概率论与数理统计教师用教案概率统计教案3章习题课三.pdf
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1、 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 126 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第三章多维随机变量及其概率内容习题课课时:2 教学目的 教学目的(1)熟练计算二维离散型随机变量及其概率分布问题;(2)熟练计算二维连续型随机变量及其概率密度问题;熟练计算二维连续型随机变量及其概率密度问题;(3)熟练计算二维随机变量的分布函数;(4)熟练计算二维随机变量函数的概率分布问题.内容 内容 二维离散型随机变量、连续型随机变量及其概率分布问题.教
2、学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强二维离散型随机变量、连续型随机变量及其概率分布问题的讲评,加大例题讲解力度,布置作业训练巩固.内容 内容 随机变量的条件概率分布和独立性.教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 讲清条件概率分布和独立性的关系,加大例题讲解力度.教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件,板书配合分析习题布置 习题布置 P99:A 组:1、3、4、6.P101:B 组:1、3、4、5.参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社,2015 年 8 月.2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社,2015 年 8
3、 月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健.光盘:概率论与数理统计教案、作业册与考试试卷及答案、数学实验视频.大连理工大学出版社,2015 年 8月.4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验教材.中国科学技术出版社,2007 年 7 月.联系方式: 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 127 页页 教 学 内 容 教学笔记教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介我们归纳了第三章的概念、理论与方法等内容,并对关键而又容易出错的地方作了
4、讲评.分三块讲解,一是“主要内容归纳”,二是“例题分类解析”,三是“学习与研究方法”总结.在“例题分类解析”部分,讲解了:1.二维随机变量及其分布的概念及性质;2.二维离散型随机变量的分布律;3.二维连续型随机变量的分布函数;4.边缘分布律与条件分布律;5.随机变量落入平面区域内的概率计算;6.两个随机变量的独立性的判定;7.两个随机变量函数的概率分布.该章内容在历年考研题目中,占有比例较大.预备知识 预备知识 二维随机变量及其分布的相关知识.第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布一、一、主要内容归纳主要内容归纳1.分布函数分布函数 F(x,y)及其性质及其性质表表 3-1 二
5、维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数 F(x,y)及其性质及其性质 设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数 x,y,二元函数 F(x,y)=PXx,Yy称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数.分布函数 F(x,y)具有性质:(1)0F(x,y)1;(2)F(x,y)是 x 或 y 的不减函数,并且(,)0,(,)0,(,)0,(,)1;FyF xFF (3)F(x,y)关于 x 右连续,关于 y 右连续,即 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4)121222122111,(,)(,)(,)(,)P xXx
6、yYyF xyF x yF xyF x y,讲评讲评 并不是所有的二元函数都可以成为某个二维随机变量的分布函数,它必须要满足上表中的(1)(4)条性质.反过来我们也常利用这四条性质来确定分布函数中的某些待定参数.2.二维离散型随机变量及其性质二维离散型随机变量及其性质表表 3-2 二维离散型随机变量及其性质二维离散型随机变量及其性质 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为,(,1,2,)ijijP Xx Yypi j.性质:(1)ijp0;(2)1ijijp.分布函数:(,)ijijxxyyF x yp.讲评讲评 若一个二维离散型随机变量的分布律不能满足性质(2),那么这个分布律的计算显然是错
7、误的.概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 128 页页 3.二维连续型随机变量及其性质二维连续型随机变量及其性质表表 3-3 二维连续型随机变量及其性质二维连续型随机变量及其性质 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y).性质:(1)f(x,y)0;(2)(,)d d1f x yx y;(3)2(,)Ff x yx y,(x,y)为f(x,y)的连续点;(4)(,)(,)d dGPX YGf x yx y.分布函数:(,)
8、(,)d dxyF x yf s ts t.讲评讲评 二维连续型随机变量的性质(2)常用来确定概率密度中的待定参数,而据性质(3)在已知联合分布函数时通过求偏导可求得联合概率密度.性质(4)常用于计算点(X,Y)落在给定平面区域 G 中的概率,本质上这是一个二重积分计算问题,但须仔细处理有效的积分区域和概率密度f(x,y)的分段表达式.4.二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布表表 3-4 边缘分布边缘分布 离散型随机变量离散型随机变量二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律为(1,2,)iijjiPP Xxpi.二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律为(1,2,)jijijPP Yy
