理论力学作业解答.doc

1－５ 力F沿正六面体的对顶线AB作用，F=100N，求F在ON上的投影。

解：

ON方向单位矢量

1－８ 试求附图所示的力Ｆ对Ａ点的矩，已知 ＝０.２ｍ，＝０.５ｍ，F=300N。
B
解：力F作用点B
，

1－９ 试求附图所示绳子张力FT对A点及对B点的矩。
已知FT＝10kN，l＝２m，R＝0.5ｍ，α＝30°。
解：

1－11 钢缆AB的张力 FT=10kN。写出该张力FT 对x、y、z轴的矩及该力对O点的矩（大小和方向）。
解：（1）

（2）对轴的矩（位置矢量）

，
（3）对点的矩

1－１３ 工人启闭闸门时，为了省力，常常用一根杆子插入手轮中，并在杆的一端C施力，以转动手轮。设手轮直径阿AB=0.6m，杆长l=1.2m，在C端用FC＝100Ｎ的力能将闸门开启，若不借用杆子而直接在手轮A、B处施加力偶（F，F′），问F至少应为多大才能开启闸门?
解：由
得
2－1 一钢结构节点，在沿、、的方向受到三个力的作用，已知＝１ｋＮ，＝１.４１ｋＮ，＝２ｋＮ，试求这三个力的合力。
解：

合力大小
合力方向
2－2 计算图中、、三个力分别在x、y、z轴上的投影并求合力。已知＝２kＮ，＝１kＮ，＝３kＮ。
解：，,

,
，
，，
合力大小
合力方向，，
2－4 沿正六面体的三棱边作用着三个力，在平面内作用一个力偶。已知F1 ＝2０Ｎ，F2＝30N，F3＝５０Ｎ，M＝１Ｎ·ｍ。求力偶与三个力合成的结果。
解：将F3分成两个大小分别为20N和30N的力，并分别与F1和F2构成力偶M1、M2
则

从而三个力偶合成为一个合力偶
，大小为

2－9 平板OABD上作用空间平行力系如图所示，问x、y应等于多少才能使该力系合力作用线过板中心C。
解：过板中心C的合力大小为30kN，方向向下
对x轴利用合力矩定理

对y轴利用合力矩定理

x
y
z
2－10 一力系由四个力组成。已知＝60Ｎ，＝400Ｎ，＝500Ｎ，＝200Ｎ，试将该力系向A点简化(图中长度单位为mm)。
解：

，，

，，
2－15 已知挡土墙自重＝400ｋＮ，土压力＝320ｋＮ，水压力＝176ｋＮ，求这些力向底面中心简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。图中长度单位为m。
FR
FR'
x
α
MO
解：主矢量

，
主矩
合力作用线位置：
F
α
2－18 在刚架的、两点分别作用、两力，已知＝＝10ｋＮ。欲以过C点的一个力代替、，求F的大小、方向及、间的距离。
解：即为求两力合力
，
F的大小：
方向，由于，故
两力向B点简化时主矩
则即C点位于B点左方2.31m。
2－21 一圆板上钻了半径为的三个圆孔，其位置如图。为使重心仍在圆板中心处，须在半径为的圆周线上再钻一个孔，试确定该孔的位置及孔的半径。
解：设孔心位置与x轴夹角θ，半径r1
则有
即
联立求解得
x
y
45o
C
2－24 一悬臂圈梁，其轴线为＝４ｍ的 圆弧。梁上作用着垂直匀布荷载，＝２ｋＮ／ｍ。求该匀布荷载的合力及其作用线位置。
解：合力大小，铅直向下。
作用线位置在圆弧的形心处即平分轴上距离圆心
处
3－１ 作下列指定物体的示力图。物体重量除图上已注明者外，均略去不计。假设接触处都是光滑的。
FNA
FNB
FAy
FAx
FB
FNA
FNB

