。至今，已发觉勾股定理各种至今，已发觉勾股定理各种“证实证实证实证实”约约500500余种余种 仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十各种精彩仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十各种精彩证法。这是任何定理无法比拟。证法。这是任何定理无法比拟。11第11页重点推介下面四种证实重点推介下面四种证实 一、古希腊证法一、古希腊证法二、赵爽证法二、赵爽证法三、总统证法三、总统证法四、刘徽证法四、刘徽证法12第12页几几何原本何原本n n欧几欧几里得里得（Euclid of Euclid of Alexandria;Alexandria;约约 325 B.C.325 B.C.约约 265 B.C.265 B.C.）n n欧几里得几何原本是用公理方法建立演绎体系最早典范。n n证实一就是取材自几何原本第一卷第 47 命題。13第13页证实一证实一14第14页证实一证实一15第15页证实一证实一16第16页证实一证实一17第17页证实一证实一18第18页弦图弦图n n赵赵爽爽n n东汉末至三国時代吴国东汉末至三国時代吴国人人n n为为周髀算经周髀算经作注，作注，並著有並著有勾股圆方图说勾股圆方图说。19第19页证实二证实二ba(a+b)2=c2+4(ab)a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2c20第20页证实二证实二cb a c2=(a b)2+4(ab)=a2 2ab+b2+2ab c2=a2+b221第21页美国总统证实美国总统证实n n加菲加菲（James A.GarfieldJames A.Garfield；1831 1831 1881 1881）n n1881 年成为美国第 20 任总统n n1876 年提出相关证实22第22页证实三证实三(a+b)(b+a)=c2+2(ab)a2+ab+b2=c2+aba2+b2=c2aabbcc23第23页出入相补出入相补n n刘刘徽徽（生于公元三世纪（生于公元三世纪）n n三国魏晋时代人。n n魏景元四年（即 263 年）为古籍九章算术作注释。n n在注作中，提出以出入相补原理来证实勾股定理。後人称该图为青朱入出图。24第24页a2b2证实四证实四25第25页证实四证实四26第26页证实四证实四27第27页證明四證明四28第28页證明四證明四c2 a2+b2=c229第29页练习：练习：1、某人欲横渡一条河，因为水流影响，实际上岸地点C偏离欲抵达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流宽度为_。2、在一棵树10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处池塘A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，假如两只猴子所经过距离相等，则这棵树高_米。3、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,以下对29英寸说法中正确是A.小丰认为指是屏幕长度;B.小丰妈妈认为指是屏幕宽度;C.小丰父亲认为指是屏幕周长;D.售货员认为指是屏幕对角线长度30第30页二、二、中国剩下定理与大衍求一术中国剩下定理与大衍求一术 Chinese Remainder Theorem=孙子定理=余数定理 韩信点兵；物不知数31第31页 韩韩 信信 点点 兵兵 韩信是汉高祖刘邦手下大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝建韩信是汉高祖刘邦手下大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝建立立下了卓绝功劳。听说韩信数学水平也非常高超，他在点兵时候，立立下了卓绝功劳。