机动目标跟踪与反跟踪(附录).doc
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1、 . 参赛密码 (由组委会填写)全第十一届华为杯全国研究生数学建模竞赛学 校空军工程大学参赛队号90045035队员姓名1.唐 茂2.史 密3.李世杰参赛密码 (由组委会填写) 第十一届华为杯全国研究生数学建模竞赛题 目 机动目标的跟踪与反跟踪摘 要:为解决机动目标的跟踪与反跟踪问题,本文综合运用航迹拟合、数据关联、滤波原理,建立了目标的运动模型,并基于自适应卡尔曼滤波原理建立了目标跟踪模型。运用所建立的模型进行仿真,估计和预测了目标机动情况,提出了跟踪与反跟踪策略。针对问题一,首先将雷达量测数据按照坐标转换公式统一到地心地固坐标系中,采用多项式拟合方法估计目标初始状态;其次综合考虑,确定建立
2、Singer模型来跟踪目标运动状况;最后设计了卡尔曼滤波器估计目标的状态信息,得到目标的航迹。针对问题二,进行降维处理简化模型,通过数据关联算法分离测量信息,确定测量数据属于哪个目标;依据两个目标的测量数据分别进行卡尔曼滤波得到两个目标各自的航迹图;分析了当雷达一段时间只有一个回波点迹时,怎样使得航迹不丢失。针对问题三,依据Data3中的数据描点做出点迹图;由于目标运动轨迹较为简单,采用多项式拟合得到目标的拟合航迹一。再依据题目要求,采用问题一所建立的跟踪模型进行处理,得到拟合航迹二。分别对两条航迹进行二次差分得到目标加速度随时间变化规律,并作对比。针对问题四,依据最小二乘估计,对问题三得到的
3、拟合航迹一做预测;目标着落点即预测航迹与地平面的交点,联立方程求此着落点在以雷达为原点的站心切平面坐标系中坐标。最后对比分析两种预测算法的复杂度,发现复杂度随预测步数指数增加。针对问题五,建立两种机动动作模型;分析了问题一的跟踪模型对采用以上机动动作的目标的跟踪能力;确定了跟踪策略;采用交互式多模型算法对问题一建立的模型进行完善;调整了跟踪策略。关键词:目标跟踪;数据关联;卡尔曼滤波;Singer模型;数据拟合;实时预测一、问题重述目标跟踪1是为了维持对目标当前状态的估计,同时也是对传感器接收到的量测进行处理的过程(多源信息融合),它在军事和民用领域都已经得到了广泛的应用。同时,被跟踪目标为了
4、反跟踪往往会进行机动或释放干扰,这对目标跟踪技术提出了更高的要求。本题介绍了机动目标跟踪的难点以及目标跟踪处理流程,给定了三组机动目标的测量数据以及雷达坐标和测量误差。其中Data1给定了多个雷达站在不完全相同时刻获得的单个机动目标的测量数据;Data2给定了某个雷达站获得的两个机动目标的测量数据;Data3给定了某个雷达站获得的空间目标的测量数据。根据已知内容,需要解决的问题如下:问题一:1)根据Data1.txt中的数据,分析目标机动发生的时间范围,统计目标加速度的大小和方向。2)建立对该目标的跟踪模型,利用多个雷达的测量数据估计出目标的航迹。问题二:1)根据Data2.txt中的数据,完
5、成各目标的数据关联,形成相应的航迹,并阐明所采用或制定的准则。2)通过处理保证若出现雷达一段时间只有一个回波点迹的状况,可使得航迹不丢失。问题三:1)根据Data3.txt中的数据,分析空间目标的机动变化规律(目标加速度随时间变化)。2)若采用第1问的跟踪模型进行处理,结果会有哪些变化? 问题四:对第3问的目标轨迹进行实时预测,估计该目标的着落点的坐标,给出详细结果,并分析算法复杂度。问题五:1)Data2.txt数据中的两个目标已被雷达锁定跟踪。分析该目标应采用怎样的有利于逃逸的策略与方案来应对之前所建立的跟踪模型。2)分析为了保持对目标的跟踪,跟踪策略又应该如何相应地变换 。二、模型假设1
