概率统计教案2章第4节.pdf
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1、 概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 58 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第四节 连续型随机变量及其概率密度 课时:2 教学目的 教学目的(1)理解连续型随机变量及其概率密度的概念理解连续型随机变量及其概率密度的概念;(2)掌握正态分布掌握正态分布;(3)掌握均匀分布和指数分布掌握均匀分布和指数分布。内容 内容(1)连续型随机变量概率密度的性质;(2)均匀分布、正态分布的相关问题的计算与应用。教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强连续型随机变量概率密度和
2、性质的讲评,加大关于均匀分布、正态分布的例题讲解力度,布置作业训练巩固。内容 内容 连续型随机变量概率密度和分布函数的计算。教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 加大例题讲解力度,特别是寻找解法程序和注意事项。教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件,板书配合分析。习题布置 习题布置 P59:1、2、4、5、6、7、9、12。参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社,2015 年 8 月.2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社,2015 年 8 月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健.光盘:概率论与数理统计教案、作业册与试卷考
3、题及答案、数学实验视频.大连理工大学出版社,2015 年 8月.4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验教材.中国科学技术出版社,2007 年 7 月.联系方式: 概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 59 页页 教 学 内 容 教学笔记教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介本次课我们讲授:对于连续型随机变量 X,同离散型随机变量 X 并行研究,先后讨论概率密度函数、分布函数和随机变量函数的概率分布问题,其中重点研究三种常用的连续型随机变量的分布均匀分布、
4、指数分布和正态分布.预备知识 预备知识 反常积分,原函数,积分的几何意义,定积分与反常积分计算,奇偶函数,单调增函数,函数连续性.第四节 连续型随机变量及其概率密度 第四节 连续型随机变量及其概率密度 一、连续型随机变量的概率密度 一、连续型随机变量的概率密度 定义 设定义 设 F(x)是随机变量是随机变量 X 的分布函数的分布函数,如果存在一个非负可积函数如果存在一个非负可积函数 f(x),使得对于任意的实数使得对于任意的实数 x,有有 F(x)=PXx=()d(),xf tt,x,(4.1)则称则称 X 为连续型随机变量为连续型随机变量(continuous random variable
5、),其中函数其中函数 f(x)称为称为 X的概率密度的概率密度,又称为概率密度函数(又称为概率密度函数(probability density function).连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)与概率密度 f(x)的关系的几何解释如图2-6 所示.图 2-6 分布函数图 2-6 分布函数 F(x)与概率密度与概率密度 f(x)关系关系由上述定义可知,概率密度 f(x)具有以下性质:(1)f(x)0,x(-,+).(2)()d1f xx.性质(2)说明,介于曲线 y=f(x)与 Ox 轴之间的面积等于 1(见图 2-7).概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健
6、编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 60 页页 图 2-7 图 2-7()d1f x x的几何意义的几何意义可 以 验 证,对 于 满 足 性 质(1)和(2)的 函 数 f(x),作 函 数 G(x)=()d(),xf tt,x,得到 G(x)是某一个随机变量 X 的分布函数,而 f(x)是随机变量 X 的概率密度.概率密度 f(x)除了满足上述性质(1),(2)外,常用的性质还有:(3)对于任意实数对于任意实数 x1,x2(x1x2),Px1Xx2=F(x2)-F(x1)=21()dxxf xx.(4.2)性质(3)告诉我们
7、,随机变量(看作一个点)X 落在区间(x1,x2上的概率Px1Xx2等于曲线 y=f(x)在区间(x1,x2上的曲边梯形的面积(见图 2-8).图 2-8图 2-8 P x1Xx2=21()dxxf xx的几何意义 更一般地,对于直线上任一区间或由若干个不相交的区间组成的区域 A,随机变量随机变量 X 在区域在区域 A 中取值的概率为中取值的概率为 dAP XAf xx.(4.3)上式由(4.2)式和积分区间可加性立即得到.(4)若若 f(x)在点在点 x 处连续,则有处连续,则有).()(xfxF 这是因为对于 f(x)的连续点 x,总有 概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈
8、倩华,陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 61 页页 00()d()()()limlim()xxxxxf ttF xxF xF xf xxx.上式还告诉我们,X 的概率密度 f(x)在x这一点的值,恰好是 X 落在区间(x,x+x上的概率()()F xxF x与区间长度x 之比的极限.若不计高阶无穷小,有()()F xxF x=PxXx+x f(x)x.它表示随机变量 X 取值落入区间(x,x+x的概率近似等于 f(x)x.(5)连续型随机变量连续型随机变量 X 取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为 0,即即PX=a=
9、0,a 为任一常数为任一常数.这是因为PX=a=0lim()d()d0.aaaaf xxf x x 因此,对连续型随机变量 X,(4.2)式成为 Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2.(4.4)(6)连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数 F(x)是处处连续的是处处连续的.由定义即可看出这个结论是对的.而本章第三节定义(3.1)式得到的分布函数 F(x)仅是右连续的.应该注意到,性质(5),(6)这两点对离散型随机变量是不成立的.例例 2.4.1 设连续型随机变量 X 的概率密度 2,1,()10,1.kxf xxx 试求:(1)常数 k;(2)P|X|0.5;(3
10、)X 的分布函数.概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 62 页页 解解 (1)因为()d1,f xx 故由反常积分计算得到 11121()ddarcsin1kf xxxkxkx,所以 k=1.(2)所求概率 0.50.50.50.50.50.520.50.50.5()dd11arcsin.31PXPXf xxxxx(3)因为()()d,xF xf tt 得到:当 x-1 时,()()d0d0 xxF xf ttt;当-1x1 时,1211d()()d0d1111ar
11、csinarcsin;2xxxtF xf tttttx当 x1 时,F(x)=11211d()d0d0d1xxtf ttttt=1.综合上述分析,得到 X 的分布函数为 0,1,11()arcsin,11,21,1.xF xxxx 概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 63 页页 二、常用三种连续型随机变量的分布 二、常用三种连续型随机变量的分布 常用的连续型随机变量的分布有均匀分布、指数分布和正态分布.1.均匀分布(.均匀分布(Uniform distributio
12、n)若连续型随机变量 X 的概率密度为 1,()0,.axbf xba其它 (4.5)则称 X 在区间在区间(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布,记为记为 XU(a,b),a,b 为分布参数,且为分布参数,且 ab.显然,均匀分布的分布函数为 0,(),1,.xaxaF xaxbbaxb,(4.6)均匀分布的概率密度 f(x)及分布函数 F(x)的图像分别如图 2-9,2-10 所示.概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 64 页页 图图 2-9 均匀分布 均匀分布
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