听说韩信数学水平也非常高超，他在点兵时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队实力，先令士兵从为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队实力，先令士兵从1至至3报报数，然后记下最终一个士兵所报之数；再令士兵从至报数，也记数，然后记下最终一个士兵所报之数；再令士兵从至报数，也记下最终一个士兵所报之数；最终令士兵从下最终一个士兵所报之数；最终令士兵从1至至7报数，又记下最终一个报数，又记下最终一个士兵所报之数；这么，他很快就算出了自己部队士兵总人数，而敌人士兵所报之数；这么，他很快就算出了自己部队士兵总人数，而敌人则一直无法搞清他部队终究有多少名士兵。则一直无法搞清他部队终究有多少名士兵。这个故事中所说韩信点兵计算方法，就是现在被称为这个故事中所说韩信点兵计算方法，就是现在被称为“中国剩下中国剩下定理定理”一次同余式解法。它是中国古代数学家一项重大创造，在世界一次同余式解法。它是中国古代数学家一项重大创造，在世界数学史上含有主要地位。数学史上含有主要地位。32第32页物物 不不 知知 数数“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何二。问物几何”摘自南北朝时期数学著作孙子算经摘自南北朝时期数学著作孙子算经 孙子算经给出了这道题目标解法和答案，用算式表示即为：孙子算经给出了这道题目标解法和答案，用算式表示即为：M=702+213+152-1052=23其中其中70、21、15和和105这四个数是关键，以后数学家把这种解法编这四个数是关键，以后数学家把这种解法编成了以下一首诗歌方便于记诵：成了以下一首诗歌方便于记诵：“三人同行七十（）稀，三人同行七十（）稀，五树梅花二一（）枝。五树梅花二一（）枝。七子团圆正半月（），七子团圆正半月（），除百零五（）便得知。除百零五（）便得知。”33第33页 大衍求一术大衍求一术 孙子算经孙子算经“物不知数物不知数”题即使开创了一次同余式研究先题即使开创了一次同余式研究先河，但因为题目比较简单，甚至用试猜方法也能求得。河，但因为题目比较简单，甚至用试猜方法也能求得。真正从完整计算程序和理论上处理这个问题，是南宋时期真正从完整计算程序和理论上处理这个问题，是南宋时期数学家秦九韶。秦九韶在他数书九章中提出了一个数学方数学家秦九韶。秦九韶在他数书九章中提出了一个数学方法法“大衍求一术大衍求一术”，系统地叙述了一次同余式组解法基本原理，系统地叙述了一次同余式组解法基本原理和普通程序。和普通程序。秦九韶为何要把他这一套计算程序和基本原理称为秦九韶为何要把他这一套计算程序和基本原理称为“大衍求大衍求一术一术”呢？这是因为其计算程序关键问题是要呢？这是因为其计算程序关键问题是要“求一求一”。所谓。所谓“求一求一”，通俗地说，就是求，通俗地说，就是求“一个数多少倍除以另一个数，一个数多少倍除以另一个数，所得余数为一所得余数为一”。34第34页那么为何要那么为何要“求一求一”呢？呢？我们能够从我们能够从“物不知数物不知数”题几个关键数字、中找到题几个关键数字、中找到以下规律：其中以下规律：其中70是是5和和7倍数，但被倍数，但被3除余除余1；21是是3和和7倍数，但被倍数，但被5除余除余1；15是是3和和5倍数，但被倍数，但被7除余除余1，任何一个一次同余式组，只要，任何一个一次同余式组，只要依据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难依据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数解出了。为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了学概念，并详细叙述了“大衍求一术大衍求一术”完整过程。完整过程。直到此时，由孙子算经直到此时，由孙子算经“物不知数物不知数”题开创一次同余式问题开创一次同余式问题，才真正得到了一个普遍解法题，才真正得到了一个普遍解法.35第35页 从孙子算经到秦九韶数书九章对一次同余式问题研究结果，在世纪中期开始受到西方数学界重视。年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了孙子算经“物不知数”题和秦九韶“大衍求一术”；年，德国人马蒂生指出，中国这一解法与西方世纪高斯算术探究中关于一次同余式组解法完全一致。