概率论与数理统计教师用教案概率统计教案3章第2-3节.pdf
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1、概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第 102 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第二节 条件分布第三节 相互独立的随机变量课时:2 教学目的 教学目的(1)理解二维随机变量的边缘分布理解二维随机变量的边缘分布;(2)理解随机变量的独立性概念理解随机变量的独立性概念.内容 内容 连续型随机变量的条件分布函数、条件概率密度,二维均匀分布和正态分布,随机变量的相互独立性.教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强二维随机变量的条件分布函数、条件分布率、条件概
2、率密度和几种关系的讲评,加大二维均匀分布和正态分布的例题讲解力度,布置作业训练巩固.内容 内容 条件分布函数、条件概率密度,离散型随机变量的条件分布律,随机变量的相互独立性.教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 讲情概念“条件分布”的意思,加大例题讲解力度.教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件,板书配合分析习题布置 习题布置 P88:1、3、5;P90:1、4、5.参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社,2015 年 8 月.2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社,2015 年 8 月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健
3、.光盘:概率论与数理统计教案、作业册与试卷考题及答案、数学实验视频.大连理工大学出版社,2015 年 8月.4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验教材.中国科学技术出版社,2007 年 7 月.联系方式: 概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第 103 页页 教 学 内 容 教学笔记 教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介考察二维随机变量(X,Y)时,常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下,求另一个随机变量取值的概率.为此,我们由随机
4、事件的条件概率很自然地引出条件概率分布的概念.关于条件概率分布,我们学习条件分布律、条件分布函数和条件概率密度,以及它们之间的关系.随机变量的独立性也是研究两个或几个随机变量之间的影响关系,特别是它们之间没有影响关系时就得到了的随机变量的独立性.独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念,同时也是非常实用的方法,它是由随机事件的独立性引申而来的.我们重点学习如何判定独立性和如何利用独立性.预备知识 预备知识 事件的条件概率计算公式,柯西中值公式,概率密度与分布函数关系;事件的独立性,联合分布律与联合概率密度,边缘分布律与边缘概率密度,充分必要条件;n 重积分及其反常积分表示.第二节第二节 条
5、件分布 条件分布 一、一、离散型随机变量的条件分布律 离散型随机变量的条件分布律 设(X,Y)是一个二维离散型随机变量,其分布律为,1,2,ijijP Xx Yypi j,(X,Y)关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为,1,2,iiijjP Xxpp i,1,2,jjijiP Yyppj.我们由随机事件的条件概率给出随机变量的条件概率分布的概念.定义定义 对于固定的对于固定的 j,若若0jyYP,则称则称,1,2,ijijijjjP Xx YypP Xx YyipP Yy (2.1)为在为在 Y=yj条件下随机变量条件下随机变量 X 的条件分布律的条件分布律.同样同样,对于固定的对于固定的 i
6、,若若0iP Xx,则称则称,1,2,ijijjiiiP Xx YypP Yy XxjP Xxp,(2.2)概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第 104 页页 为在为在 X=xi条件下随机变量条件下随机变量 Y 的条件分布律的条件分布律.例例 3.2.1 设某工厂每天工作时间X可分为 6 小时、8 小时、10 小时和 12小时,工人的工作效率Y可以按 50%、70%、90%分为三类.已知(X,Y)的概率分布为X Y 6810 120.5 0.014 0.0
7、36 0.058 0.072 0.7 0.036 0.216 0.180 0.043 0.9 0.072 0.180 0.079 0.014 如果以工作效率不低于70%的概率越大越好作为评判标准,问每天工作时间以几个小时为最好?解解 建议:告诉学生自看:1、是生产实际问题;2、“效率”受到“工作时间”的条件影响;3、总结方法.先求(X,Y)的关于 X 的边缘分布律:X 6 8 10 12 Pi 0.122 0.4320.3170.129下面分别考虑 X 等于 6,8,10,12 时 Y 的条件分布律,即,ijjiiP Xx YyP Yy XxP Xx其中6,8,10,120.5,0.7,0.9