6、,假设雷达均处在正常工作状态。2,假设电磁波在传播过程中符合几何光学定律。3, 假设目标的机动符合现有的技术水平。3,假设目标在飞行过程中不会发生坠毁等突发状况。4,忽略多径效应对测量结果的影响。三、基本符号说明目标到雷达距离滤波增益俯仰角均方误差方位角误差向量大地纬度机动频率大地经度统计距离轴坐标跟踪门限轴坐标多项式系数矩阵轴坐标飞行坡度当前时刻状态状态转移矩阵状态估计残差量测量雷达波束宽四、问题一模型的建立与求解4.1 问题一分析 Data1给定了多个雷达站在不完全相同时刻测量获得的单个机动目标的距离、方位、俯仰和时间数据信息。由于雷达量测值为目标距离方位和俯仰,为使得观测数据更直观,并简
7、化下文所建立模型的状态方程和量测方程,需要进行坐标转换以统一坐标系:首先将距离,方位和仰角的极坐标信息转换到站心切平面坐标系中。题目中站心切平面坐标系为:原点设为雷达中心,传感器中心点与当地纬度切线方向指向东为x轴,传感器中心点与当地经度切线方向指向北为y轴,地心与传感器中心连线指向天向的为z轴,目标方位指北向顺时针夹角(从y轴正向向x轴正向的夹角,范围为0360),目标俯仰指传感器中心点与目标连线和地平面的夹角,据此,极坐标转换为站心坐标转换公式2为: (4.1)式中是目标在站心切平面坐标系中的坐标,r为目标量测距离,H为目标俯仰角,A为目标方位角。依据坐标转换得到的数据,在Matlab中编
8、程(见附件),直接呈现该机动目标的量测数据,如下图所示:图4.1 雷达一量测值图4.2 雷达二量测值图4.3 雷达三量测值第二步将目标的站心切平面坐标转换到地心地固坐标系中。公式为: (4.2)式中为目标在地心地固坐标系下的坐标,为第i个雷达在地心地固坐标系下的坐标,B为大地纬度,L为大地经度。所得结果如下所示:图4.4 雷达数据合成图4.2问题一跟踪建模建立与求解所谓估计就是根据测量得到与状态有关的数据解算出的计算值。对目标的跟踪过程本质上是根据雷达的量测数据估算目标真实位置的过程。其中,最小二乘估计、最小方差估计、极大后验估计、极大似然估计、线性最小方差估计和维纳滤波都是几种最优估计算法3
9、。考虑到滤波算法的复杂程度和目标运动特征未知的情况,本组决定采用卡尔曼滤波的方法。下面简述卡尔曼滤波模型的构建步骤:设系统k时刻的状态,个分量分别表示目标三维坐标下的位置,速度和加速度。状态方程为: (4.3)量测方程为: (4.4)其中为量测噪声,为系统噪声。设量测噪声方差阵,滤波步骤如下:状态一步预测: (4.5)状态估计: (4.6)滤波增益为: (4.7)一步预测均方误差: (4.8)估计均方误差: (4.9)只要给定初始值和,根据k时刻的量测就可以推算k时刻的状态。通过以上分析,为了完整卡尔曼滤波方程,需要获得目标初始的状态信息和目标机动的状态方程,既确定目标运动模型。4.2.1目标
10、初始值的估计卡尔曼滤波是一种递推算法,启动时必须先给定初值和。如果选取,则滤波过程中估计始终是无偏的4,即。如果滤波的起始时刻有量测量,根据卡尔曼状态估计和滤波增益,为: (4.10)事实上,如果系统是一致完全随机可控和一致完全随机可观测的,则卡尔曼滤波器一定是一致逐渐稳定的。随着滤波步数的增加,初值和对滤波值的逐渐减小甚至消失,估计逐渐趋向无偏。然而在实际求解中,很难准确知道目标在初始时刻的状态信息(包括目标位置、速度和加速度)。为使滤波顺利进行,采用拟合5量测信息的方法估计目标初始状态。滤波的稳定性以及拟合算法的可行性将在下节做具体阐述。由于只需要知道目标运动初始状态,这里拟合雷达1的量测