从此，中国古代数学这一创造逐步受到世界学者瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩下定理”。解题依据：解题依据：1、假如被除数增加（或降低）除数若干倍，除数不变，那么余数也不变；、假如被除数增加（或降低）除数若干倍，除数不变，那么余数也不变；2、假如被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或、假如被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或缩小）一样倍数。缩小）一样倍数。36第36页例例1：一个数被：一个数被3除余除余1，被，被4除余除余2，被，被5除余除余4，这，这个数最小是几？个数最小是几？解解:题中题中3、4、5三个数两两互质。三个数两两互质。则则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。为了使为了使20被被3除余除余1，用，用202=40；使使15被被4除余除余1，用，用153=45；使使12被被5除余除余1，用，用123=36。然后，然后，401452364=274，因为，因为，27460，所以，所以，274604=34，就是所求，就是所求数数37第37页练习测试题练习测试题 1、某数被、某数被4除余除余3，被，被5除少除少2，被，被7除少除少4，这个数最小是多少？，这个数最小是多少？2、一个数被、一个数被5除余除余2，被，被6除少除少2，被，被7除少除少3，这个数最小是多少，这个数最小是多少？3、一个班学生分组做游戏，假如每组三人就多两人，每组五人、一个班学生分组做游戏，假如每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？4、一个数除以、一个数除以5余余2，除以，除以3余余1，那么这个数除以，那么这个数除以15所得余数是几所得余数是几？5、一个圆圈上有几十个孔（不到、一个圆圈上有几十个孔（不到100个），张明像玩跳棋一样，个），张明像玩跳棋一样，从从A孔出发沿逆时针方向，每隔几个小孔跳一步，希望一圈以后孔出发沿逆时针方向，每隔几个小孔跳一步，希望一圈以后能跳到能跳到A孔孔.他试着每隔他试着每隔2孔跳一步，结果只能回到孔跳一步，结果只能回到B孔，他又试孔，他又试着每隔着每隔4孔跳一步，也只能跳到孔跳一步，也只能跳到B孔。最终他每隔孔。最终他每隔6孔跳一步，恰孔跳一步，恰好回到好回到A孔。你知道这个圆圈上共有多少孔吗？孔。你知道这个圆圈上共有多少孔吗？38第38页三、三、兔子问题与黄金分割兔子问题与黄金分割39第39页n n 1 兔子问题n n 1）问题 取自意大利数学家斐波娜契算盘书（12）n n 假如一对兔子每个月生一对兔子；一对n n 新生兔，从第二个月起就开始生兔子；假定n n 每对兔子都是 一雌一雄，试问 一对兔子，n n 一年 能繁殖成 多少对兔子？40第40页 2）列表考查兔子逐月繁殖情况列表考查兔子逐月繁殖情况月月月月 份份份份 大兔对数大兔对数大兔对数大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔对数小兔对数小兔对数小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子到十二月时有大兔子 144 对，小对，小兔子兔子 89 对，共有兔子对，共有兔子 144+89=233 对对。41第41页42第42页斐波那契数列递推公式：斐波那契数列递推公式：斐波那契数列递推公式：斐波那契数列递推公式：通项公式：前后项比：43第43页 斐波那契数列组成分数数列斐波那契数列组成分数数列 极限正是 。44第44页四、四、费尔马定理费尔马定理45第45页 为何一个为何一个数学表示式，就能数学表示式，就能出一张邮票？出一张邮票？邮票上邮票上这个数学表示式，这个数学表示式，有什么主要意义？有什么主要意义？46第46页费马费马在在丢番图丢番图算术一书页边批注中，算术一书页边批注中，“证实证实”过定理过定理（公元（公元（公元（公元1670167016701670年其子出版）年其子出版）年其子出版）年其子出版）希尔伯特希尔伯特：“一只会下金蛋母鸡一只会下金蛋母鸡”n n费马：n n “我已找到了n n一个奇妙证实，n n但书边空白太窄了，n n写不下。”