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高等数学练习题第七章及答案

1. 判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和．
(1) ；
(2)
解 （1）此级数为等比级数，其公比，级数收敛，且和
.
（2）此级数为等比级数，其公比，级数发散.
2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和.

解 原式=
因为 ，收敛.
， 收敛，
由性质知，级数收敛，且和.

1.求幂级数的收敛区间与和函数.
解 因为幂级数=是等比级数，且公比
，
当时，等比级数收敛，即得收敛区间（-2，2），其和函数
.
2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.
（1）; (2).
解 (1)因为；，于是
.
所以，收敛半径；收敛区间.
(2)设，原幂级数改写为.于是，

所以，.由于得，
故幂级数的收敛半径收敛，收敛区间.
3. 利用matlab软件，将函数展开为幂级数.
解 利用matlab软件，函数展开的幂级数式为

1.设是周期为的函数，它在上的表示式为

其中为不等于零的常数，将展开为傅立叶级数.
解 因为周期函数的傅立叶系数
，
，
，

所以的傅立叶级数为

2.设是周期为的函数，它在上的表示式为

将展开为傅立叶级数.
解 因为周期函数是偶函数，其傅立叶系数为
，
，

-
=

所以，展开为傅立叶级数
.

1.设是周期为2的函数，它在上的表示式为
将展开为傅立叶级数.
解 因为周期函数的傅立叶系数
，
，
，

所以的傅立叶级数为

2.将周期为4的函数展开为傅立叶级数.
解 因为为奇函数，傅立叶系数为
， ，

.
所以，展开为傅立叶级数

利用拉氏变换表求下列函数拉氏变换
(1)； (2)； (3) ；
(4) ；(5) ； (6).
解 查表得，(1)；(2)；(3) ；
(4)；(5)；(6).

求下列各函数的拉氏变换.
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
解 (1) ；
(2)
=；
(3) =；
(4) =；
(5) =.

求下列函数的拉氏逆变换
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) .
解 由拉氏变换逆性质，得
(1) =.
(2) =.
(3) =.
（4）
=.
(5)
=.