FOy
FOx
FB
FAy
FAx
FTB
FAy
FAx
FB

FTE
FBy
FBx
FCy
FCx

FAx
FAy
FB
FD

FA
FB

FA
FCy
FCx
FD
AC

FAy
FAx
FB
FCy
FCx
AB

FCy'
FCx'
FA
FTE
W
轮C

FD
FCy'
FCx'
CD
FB
FE
FCy'
FCx'
BC

4－1 三铰拱受铅直力作用，如拱的重量不计，求、处支座反力。
FA
FB
解：三力汇交平衡
推荐用解析法如下

4－3 已知＝10ｋＮ，杆、及滑轮重均不计，试用作图法求杆、对轮的约束力。

解：C轮受力如图，FA与FB合力作用线过两绳约束力交点，即三力汇交平衡
FA
FB
F
F
由图可知

4－8 图示结构上作用一水平力，试求、、三处的支座反力。
FA
FC
FE
FG
解：结构受力图如图
AB部分受力图
FA
C
FB

BCD部分受力图
FE
FH
FD
FB
FC
FD

DEH部分受力图

4－9 、、三连杆支承一重物如图所示。已知＝10ｋＮ，＝４ｍ，＝３ｍ，且在同一水平面内，试求三连杆所受的力。
FB
FD
FC
解：A铰受汇交力系平衡

4－13 滑道摇杆机构受两力偶作用，在图示位置平衡。已知＝＝０.２ｍ，＝200Ｎ·ｍ，求另一力偶矩及两处的约束力（摩擦不计）。
O
A
M1
FO
FA
FO
FO1
解：OA杆力偶系平衡（由于A滑块，FA垂直O1A）

整体力偶系平衡

FAx
FAy
FAz
FBz
FBx
FCE
4－17 有一均质等厚的板，重200Ｎ，角用球铰，另一角用铰链与墙壁相连，再用一索维持于水平位置。若∠＝∠＝３０°，试求索内的拉力及、两处的反力（注意：铰链沿方向无约束力）。
解：板受空间力系平衡

3－19 矩形板固定在一柱子上，柱子下端固定。板上作用两集中力、和集度为的分布力。已知＝2ｋＮ，＝4ｋＮ，ｑ＝400Ｎ／ｍ。求固定端Ｏ的约束力。
解：板受空间力系平衡FOx
FOy
FOz
MOx
MOy
MOz

4－24 曲杆用球铰及连杆、、支承如图，在其上作用两个力、。力与ｘ轴平行，铅直向下。已知＝300Ｎ，＝600Ｎ。求所有的约束力。
FAy
FAx
FED
FAz
FCI
FGH
解：刚架ABC受空间力系平衡

，

，

，，
，，
，，

4－26 外伸梁受集中力及力偶（，′）的作用。已知＝2ｋＮ，力偶矩＝1.5ｋＮ·ｍ，求支座、的反力。
解：外伸梁ABC受平面力系平衡
FB
FAx
FAy

FRx
FRy
mA
4－31 悬臂刚架受力如图。已知＝4ｋＮ／ｍ，＝5ｋＮ，＝4ｋＮ，求固定端的约束反力。
解：，，
，，
，

FBD
FBC
FAC
4－35 将水箱的支承简化如图示。已知水箱与水共重＝320ｋＮ，侧面的风压力＝20ｋＮ，求三杆对水箱的约束力。图中长度单位为m。
解：

4－40 三铰拱式组合屋架如图所示，已知＝５ｋＮ／ｍ，求铰处的约束力及拉杆所受的力。图中长度单位为m。

解：刚架受平面力系平衡

FAx
FB
根据对称
FAy
AC受平面力系平衡 :
A
C
FAx
FAy
FAB
FCx
FCy

4－44 水平梁由、二部分组成，端插入墙内，端搁在辊轴支座上，Ｃ处用铰连接，受、作用。已知＝４ｋＮ，＝６ｋＮ·ｍ，求、两处的反力。
FAx
解：联合梁受平面力系平衡
先分析附属部分CB
MA
FAy
FB