n n （法国，）47第47页l这是一个被希尔伯特称为这是一个被希尔伯特称为“会下金蛋母鸡会下金蛋母鸡”l这是一个让引车卖浆之流趋之若骛这是一个让引车卖浆之流趋之若骛 数学猜测数学猜测l这是一个令这是一个令“无数英雄竞折腰无数英雄竞折腰”数学猜测数学猜测l费尔马费尔马业余数学家之王，贵族出身，清廉法业余数学家之王，贵族出身，清廉法 官，官，兴趣：旁批提猜测兴趣：旁批提猜测l怀尔斯怀尔斯腼腆英国男子，蜗居阁楼，七年面壁，一腼腆英国男子，蜗居阁楼，七年面壁，一鸣惊人（鸣惊人（1993年年7月月28日，与戴安娜一道获日，与戴安娜一道获People杂志最具魅杂志最具魅力者，普林斯顿大学系主任成接线生，美国防部长休会，影星沙郎力者，普林斯顿大学系主任成接线生，美国防部长休会，影星沙郎.斯通发斯通发e-mail)48第48页法国人费尔马（PierredeFermat，1601-1665）是位律师，但他又是数学史上最伟大业余数学家。以他名字命名费尔马大定理已经有400多年历史。有些人认为，费尔马大定理是比哥德巴赫猜测更著名世界数论难题。费尔马是否真证出了这个结论，现在无从知晓，反正，后人没有见到过费尔马在别地方写下这个结论证实。300多年来，一个高中生就能够了解定理，成了数学界最大悬案。这个问题吸引了很多优异数学家和业余数学兴趣者，法国科学院曾于18和1850年两次悬赏征解，德国也于19悬赏十万马克征解。应征者络绎不绝，但提出解法都是错误。长久来，人们既不能证实它，也未能否定它，只能对于许多给定整数n来证实其成立。49第49页欧拉，18世纪最伟大数学家之一，在那本特殊版本算术中别地方，发觉费尔马隐蔽地描述了对4次幂一个证实。欧拉将这个含糊不清证实从细节上加以完善，并证实了3次幂无解。但在他突破之后，索非热尔曼、勒让德、狄利克雷、加布里尔拉梅等几个法国人再次取得突破时，距离费尔马写下那个定理已经过去了快要2，而他们才仅仅又证实了5次幂和7次幂。上一世纪50年代，我国著名数学家华罗庚在他数论导引一书中写道：“所可言者，只于2小于n小于619时，此定理已经证实。即此甚微之结果，亦已耗却颇多数学家之脑汁矣。”不过，在打通这条道路途中，那些披荆斩棘数学勇士们，表现出非凡聪明才智，由费尔马大定理而引发探索热情带动了整个数学发展。因为对这一猜测研究，促进了许多数论分支发展，这在数学史上是绝无仅有。费尔马大定理也被人们誉为“一只会下金蛋鸡”。50第50页 历史新转机发生在1986年夏，瑞波特证实了:费尔马大定理包含在“谷山丰-志村五郎猜测”之中。童年就痴迷于此怀尔斯怀尔斯，闻此立刻潜心于书房七年，聚集了许多20世纪数论突破性结果。1993年6月23日，在英国剑桥大学牛顿研究所“世纪演讲”上，宣告证实了费尔马大定理。不幸是，数月后逐步发觉此证实有漏洞。这个证实体系是很多深奥数学推理连接着最当代定理、事实和计算所组成逻辑网络，任何一步骤问题都会造成前功尽弃。怀尔斯和他团体几乎陷入了绝境。1994年9月19日，怀尔斯在思维闪电中突然找到了迷失钥匙。怀尔斯怀尔斯历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国数年刊第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。51第51页1997年6月27日，怀尔斯取得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。怀尔斯现为普林斯顿大学数学系主任。很显然，怀尔斯那冗长、几百页间接证实必定不会是费尔马本人奇妙证实，最多也只是怀尔斯和他团体一次南辕北辙探索。更可悲是，他扼杀了费尔马大定理这只金鸡，而且这只金鸡是被活活折腾死。9月，德国悬赏征解百年大限刚过，恰逢我国教育部、科技部、中科院和国家自然科学基金会联合开展“10000个科学难题”征集活动。此次活动，拟向两院院士等科技精英征集各个领域10000个科学难题，评审后结集出版。以提升我国自主创新能力；激励青年科技人员攻克科学难题；普及科学知识激发青少年热爱科学兴趣，培养探索未知知识好奇心。