8、.ijxy;计算可得下表数据:Y0.50.70.96jP Yy X 0.115 0.295 0.590 8jP Yy X 0.083 0.500 0.417 10jP Yy X 0.183 0.568 0.249 12jP Yy X 0.558 0.333 0.109 从上表可以看出:在 PY0.7X=xi的值中,当 xi=8 时,概率 0.7|10.7iiP YXxP YXx 1-0.083=0.917 最大,即每天工作 8 小时,工作效率达到最优 概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈
9、倩华,陈健 编著 大连理工版 第 105 页页 二、二、连续型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布 对二维连续型随机变量,我们也想定义分布函数 PXx|Y=y.但是,由于概率 PY=y=0,因此不能像离散型随机变量那样简单地定义了.容易想到:设A 为某一事件,Y 为随机变量,其分布函数为 FY(y),设 Py0(0),则由条件概率公式可知,P A yYyP A yYyP yYy.如果当 0+时上式极限存在,则称此极限为事件 A 在条件 Y=y 下发生的条件概率(条件概率(conditional probability),即 0,limP A yYyP A YyP yYy.设 X 为随机
10、变量,取事件 A 为Xx,则称 P Xx Yy (2.3)为随机变量 X 在条件 Y=y 下的条件分布函数(条件分布函数(conditional distribution function),记作)(yxFYX.设(X,Y)为二维连续型随机变量,分布函数为 F(x,y),其概率密度为 f(x,y)且连续,则 00(,)(,)()limlim()()X YYYF x yF x yFx yP Xx YyFyFy.由拉格朗日中值定理,可知 00(,)()lim (,)()(,)d d(,)(,)lim()()()(,)d(,)d.()()yX YYyxyyYYYxxYYF x Fx y yyF f
11、s tstF x F x yyF Fyfyf s ysf s ysfyfy都在 与之间上式就是在给定条件 Y=y 下随机变量X的条件分布函数条件分布函数.而)(),(yfyxfY称为在给定条件Y=y下X的条件概率密度(条件概率密度(conditional probability density),记为)(),()(yfyxfyxfYYX.同理,可得出(,)()d()yY XXf x tFy xtfx,得到 X=x 下 Y 的条件概率密度条件概率密度)(),()(xfyxfxyfXXY.综上所述,我们得到常用的关系常用的关系(在各个表达式有意义的条件下):概率论与数理统计教案 第三章第二、三节
12、郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第 106 页页(1)()X YFx y=|(,)d(|)d;()xxX YYf x yxfx yxfy (2.4)()Y XFy x=(,)d()yXf x yyfx|(|)d.yY Xfx yy (2.5)(2)(,)(|)()X YYf x yfx yfy或),(yxf=)(yfY(|)X Yfx y;(2.6)(,)(|)()Y XXf x yfy xfx或),(yxf=)(xfX(|)Y Xfy x.(2.7)(3)|(|)(|),(|)(|).X Y
13、X YY XY XFx yfx yFy xfy x (2.8)利用条件概率密度的概念,我们可以给出随机变量情形的全概率公式和贝叶斯公式.将(2.6)和(2.7)式右端联合概率密度公式再求积分,就得到概率密度形式的全概率公式概率密度形式的全概率公式:|()()(|)d,XYX Yfxfy fx yy (2.9)|()()(|)d.YXY Xfyfx fy xx (2.10)将(2.6),(2.7),(2.9),(2.10)式互相带入,得到概率密度形式的贝叶斯公式概率密度形式的贝叶斯公式:|()(|)(|),()(|)dXY XX YXY Xfx fy xfx yfx fy xx (2.11)|(
14、)(|)(|).()(|)dYX YY XYX Yfy fx yfy xfy fx yy (2.12)注意,虽然由边际分布无法得到联合分布,但(2.6),(2.7)式说明,由边际分布和条件分布就可以得到联合分布.例例 3.2.2 设 G 是平面上的有界区域,其面积为 A.若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,0,),(,1),(其它GyxAyxf则称(X,Y)在在 G 上服从二维均匀分布上服从二维均匀分布.现设二维随机变量(X,Y)在圆域 x2+y21上服从均匀分布,求条件概率密度)(yxfYX.解解 由题设,随机变量(X,Y)具有概率密度 概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松
15、,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第 107 页页 221,1,(,)0,xyf x y其它.因此边缘概率密度为()(,)dYfyf x yx =221,11,0,yy 其它.于是,当-1 y 1 时,有条件概率密度 2221,11,(,)()2 1()0,X YYyxyf x yfx yyfy 其它.概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第二、三节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版 第 108 页页 由此可见,X,Y
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