11、值,得到如下图所示的运动轨迹:图4.5目标拟合轨迹投影通过差分运算可以得到目标初始速度和加速度的估算值:图4.6 目标拟合速度投影图4.7 目标拟合加速度投影由上图可以得到滤波算法的初始值:题目中给出了雷达的误差参数:雷达标号测距误差(m)方位角误差( )俯仰角误差()1500.40.42400.30.33600.50.5下面根据误差理论6确定卡尔曼滤波器的估计均方误差由雷达极坐标测量误差转换为站心切平面误差时 (4.11)化简得: (4.12)同理可得: (4.13) (4.14)令 (4.15) (4.16)误差向量为: (4.17) (4.18)其中 (4.19)可取 作为初始状态,即:
12、 (4.20)4.2.2目标运动模型的确定通过对机动目标跟踪算法的学习,本组决定采用自适应跟踪算法。其中Singer模型是自适应跟踪算法的基本模型。Singer模型7是一种全局统计模型,考虑了任何类型目标的机动和目标发生各种机动的可能性。因此Singer模型算法适应于各种机动类型的目标跟踪问题。此外,无需进行机动检测,因而在进行目标跟踪时无时间滞后。Singer模型算法认为机动模型是相关模型8,对目标加速度a(t)作为具有指数自相关的零均值随机过程建模: (4.21)式中,是在区间内决定目标机动特征的待定参数;是目标的加速度方差,是机动时间的倒数,即机动频率,通常的经验取值范围是:目标是飞机慢
13、速转弯,取60s,对于逃避机动取20s。Singer对应的离散时间状态方程为: (4.22) (4.23)其离散时间过程噪声V具有协方差,且Q为对称阵。其中: (4.24)4.2.3仿真结果在确定了滤波初始值和运动模型后,即可估计目标的运动轨迹。滤波模型中的核心过程9如下:for i=1:l-1 Xkk1(:,i)=Fk*Xkk(:,i); %一步预测 Pkk1=Fk*Pkk*Fk; %一步预测均方误差 Kk=Pkk1*Hk*inv(Hk*Pkk1*Hk+R); %滤波增益 Xkk(:,i+1)=Xkk1(:,i)+Kk*(Zkcl(:,i)-Hk*Xkk1(:,i); %状态估计 Pkk=P
14、kk1-Pkk1*Hk*inv(Hk*Pkk1*Hk+R)*Hk*Pkk1; %估计均方误差 end滤波结果如下图所示,图4.8 滤波结果由此可知目标在被跟踪期间发生的较为明显的机动时间,具体信息由表1给出表 1 机动发生时间表机动序号发生时间(s)136724.436744.4236961.437199.44.3跟踪模型稳定性研究上文指出,当时,滤波器的估计从开始就是无偏的,且估计均方误差是最小的。但是在本题的具体实践中,很难得到初始状态的验前统计值。如果滤波器随时间的增加,和各自都逐渐不受其初值的影响,则滤波器是稳定的。下面分析本题中所建立的卡尔曼滤波器的稳定性。滤波稳定条件最早由卡尔曼提
15、出,参考文献10提出了离散系统滤波稳定的充分条件。离散系统状态方程和量测方程为: (4.25) (4.26)式中 (4.27)如果系统一致完全随机可控和一致完全随机可观测,且 和正定,则卡尔曼滤波器是一直逐渐稳定的。完全随机可控指: (4.27)完全随机可观测指: (4.28)结合本题情况,从物理意义可见系统满足随机可控和随机可观测的条件。从的过程来看: (4.29)可见,始终有值,使每一步计算都能利用量测中的最新信息,修正旧估计,得到新的实时估计。一般在去较大值得情况下,随估计过程的进行,是逐渐下降的,下降程度去Q和R有关。而却比大,增大的值与Q有关。因此当下降值与增大值相当时,趋于稳定值,