费尔马大定理取得了浴火重生机遇。52第52页 300多年后多年后1994年年9月，月，怀尔斯怀尔斯证实了费马大定理证实了费马大定理n n （捷克，）（捷克，）53第53页问题：有费马大定理是否有费马小定理？作用：求高次幂余数费马数：，猜测它是素数，实际上只有n为0，1，2，3，4时是素数54第54页五、哥尼斯堡七桥问题与四色问题五、哥尼斯堡七桥问题与四色问题55第55页一笔画一笔画56第56页 四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）英国大学生提出来。德摩尔根（Augustus De Morgan，18061871）1852年10月23日致哈密顿一封信提供了相关四色定理起源最原始记载。四色问题又称四色猜测，是世界近代三大数学难题之一。1872年，英国当初最著名数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜测成了世界数学界关注问题。世界上许多一流数学家都纷纷参加了四色猜测大会战。18781880年两年间，著名律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证实四色猜测论文，宣告证实了四色定理，大家都认为四色猜测从此也就处理了。57第57页六、三大作图难题、非欧几何六、三大作图难题、非欧几何58第58页三大几何作图问题1、化圆为方：=2、倍立方问题：=3、三等分角2.1论证数学发端直到19世纪，法国数学家旺泽尔在代数方程论基础上证实了倍立方和三等分任意角不可能性。之后，德国数学家林德曼证实了数 超越性，从而证实了化圆为方不可能性。59第59页著名欧几里德几何原本中5个公设：1.由任意一点到任意一点可作直线。2.一条有限直线能够继续延长。3.以任意点为心及任意距离能够画圆。4.凡直角都相等。5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧两个内角和小於二直角，则这二直线经无限延后在这侧相交（或：过直线外有且只有一条直线与它平行）60第60页非欧几何含义：普通来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面不一样含义。所谓广义泛指一切和欧几里得几何学不一样几何学；狭义非欧几何只是指罗氏几何来说；至于通常意义非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。非欧几何源于疑惑：第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证实第五公设？因为证实第五公设问题一直得不到处理，人们逐步怀疑证实路子走得对不对？第五公设到底能不能证实？61第61页罗巴切夫斯基几何俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基 和匈牙利数学家鲍耶.雅诺几乎同时发觉了平行公理不可证性和非欧几何学存在毕业于同一大学:列宁-政治家马尔柯夫列可夫-科学家化学家62第62页非欧几何模型。复变函数理论。非欧直线非欧距离、非欧角、非欧圆、非欧三角形.，非欧三角形内角和小于180度；不存在非欧矩形。63第63页黎曼几何黎曼是世界数学史上最具独创精神数学家之一。黎曼著作不多，但却异常深刻，极富于对概念创造与想象。黎曼在其短暂一生中为数学众多领域作了许多奠基性、创造性工作，为世界数学建立了丰功伟绩。因终年贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。德国哥廷根大学德国九所精英大学之一出了包含黎曼在内大数学家数学家-卡尔弗里德里希高斯数学家-大卫希尔伯特数学家-菲利克斯克莱因64第64页65第65页三种几何关系三种几何关系欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区分几何。这三种几何各自全部命题都组成了一个严密公理体系，各公理之间满足友好性、完备性和独立性。所以这三种几何都是正确。在我们这个不大不小、不远不近空间里，也就是在我们日常生活中，欧氏几何是适用；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。