再分析整体
FB
FCy
FCx

4－45 钢架和梁，支承与荷载如图所示。已知＝５ｋＮ，＝２００Ｎ／ｍ，＝３００Ｎ／ｍ，求支座、的反力。图中长度单位为m。
FD
F
D
C
解：对整体：
对CD杆：
，
FAx
FAy
FB
FD
对整体：

，，

4－49 一组合结构、尺寸及荷载如图所示，求杆１、２、３所受的力。图中长度单位为m。
FAx
解：对整体：
FB
FAy

FAx
FAy
F3
FCx
FCy

对AC连同1、2杆

对节点E
F2
F3
F1

5-1 试用节点法计算图示桁架各杆内力。
60o
60o
60o
60o
A
B
C
E
D
4kN
4kN
2m
2m
FB
FAy
FAx
-4.62
2.31
2.31
-2.31
-4.62
0
0
解：整体对称：
对节点A

对节点D

由对称性，各杆内力如图（单位kN）。

FAy
A
FAD
FAC
4kN
D
FAD
FDE
FDC

5-4（C）试计算图示桁架指定杆件的内力。图中长度单位为m，力的单位为kN。
60
40
2
3
1
5m
5m
5m
5m
5m
Ⅰ
Ⅰ
FB
B
A
0
0
0
C
解：整体：
先判断零杆如图。
取Ⅰ-Ⅰ截面右半部分

5-8杆系铰接如图所示，沿杆３与杆５分别作用着力FP1与FP2，试求各杆内力。
a
a
a
1
2
3
4
6
5
FP2
FP1
3
1
5m
0
0
解：先判断零杆如图。，则

5－21 板长，、两端分别搁在倾角＝50°，＝30°的两斜面上。已知板端与斜面之间的摩擦角＝25°。欲使物块Ｍ放在板上而板保持水平不动，试求物块放置的范围。板重不计。
解：（１）物块M靠左边时，A端有向下滑的趋势，B端有向上滑的趋势。极限状态下板的受力如图，根据三力汇交平衡，物块M重心过C点，
25o
25o
xmin
C
则
而
（２）物块M靠右边时，A端有向上滑的趋势，
B端有向下滑的趋势。极限状态下板的受力如图，
25o
25o
xmax
C
根据三力汇交平衡，
则
而
5－22 攀登电线杆的脚套钩如图。设电线杆直径＝300ｍｍ，脚作用力到电线杆中心的距离=250ｍｍ。若套钩与电线杆之间摩擦因数＝０.3，求工人操作时，为了安全，套钩、间的铅直距离b的最大值为多少。
FB
FA
FNA
FNB
解：对脚套钩（、同时达到极限状态，脚套钩才会下滑）

，
则
，
，

5－25 用尖劈顶起重物的装置如图所示。重物与尖劈间的摩擦因数为，其他有圆辊处为光滑接触，尖劈顶角为，且＞被顶举的重量设为。试求：（１）顶举重物上升所需的值；（２）顶住重物使不下降所需的值。
W
FN1
F1
FN1
F1
F
解：（１）重物上升，重物和尖劈受力如图
对重物

而
W
FN2
F2
FN2
F2
F
对尖劈
得
（２）重物下降，重物和尖劈受力如图
对重物
，而
对尖劈，得

FN
F
FCx
FCy
FD
5－26 起重机的夹子(尺寸如图示)，要把重物夹起，必须利用重物与夹子之间的摩擦力。设夹子对重物的压力的合力作用于点相距150mm处的、两点，不计夹子重量。问要把重物夹起，重物与夹子之间的摩擦因数最少要多大?
解：整体看，显然F=W
W
B
A
FN
FN
F
F
对重物，
对半边夹子BD，显然FD=F=W

从而

5－27 均质杆长4ｍ，重500Ｎ；轮重300Ｎ，与杆及水平面接触处的摩擦因数分别为＝0.4，＝0.2。设滚动摩擦不计，求拉动圆轮所需的的最小值。
解：对均质杆，，
对轮，FNA
FA
FNB
FB