9、pj.二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数().iiXijxxjixxFxpp 二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数().jiYijyyijyFyppy 连续型随机变量连续型随机变量二维随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度为()(,)dXfxf x yy.二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘概率密度为()(,)dYfyf x yx.二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数为()(,)dd()d.xxXXFxf x yyxfxx 二维随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数为()(,)dd()d.yyYYFyf x yxyfyy讲评讲评 对于离散型随机变量而言,边缘分布律的计算是十分
10、容易的,只需将联合分布律表格中的数据横向或纵向相加写在相应的边框上.对于连续型随机变量,很多时候需要将联合概率密度 f(x,y)的定义域进行划分后再积分求得,其边缘分布函数多为分段函数,计算比较难,应引起读者重视.5.二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 129 页页 表表 3-5 条件分布条件分布 离散型随机变量离散型随机变量二维随机变量(X,Y)在条件jYy下X的条件分布律为,|(1,2,
11、)ijijijjjP Xx YypP XxYyiP Yyp.二维随机变量(X,Y)在条件iXx下Y的条件分布律为,|(1,2,)ijijjiiiP Xx YypP YyXxjP Xxp.连续型随机变量连续型随机变量二维随机变量(X,Y)在条件Y=y下X的条件概率密度为|(,)(|)()X YYf x yfxyfy,条件分布函数为|(,)d(|)(|)d()xxX YX YYf x yxFxyfxyxfy.二维随机变量(X,Y)在条件X=x下Y的条件概率密度为|(,)(|)()Y XXf x yfyxfx,条件分布函数为|(,)d(|)(|)d()yyY XY XXf x yyFyxfyxyfx
12、.讲评讲评 为了求得条件分布律或条件概率密度,必须事先求得相应的边缘分布律或边缘概率密度.6.随机变量的独立性随机变量的独立性3-6 随机变量的独立性随机变量的独立性 定义定义若对任意的数x,y,满足F(x,y)=FX(x)FY(y),则称随机变量X与Y相互独立.其中F(x,y),FX(x),FY(y)分别是(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.离散型随机变量离散型随机变量随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是:,ijijP Xx YyP Xx P Yy,对于(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)均成立.连续型随机变量连续型随机变量随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是:f(x,y)=fX(x)
13、fY(y)在平面上几乎处处成立,其中f(x,y),fX(x),fY(y)分别是(X,Y)的概率密度和边缘密度.讲评讲评 随机变量的独立性是一个非常重要的概念,也是一种非常实用的方法.在 实 际 的 应 用 中 ,对 于 离 散 型 随 机 变 量,我 们 只 要验 证,ijijP Xx YyP Xx P Yy对于(X,Y)的所有可能取值(,)ijx y都成立;对连续型随机变量,只要验证 f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上几乎处处成立.这样处理往往比利用独立性定义更简便.7.简单随机变量函数的分布简单随机变量函数的分布表表 3-7 常见两个随机变量函数的分布常见两个随机变量函数的分布 概
14、率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 概率论与数理统计教案 第三章习题课三 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工大学出版社出版第 130 页页,ijkkijxyzP ZzP Xx Yy,ikiiP Xx Yzx 或,kjkjjP ZzP XzyYy.设X,Y为连续型随机变量,Z=X+Y的分布函数为()ZFzP ZzP XY(,)d dxyzzf x yx yd(,)dd(,)d.zxzyxf x yyyf x yxZ=X+Y的概率密度为()(,)d(,)d.Zfzf x zxxf zy yy (*)若X,Y相互独立,则有卷积公式(
15、)()()d()()d.ZXYXYfzfzyfyyfxfzxx (*)M=maxX,Y M的分布函数为max()()()XYFzFzF z,其中X,Y相互独立.N=minX,Y N的分布函数为min()11()1()XYFzFzF z,其中X,Y相互独立.讲评讲评 这里罗列了三种常见的二维随机变量函数的分布.Z=X+Y 的概率密度公式(*)和(*)要非常熟悉.对于随机变量 X,Y,若熟悉其分布函数,则M=maxX,Y和 N=minX,Y的分布函数将易于求得.这三种分布,在研究元件的可靠性分析中,常分别用于描述元件备用联接、并联和串联时的系统寿命.8.重要结论重要结论表表 3-8 重要结论重要结
16、论(1)二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,而且都不依赖于参数.(2)一般地,单由关于X和Y的边缘分布不能确定X和Y的联合分布.(3)对于二维正态随机变量(X,Y),X和Y相互独立的充要条件是参数=0.(4)有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.讲评讲评 这些结论要非常熟悉.9.重要二维分布及其性质重要二维分布及其性质表表 3-9 重要二维分布及其性质重要二维分布及其性质 均匀分布均匀分布二维随机变量(X,Y)的概率密度为 1,(,),(,)0,.Gx yGSf x y其它其中SG表示平面区域G的面积.正态分布正态分布二维随机变量(X,Y)的概率密度为 2211222
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