66第66页七、赌金分配、蒲丰投针七、赌金分配、蒲丰投针 德德.梅勒和他一个朋友各出梅勒和他一个朋友各出3030个金币、各个金币、各选一个点数进行赌博，约定：谁选择点数首选一个点数进行赌博，约定：谁选择点数首先被掷出先被掷出3 3次，谁就赢得全部赌注。次，谁就赢得全部赌注。在游戏进行了一会儿后，德在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择点梅勒选择点数数“5”“5”出现了出现了2 2次，而他朋友选择点数次，而他朋友选择点数“3”“3”只出现了一次。这时候，德只出现了一次。这时候，德.梅勒因为一个紧梅勒因为一个紧急事情必须离开，游戏不得不停顿。他们该急事情必须离开，游戏不得不停顿。他们该怎样分配赌桌上怎样分配赌桌上6060个金币赌注呢？个金币赌注呢？67第67页赌金分配问题赌金分配问题争论不休写信求救通信探讨产生思想68第68页n nBlaise Pascal Blaise Pascal(1623-1662)(1623-1662)Pierre de Fermat(1601-1665)1654 年 Pascal 与 Fermat 五封通信，奠定概率论基础。他们当初考虑一个掷骰子问题，开始形成数学期望概念，并以“输赢钱数学期望”来为赌博“定价”。69第69页而在三年后，即1657年，荷兰另一数学家惠根斯1629-1695亦用自己方法处理了这一问题，更写成了论赌博中计算一书，这就是概率论最早论著，他们三人提出解法中，都首先包括了数学期望mathematicalexpectation这一概念，并由此奠定了古典概率论基础。70第70页赌金分配计算方法赌金分配计算方法n n费尔马费尔马：最多掷：最多掷5 5次就能决定胜败，令次就能决定胜败，令a a表示表示A A胜，胜，b b表示表示B B胜，考虑胜，考虑a a和和b b排列：排列：aab aba baa ,aab aba baa ,德应得到：德应得到：60 9/12=45 60 9/12=45n n帕斯卡帕斯卡：再赌一局，若德赢，则可得全部赌金，若德输，：再赌一局，若德赢，则可得全部赌金，若德输，也有二分之一机会可得二分之一赌金，所以也有二分之一机会可得二分之一赌金，所以6060（1/2+3/41/2+3/4）=45=45n n惠更斯惠更斯：若取得：若取得a a赌金概率是赌金概率是p p，b b概率是概率是q q，那么他所期望，那么他所期望取得赌金就是取得赌金就是ap+bqap+bq，所以德可获：，所以德可获：601/2+301/2=45601/2+301/2=4571第71页蒲丰（George-LouisLeclercdeBuffon,1707.9.7-1788.4.16），法国数学家、自然科学家。179月7日生于蒙巴尔；1788年4月16日卒于巴黎.72第72页蒲丰投针蒲丰投针73第73页 蒲丰10岁时在第戎耶稣会学院读书，16岁主修法学，21岁到昂热转修数学，并开始研究自然科学，尤其是植物学。1733年当选为法国科学院院士，1739年任巴黎皇家植物园园长，1753年进入法兰西学院。1771年接收法王路易十四爵封。蒲丰是几何概率开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世。投针问题可述为：设在平面上有一组平行线，其距都等于D，把一根长lD针随机投上去，则这根针和一条直线相交概率是2l/D.74第74页1850年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎世，用一根长36mm针，平行线间距为45mm，投掷5000次，得3.1596.1864年，英国人福克投掷了1100次，求得3.1419.19，意大利人拉兹瑞尼投掷了3408次，得到了准确到6位小数值3.1415929，这个结果是如此准确，以致于很多人怀疑其试验真伪。75第75页蒲丰提出了用试验概率方法计算：1)取一张白纸，在上面画上许多条间距为d平行线2)取一根长度为针，随机地向画有平行直线纸上掷n次，观察针与直线相交次数，记为m 3）计算针与直线相交概率 4）经统计试验预计出概率:76第76页 不过，蒲丰试验主要性并非是为了求得比其它方法更准确 值。