圆轮运动有三种情形：平动、绕A点滚动、绕B点滚动
1.平动，A、B点均达到极限状态

O
C
A
FOx
FOy
500N
FNA
FA

2.绕A点滚动， B点达到极限状态
，

3.绕B点滚动，A点达到极限状态
，

故，FT的最小值为。

5－29 一个半径为300ｍｍ、重为3ｋＮ的滚子放在水平面上。在过滚子重心而垂直于滚子轴线的平面内加一力，恰足以使滚子滚动。若滚动摩擦因数δ＝5mm，求的大小。
δ
FA
FNA
W
解：滚子受力如图
A

6-5 半圆形凸轮以匀速v=10mm/s沿水平方向向左运动,活塞杆AB长l，沿铅直方向运动。当运动开始时,活塞杆A端在凸轮的最高点上。如凸轮的半径R=80mm，求活塞B的运动方程和速度方程。
y
x
解：建立坐标系如图
凸轮O点运动方程
则活塞A点运动方程
故活塞杆B运动方程
活塞杆B速度方程

y
6-7 滑道连杆机构如图所示，曲柄长，按规律转动（以rad计，以ｓ计），ω为一常量。求滑道上B点的运动方程、速度及加速度方程。
解：建立坐标系如图
B点的运动方程
B点的速度方程
B点的加速度方程

6-9 点Ｍ以匀速率u在直管OA内运动，直管OA又按规律绕O转动。当t=0时，M在O点，求其在任一瞬时的速度及加速度的大小。
解：M点的运动方程
则M点的速度
M点的加速度

6-18 摇杆滑道机构如图所示，滑块M同时在固定圆弧槽BC中和在摇杆OA的滑道中滑动。BC弧的半径为R，摇杆OA的转轴在BC弧所在的圆周上。摇杆绕O轴以匀角速转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法求滑块M的运动方程，并求其速度及加速度。
解：(1)直角坐标法
运动方程
R
s+
速度
加速度
(2)自然法
运动方程
速度大小，方向为BC弧M点切向
加速度

6-19 某点的运动方程为，长度以mm计，时间以s计，求它的速度、切向加速度与法向加速度。
解：速度大小
切向加速度；法向加速度

vO
aO
6-31 揉茶机的揉桶由三个曲柄支持，曲柄的支座A，B，C与支轴ａ，ｂ，ｃ都恰成等边三角形，如图所示。三个曲柄长度相等，均为l＝１５０ｍｍ，并以相同的转速n＝４５ｒ／ｍｉｎ分别绕其支座在图示平面内转动。求揉桶中心点O的速度和加速度。
解：因为A、B、C和a、b、c均为等边三角形，
且Aa=Bb=Cc，所以各曲柄始终保持平行，故揉茶桶作曲线平动。

6-32 刨床上的曲柄连杆机构如题2-4附图所示，曲柄ＯＡ以匀角速ω０绕Ｏ轴转动，其转动方程为φ＝ω０ｔ。滑块Ａ带动摇杆Ｏ１Ｂ绕轴Ｏ１转动。设ＯＯ１＝ａ，ＯＡ＝ｒ。求摇杆的转动方程。

解：由几何关系得到
从而摇杆Ｏ的转动方程

6-38 轮Ⅰ，Ⅱ，半径分别为ｒ１＝１５０ｍｍ，ｒ２＝２００ｍｍ，铰连于杆ＡＢ两端。两轮在半径Ｒ＝４５０ｍｍ的曲面上运动，在图示瞬时，Ａ点的加速度ａＡ＝１２００ｍｍ／ｓ２，ａＡ与ＯＡ成６０°角。试求：（１）ＡＢ杆的角速度与角加速度；（２）Ｂ点的加速度。
解：运动过程中AB杆各点到O点距离不变，故AB杆绕O点定轴转动。
（1）A点加速度分解到切向和法向，则其切向加速度和法向加速度分别为
，