16、滤波呈稳定状态。实际在问题求算过程中,因为观测值有限,为了防止滤波稳定时间超过量测时间,所以本文采用拟合算法选取目标状态初始值是有必要的和可行的。五、问题二模型的建立与求解5.1问题二分析Data2给定了雷达获得的两个机动目标的测量数据,为了得到两个机动目标各自的航迹,首先要判断信息属于哪个目标,即进行数据关联11。本文先根据Data2中的数据直接得到目标点迹来粗略观测目标的轨迹,通过坐标变换得到目标在站心切平面坐标系中的坐标,描点可得下图:图5.1 观测数据描点图 由于目标的不规则运动以及误差的影响,得到的点迹图杂乱无章,很难提取有效信息。因此我们进行了降维处理,得到目标运动轨迹在水平面的投
17、影如下图:图5.2 目标水平面运动轨迹从图中可以清楚的看到两条轨迹,即目标飞行包线在水平面的投影。再以这两条粗略的轨迹为基础,依据5.2中的数据关联算法分别得到两条不同的投影,从而得到两个目标的航迹。5.2问题二模型的建立与求解1)主成分线性回归得到初始航迹投影从已给数据可知雷达的扫描周期较小(1s左右),且目标据雷达距离相对较远。可以假定在一小段时间内雷达扫描两个目标的先后顺序没有发生变化,由于目标的机动要受到诸多限制,所以这种假定可以认为是合理的。考查前200个点,分别取奇数点和偶数点得到以下两图,把它们作为两个目标的初始航迹投影粗略值:图5.3 初始航迹估计通过主成分线性回归12得:图5
18、.4 初始航迹由此得到粗略的初始航迹,可以为下面的数据关联算法和卡尔曼滤波提供所需的初始值。2)数据关联算法得到两个目标的航迹投影计算目标的预测位置和有效回波之间的距离: (5.1)其中为卡尔曼滤波的残差,表示的协方差,为定义的统计距离。当满足时,则保留该点击,不满足的则剔除。其中为跟踪门限(采用矩形跟踪门),如此可以得到与航迹配对的所有可能的点迹。若此时只有一个点迹满足要求,就取该点迹为目标的新点迹。反之,当跟踪门内的点迹大于1个时,则将最小的点迹作为新的点迹。运用该数据关联算法得到航迹投影如图:图5.5 水平面航迹图3)卡尔曼滤波得精确航迹投影根据卡尔曼滤波精确估计目标的真实状态:图5.6
19、 卡尔曼滤波航迹图4)对Z轴数据进行分析,得到三维航迹图分别对两个目标z轴方向的数据进行分析,得到下图:图5.7 图5.8观察两图可知两个目标的飞行高度基本没有变化,可以认为它们只是在水平面内做了机动。综合以上分析可以最终得到目标的航迹图如下:图5.9 目标三维航迹图5)雷达一段时间只有一个回波点迹状况下的处理方法卡尔曼滤波13可以根据先验估计值和观测值得到较准确的估计值。当雷达在一段时间内提供不了新的观测值时,可以将下一时刻的估计值作为量测值14进行滤波,如此循环得到目标航迹状态估计。显然,这种方法只适合于短时间内的状态估计,如果雷达长时间无法提供新的观测数据就很有可能造成滤波发散,使滤失去
20、作用。六、问题三模型的建立与求解6.1问题三分析Data3给定了某雷达对空间目标的测量数据,通过坐标转换将测量数据转换到站心切平面坐标系,描点可得下图:图6.1 目标点迹图该目标的运动轨迹比较简单,分别对x-t,y-t,z-t进行多项式拟合(x、y、z为目标点坐标,t为时间),得到目标拟合后的位置数据,并画出航迹图。再通过差分运算即可得到目标加速度随时间变化情况。根据题目要求,再采用第一问的模型对数据进行处理,分析对结果的影响。6.2问题三模型的建立与求解1)采用多项式拟合算法建立目标运动轨迹模型,结果如下图:图6.2 航迹拟合图2)分析目标在运动过程中,x、y、z坐标值相对时间t的变化情况,
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