蒲丰投针问题主要性在于它是第一个用几何形式表示概率问题例子。计算 这一方法，不但因其新奇，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题先河，是用偶然性方法去处理确定性计算前导。77第77页 八、海岸线长度问题与八、海岸线长度问题与 分形和混沌分形和混沌78第78页 1.B.B.Mandelbrot1.B.B.Mandelbrot工作工作 1967年法国数学家B.B.Mandelbrot在科学杂志上发表文章“英国海岸线 有多长？”。这看似极其简单，但Mandelbrot发觉：当 测量单位变小时，所得长度是 无限 增大。79第79页n n 在理论数学中，瑞典数学家Koch早在n n19就结构了如今称之为“柯赫曲线”n n (Koch curve)几何对象。80第80页2.E.N.Lorenz2.E.N.Lorenz工作工作 美国气象学家美国气象学家E.N.LorenzE.N.Lorenz在在天气预报天气预报中发觉是中发觉是混沌认识过程中一个里程碑。混沌认识过程中一个里程碑。1963 1963年，他在麻省理工学院操作着一台当初比年，他在麻省理工学院操作着一台当初比较先进工具较先进工具计算机进行天气模拟，试图进行长计算机进行天气模拟，试图进行长久天气预报。久天气预报。Lorenz Lorenz发觉发觉混沌混沌运动两个主要特点：运动两个主要特点：（1 1）对初值极端敏感；）对初值极端敏感；(2)(2)解并不是完全随机。解并不是完全随机。LorenzLorenz之后，混沌学研究开始蓬勃发展。之后，混沌学研究开始蓬勃发展。81第81页3.3.逻辑斯蒂映射（逻辑斯蒂映射（LogisticLogistic）首先选定一个在首先选定一个在(0,4)(0,4)区间内区间内参数参数k k，然后对，然后对 于任意一个于任意一个(0,1)(0,1)区间内初始值区间内初始值 ，我们令，我们令 由均值不等式可知由均值不等式可知 也在也在(0,1)(0,1)区间内，能够继区间内，能够继续令续令 82第82页 对于取值不太大 k，经过x值屡次迭代，发觉不论初始值怎样，最终结果总是稳定，而且稳定状态不依赖于初始值。但当 k超出3时，情况发生了改变，稳定状态变为两个数值。继续增大k到3.444时，周期2稳定状态也不再出现，出现周期4循环。83第83页84第84页 当k增大到3.56，周期又加倍到8个；到3.567，周期到达16个，今后便是更加快速32，64，128周期倍增数列。这种倍周期分岔速度如此之快，以至到3.5699就结束了，倍周期分岔现象突然中止：周期性让位于混沌。85第85页86第86页87第87页东西方小学数学名题漫谈东西方小学数学名题漫谈1、盈亏问题2、鸡兔同笼3、百羊问题4、李白买酒(欧拉巧解农妇买蛋)5、欧几里得算题6、克拉维斯问题7、福尔摩斯算题8、奥克利提出问题9、牛顿提出问题10、普哇松巧分牛奶88第88页 一、盈亏问题一、盈亏问题中国最著名数学著作当属九章算术，书中共有九章相关实际应用问题及解法内容而得名，其中有一章为“盈不足章”，也就是专门讨论盈亏问题。盈亏问题特点是：在分东西时候，出现两种方案，每种方案会出现盈或亏。解答盈亏问题用比较法：找出两个相关差数，再求出一个单位量数值。例例1某校安排学生宿舍，假如每间5人，那么有14人没有床位；假如每间7人，那么多4个空床位。问宿舍几间?学生几人？例例2 少先队员去植树，假如每人种5棵，还有3棵没人种；假如其中2人各种4棵，其余人各种6棵，则种完全部树苗。那么有几位少先队员？共有几棵树苗？89第89页 二、鸡兔同笼问题二、鸡兔同笼问题我国古代数学著作孙子算经中有一道著名鸡兔同笼问我国古代数学著作孙子算经中有一道著名鸡兔同笼问题：鸡兔同笼，总体一数，有头题：鸡兔同笼，总体一数，有头30，脚，脚72，问鸡兔数？，问鸡兔数？鸡兔同笼问题特点：已知两总数，求两物数鸡兔同笼问题特点：已知两总数，求两物数解答此问题方法：假设法，按一个情况来判断解答此问题方法：假设法，按一个情况来判断 例例1 笼中共有鸡兔笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共只，鸡兔足数共248只，问鸡兔各有多只，问鸡兔各有多少只？