（2）B点切向加速度和法向加速度分别为
，

6-40 刚体以匀角速作定轴转动，沿转动轴的单位矢，体内一点M点在某瞬时的位置矢（长度以mm计）。试求该瞬时点M的速度与加速度。
解：
mm/s

mm/s2

7-5 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成α角。杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端活塞Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度ｖ向右运动，求活塞Ｂ的速度。
解：动点A，静系为地球，动系为三角形凸轮
绝对运动：上下直线
相对运动：沿三角形凸轮斜直线
ve
vA
vr
牵连运动：三角形凸轮水平直线平动
点A速度合成如图
，

7-8 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长ｌ，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。已知在题3-7附图所示位置ＯＡ⊥ＯＯ１，ＡＢ＝２ｌ，求该瞬时ＢＣ杆的速度。
解：（分析）BC杆平动，求BC杆的速度就得研究B点运动
vB
vrB
veB
vA
vrA
veA
动点B，静系为地球，动系为O1D，速度合成图
veB可以通过O1D杆的运动求得
而
O1D杆的运动根据A点运动分析
动点A，静系为地球，动系为O1D ，速度合成图
，而
从而
故

7-9 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ２。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。
解：动点B，静系为地球，动系为凸轮A
绝对运动：上下直线；相对运动：沿凸轮A圆周运动
牵连运动：凸轮A直线平动
点B速度合成如图
ve
vr
vB
ae
art
aB
arn
B

牵连运动为平动，点B加速度合成如图

向OB方向投影，
即

7-10 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。
解：动点C，静系为地球，动系为四边形机构AB杆
绝对运动：上下直线；相对运动：沿四边形机构AB杆直线
ar
aen
aC
aet
C
ve
vr
vC
牵连运动：四边形机构AB杆曲线平动
点C速度合成如图

牵连运动为曲线平动，点C加速度合成如图

，
向CD方向投影，得

ve
vr
vA
60o
7-11具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。若已知曲柄ＯＡ作匀速转动，其转速为ω＝４πｒａｄ／ｓ，又Ｒ＝ＯＡ＝１００ｍｍ，求当曲柄与水平轴成角φ＝３０°时滑道ＣＤ的速度及加速度。
ae
aAt
art
aAn
A
arn
60o
60o
60o
解：动点A，静系为地球，动系为滑道CD
绝对运动：圆周；
相对运动：圆周；牵连运动：平动
点A速度合成如图

牵连运动为平动，点A加速度合成如图
，即
，

向方向投影，得，即

7-16 大圆环固定不动，其半径Ｒ＝０.５ｍ，小圆环Ｍ套在杆ＡＢ及大圆环上如图所示。当θ＝３０°时，ＡＢ杆转动的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝２ｒａｄ／ｓ２，试求该瞬时：（１）Ｍ沿大圆环滑动的速度；（２）Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度；（３）Ｍ的绝对加速度。
aMn
aet
ar
aen
M
aMt
ve
vr
vM
60o
ac
解：动点M，静系为地球，动系为杆AB
绝对运动：圆周；
相对运动：直线；牵连运动：定轴转动
点M速度合成如图

(1)；(2)
(3) ，即，
，，
向方向投影，得，
故

7-17 曲柄OA，长为２ｒ,绕固定轴O转动；圆盘半径为r，绕A轴转动，已知r=100mm，在图示位置，曲柄OA的角速度ω１＝４ｒａｄ／ｓ,角加速度α１＝３ｒａｄ／ｓ２，圆盘相对于OA的角速度ω２＝６ｒａｄ／ｓ，角加速度α２＝４ｒａｄ／ｓ２。求圆盘上M点和N点的绝对速度和绝对加速度。
ve
vr
vM
ve
vr
vN
α
aet
arn
aen
ac
art
α
aet
art
aen
arn
ac
y
x
解：动点M、N，静系为地球，动系为杆OA
绝对运动：未知；相对运动：圆周；
牵连运动：定轴转动
点M、N速度合成如图
点M ：

