平面解析几何初步知识点例题.doc

海豚教育个性化简案
学生姓名：
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科目：
授课日期： 月 日
上课时间： 时 分 ------ 时 分 合计： 小时
教学目标
1. 掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式；
2. 能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;
3. 掌握圆的标准方程和一般方程.
重难点导航
1. 了解解析几何的基本思想；
2. 了解用坐标法研究几何问题的方法.
教学简案：

一、 真题演练

二、 个性化教案

三、 个性化作业

四、错题汇编

授课教师评价： □ 准时上课：无迟到和早退现象
（今日学生课堂表 □ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握
现符合共 项） □ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况
（大写） □ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象
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备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效 （可另附教案内页） 大写：壹 贰 叁 肆 签章：
海豚教育个性化教案（真题演练）
1. (2014年河南)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于

一、

海豚教育个性化教案
平面解析几何初步
知识点一：直线与方程
1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角,斜率不存在.
2. 直线的斜率：．（、）.
3．直线方程的五种形式

【典型例题】
例1：已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 当m＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m＝ 时，直线在x轴上的截距为1．③ 当m＝ 时，直线在y轴上的截距为－．④ 当m＝ 时，直线与x轴平行．⑤当m＝ 时，直线过原点．

【举一反三】
1. 直线3y＋x＋2=0的倾斜角是 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2. 设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是 （ ）
A．－3，4 B．2，－3 C．4，－3 D．4，3
3. 直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－，则l2的斜率是 （ ）
A． B．－ C． D．－
4. 直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．
例2：已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求证：A、B、C三点在同一条直线上.

练习：设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.

例3：已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：的最大值与最小值.

变式训练3. 若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为（ ）
A. B. C. D.
例4.：已知定点P(6, 4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程．

练习：直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点．
（1）当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
（2）当取最小值时，求直线l的方程．

知识点二：直线与直线的位置关系
一：两条直线的平行和垂直：
（1）若，
① ； ② .
（2）若，，有
① ．② ．
二：点到直线的距离、直线与直线的距离
1. 点到直线的距离公式：点到直线的距离：．
2. 两平行直线间的距离：两条平行直线距离：．
三：两条直线的交角公式
若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则
1． 直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．
四：两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．
五：五种常用的直线系方程.
① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).
② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).
③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.
④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C).
⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).
【典型例题】
例1：已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,
（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.

练习：若直线l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时，直线l1与l2分别相交？平行？垂直？重合？

例2：已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为，求直线l的方程．

练习：某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？

例3：直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．

练习：三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。

例4：设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使为最小，并求出这个最小值．

练习：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值．

知识点三：圆与方程
1. 圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为（）．
2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．
3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是① ； ② ；③ ．
4. 过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0()．
例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．
(2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．

练习：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．

例2：已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

练习：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

例3：知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.
（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.

练习：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.

例4：设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。

练习：如图，图O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
O1
O2
N
M
P

知识点四：线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切d＝r△＝0；相交 ；相离
2．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：
外离d > R＋r；外切 ；相交 ；内切 ；内含 。
3. 圆的切线方程
（1）过圆上的点的切线方程为:．
（2）过圆上的点的切线方程为: ．
（3）过圆上的点的切线方程为:
．
(4) 若P(,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为
(5) 若P(,)是圆外一点, 由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为
（6）当点在圆外时，可设切方程为，利用圆心到直线距离等于半径，
即，求出；或利用，求出．若求得只有一值，则还有一条斜率不存在的直线．
例1：过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
（1）求过点P的圆的切线方程．（2）若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．

【举一反三】
1. 已知点P(1，2)和圆C：，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是( )
A.k∈R Ｂ.k＜ Ｃ. D.
2. 设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时，r的取值范围是 （ ）
A．（0，－1） B．（0，1] C．（0，2－] D．（0，]
3. 若实数x、y满足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值为( )
A. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
4. 过点M且被圆截得弦长为8的直线的方程为 ．
5. 圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程是 .
例2：求经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程．

练习：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程．

例3：已知直线l：y＝k(x＋2)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，O为坐标原点．△AOB的面积为S．（1）试将S表示为k的函数S(k)，并求出它的定义域．（2）求S(k)的最大值，并求出此时的k值．

练习：点P在直线上，PA、PB与圆相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值．．

例4：已知圆C方程为：，直线l的方程为：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0．
（1）证明：无论m取何值，直线l与圆C恒有两个公共点。
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值．

练习：已知圆系，其中a≠1,且a∈R,则该圆系恒过定点 ．

海豚教育错题汇编
1. 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为(　　)

A.a B.a C.a D.a

海豚教育个性化作业
1．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若三点共线 则的值为（　　）
Ａ．　　 Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
3．直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
4．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
5．直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与的值有关
6. 方程所表示的图形的面积为_________。
7. 与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。
8. 已知点在直线上，则的最小值为
9. 一直线被两直线截得线段的中点是点，当点分别为，时，求此直线方程。

10. 直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边△，如果在第一象限内有一点使得△和△的面积相等，求的值。