少只？例例2 2 蜘蛛有蜘蛛有8 8只脚，蜻蜓有只脚，蜻蜓有6 6只脚和两对翅膀，蝉有只脚和两对翅膀，蝉有6 6只脚和一只脚和一对翅膀，现在有这三种小虫对翅膀，现在有这三种小虫1818只，共有脚只，共有脚118118只，翅膀只，翅膀2020对，对，问每种小虫各有几只？问每种小虫各有几只？90第90页三、百羊问题三、百羊问题三、百羊问题三、百羊问题 明代数学家程大位所编算法统宗中有这么一道用民谣给出题目：明代数学家程大位所编算法统宗中有这么一道用民谣给出题目：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群羊，再添半群小半群，若得这般一群羊，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透。得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透。此题大意是：乙问甲这群羊大约有一百只吧？甲说：此题大意是：乙问甲这群羊大约有一百只吧？甲说：“假如这群羊假如这群羊加上它一倍，再加上原来二分之一又一小半（四分之一），最终加上它一倍，再加上原来二分之一又一小半（四分之一），最终把你这一只羊也算上，就刚好凑够一百只。把你这一只羊也算上，就刚好凑够一百只。”这群羊有多少只？这群羊有多少只？91第91页 四、李白买酒四、李白买酒(欧拉巧解农妇卖蛋欧拉巧解农妇卖蛋)例例1 李白是我国唐代一位伟大诗人。听说，有一次，他：无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇花和店，喝光壶中酒。试问壶中原来有多少酒？例例2 有一个农夫到街上去卖鸡蛋，第一个人买去了全部鸡蛋二分之一还多一个，第二个人买去了剩下二分之一多一个，第三个人又买去了剩下二分之一多一个。这时筐里还剩下了10个鸡蛋。那么农夫总共带了多少鸡蛋到街上去卖？92第92页五五、欧几里得算题、欧几里得算题欧几里得，是古希腊数学家。他曾编写过这么一题欧几里得，是古希腊数学家。他曾编写过这么一题:例例1 骡子和驴驮着谷物并排走在大街上，途中，骡子对驴说：骡子和驴驮着谷物并排走在大街上，途中，骡子对驴说：“假如你把驮谷物给我一包，我驮包数就是你二倍；假如我给你假如你把驮谷物给我一包，我驮包数就是你二倍；假如我给你一包谷物，咱俩驮包数相等。一包谷物，咱俩驮包数相等。”请你想想，他们各驮了多少包谷请你想想，他们各驮了多少包谷物？物？93第93页 六、克拉维斯问题六、克拉维斯问题选自选自16世纪意大利数学家克拉维斯所著实用算术概论一书。世纪意大利数学家克拉维斯所著实用算术概论一书。例例1 父亲对儿子说：父亲对儿子说：“做对一道题给做对一道题给8分，做错一道题扣分，做错一道题扣5分。分。”做完做完26道题后，儿子得道题后，儿子得0分。儿子做对了几道分。儿子做对了几道?94第94页 七、奥克里提出问题七、奥克里提出问题此题是美国哈佛大学著名学者奥克里提出问题此题是美国哈佛大学著名学者奥克里提出问题:例例1 两只渡船在一条河两岸间往返行驶，他们分别从河两岸两只渡船在一条河两岸间往返行驶，他们分别从河两岸同时开始航行，在离河一岸同时开始航行，在离河一岸700米处第一次相遇。然后继续前米处第一次相遇。然后继续前行，一直抵达对岸。两船返回航行时，在离另一岸行，一直抵达对岸。两船返回航行时，在离另一岸400米处第米处第二次相遇。求河有多宽？二次相遇。求河有多宽？95第95页八、普哇松巧分牛奶八、普哇松巧分牛奶听说法国著名数学家普哇松，年轻时就因为做了下面一道题才对数学发生了浓厚兴趣，你呢？例例1 有容量为8千克、5千克、3千克三个桶。8千克桶里装着牛奶，其余2只桶是空桶。只用这三个桶怎样把牛奶平均分成两份？96第96页 九、牛顿提出问题九、牛顿提出问题此题是英国大物理学家牛顿提出来，因为很有思索价值，所以被誉为世界名题。例例1 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不停生长。27头牛能够6天吃完全部草；23头牛吃全部草则要9天。假如让21头牛来吃草，多少天能够吃完？97第97页 谢谢 谢谢 ！98第98页