点N ：

点M、N加速度合成如图
点M ：，即，
，
，
，，
点N ：，即，
，
，

，

7-18 在图示机构中， 已知ＡＡ′＝ＢＢ′＝ｒ＝０.２５ｍｍ， 且ＡＢ＝Ａ′Ｂ′；连杆ＡＡ′以匀角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ａ′转动，当θ＝６０°时，槽杆ＣＥ位置铅直。求此时ＣＥ的角速度及角加速度。
vD
ve
vr
解：动点D，静系为地球，动系为杆CE
绝对运动：曲线；相对运动：直线；
aen
aet
ar
ac
aD
牵连运动：定轴转动
点D速度合成如图，

点D加速度合成如图
，即
，，向x方向投影
，

7-21 板ＡＢＣＤ绕ｚ轴以ω＝０.５ｔ（其中ω以ｒａｄ／ｓ计，ｔ以ｓ计）的规律转动，小球Ｍ在半径*#ｒ＝１００ｍｍ的圆弧槽内相对于板按规律ｓ＝５０３πｔ（ｓ以ｍｍ计，ｔ以ｓ计）运动，求ｔ＝２ｓ时，小球Ｍ的速度与加速度。
解：t=2s时，s=100π/3，，

φ
ρ
φ
ρ
vr
art
arn
aen
圆弧切向
垂直纸面向里
，故小球Ｍ的速度
牵连运动为定轴转动，

垂直纸面向里（加速转动）
，
垂直纸面向外
故

8-２ 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀角加速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
φ
φ'
解：A为基点，

故
，而，故

8-６ 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图示位置ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ，　ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。试求Ｃ点的速度。
vC
解：根据速度投影定理，vC垂直BC连线，如图

8-９ 图示一曲柄机构，曲柄ＯＡ可绕Ｏ轴转动，带动杆ＡＣ在套管Ｂ内滑动，套管Ｂ及与其刚连的ＢＤ杆又可绕通过Ｂ铰而与图示平面垂直的水平轴运动。已知：ＯＡ＝ＢＤ＝３００ｍｍ，　ＯＢ＝４００ｍｍ，当ＯＡ转至铅直位置时，其角速度ω０＝２ｒａｄ／ｓ，试求Ｄ点的速度。
解：
AC作平面运动，、速度方位已知如图
I
vA
vB
vD
φ
则速度瞬心I，

8-１０ 图示一传动机构,当ＯＡ往复摇摆时可使圆轮绕Ｏ１轴转动。设ＯＡ＝１５０ｍｍ，Ｏ１Ｂ＝１００ｍｍ，在图示位置，ω＝２ｒａｄ／ｓ，试求圆轮转动的角速度。
vB
vA
解：， AB作平面运动，、速度方位已知如图

根据速度投影定理

8-１１ 在瓦特行星传动机构中，杆Ｏ１Ａ绕Ｏ１轴转动，并借杆ＡＢ带动曲柄ＯＢ，而曲柄ＯB活动地装置在Ｏ轴上。在Ｏ轴上装有齿轮Ⅰ；齿轮Ⅱ的轴安装在杆ＡＢ的Ｂ端。已知：ｒ１＝ｒ２＝３００ｍｍ，　Ｏ１Ａ＝７５０ｍｍ，ＡＢ＝１５００mm，又杆Ｏ１Ａ的角速度ωＯ１＝６ｒａｄ／ｓ，求当α＝６０°与β＝９０°时，曲柄ＯＢ及轮Ⅰ的角速度。
I
vA
vB
v
解：， AB连同齿轮Ⅱ作平面运动
由于、速度方位已知如图
则AB连同齿轮Ⅱ速度瞬心I

K

8-１５ 题４-１５附图所示为一静定刚架，设Ｇ支座向下沉陷一微小距离，求各部分的瞬时转动中心的位置及Ｈ与Ｇ点微小位移之间的关系。
解：AHD绕D定轴转动；ABE速度瞬心K；
BFC与CG速度瞬心F。

显然有

8-21 图为一机构的简图，已知轮的转速为一常量ｎ＝６０ｒ／ｍｉｎ，在图示位置ＯＡ∥ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ，求齿板最下一点Ｄ的速度和加速度。
解： AB瞬时平动
aA
aBAn
aBAt
aA
aBt
aBn
，

，
由于，而
，
，y方向投影，，
x方向投影，，，
，

vB
vA
8-23四连杆机构ＯＡＢＯ１中，ＯＯ１＝ＯＡ＝Ｏ１Ｂ＝１００ｍｍ，ＯＡ以匀角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ转动，当φ＝９０°时，Ｏ１Ｂ与ＯＯ１在一直线上，求这时：（１）ＡＢ及Ｏ１Ｂ的角速度；（２）ＡＢ杆与Ｏ１Ｂ杆的角加速度。
解：AB平面运动，O为速度瞬心
（1），
，
（2）A为基点
，
，
aBn
aBAn
aBAt
aA
aBt
向OB投影，，

向OA投影，
，

8-24 如附图所示,轮Ｏ在水平面上滚动而不滑动，轮心以匀速ｖ０＝０.２ｍ／ｓ运动。轮缘上固连销钉Ｂ，此销钉在摇杆Ｏ１Ａ的槽内游动，并带动摇杆绕Ｏ１轴转动。已知：轮的半径Ｒ＝０.５ｍ，在图示位置时，ＡＯ１是轮的切线，摇杆与水平面间的交角为６０°。求摇杆在该瞬时的角速度和角加速度。
解：对于销钉Ｂ，其绝对运动已知，但是其对于摇杆Ｏ１Ａ的相对运动清楚，而摇杆Ｏ１Ａ作定轴转动
vB
ve
vr

根据合成运动
aet
ar
aen
ac

又根据平面运动
所以
这里；（轮心匀速）；

向OB方向投影：
得到，

9-9 筛粉机如图所示。已知曲柄OA以匀角速ω转动，OA=AB=l，石料与筛盘间的摩擦因数为f，为使碎石料在筛盘中来回运动。求曲柄OA的角速度至少应多大？
l
O
ω
B
A
l
D
C
vA
vB
IAB
aB
aA
aBAn
aBAt
φ
φ
φ

解：为使碎石料在筛盘中来回运动，满足，即
，从而
，其中，
而
故向AB方向投影：得
从而即

9-11 小球从光滑半圆柱的顶点A无初速地下滑，求小球脱离半圆柱时的位置角j。
解：小球受力分析如图
FN

mg
由于，
则
分离变量
即，积分，
故，即
小球脱离半圆柱时，，，，

9-13 质量为m的质点从静止状态开始做直线运动，作用于质点上的力F随时间按图示规律变化，a、b均为常数。求质点的运动方程。
解：为时间的函数。
质点从静止状态开始做直线运动a
b
F
t
，
从而
积分一次
再积分一次

9-14质量为m的质点M自高度H以速度v0水平抛出，空气阻力为R=-kmv，其中k为常数。求该质点的运动方程和轨迹。
H
M
y
x
v0
v
解：对质点列运动微分方程

初始条件得

初始条件得
轨迹：

9-22单摆长l，摆锤重W，支点B具有水平的匀加速度a。如将摆在θ=0处释放，试将摆绳的张力F表示为θ的函数。
W
B
l
a
θ
F
FIe
解：（1）受力分析如图。
（2）以支点为参考系，建立非惯性坐标系下运动微分方程

其中，，，
从而由（1）式
两边积分代入（2）式得

10-2 电动机重，放在光滑的水平基础上，另有一均质杆，长2 l，重，一端与电动机的机轴相固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连于重的物体。设机轴的角速度为ω(ω为常量)，开始时杆处于铅直位置，整个系统静止。试求电动机的水平运动。
W1
FN
W2
W3
x
x
解：电动机受力分析如图
水平方向不受力，且开始时静止，则系统vC=0
取电动机初始位置为坐标原点，xC1=0，t时刻位置为x
则
故

10-6 长2 l的均质杆AB，其一端B搁置在光滑水平面上，并与水平成角，求当杆倒下时，A点之轨迹方程。
y
y
解：AB受力分析如图
水平方向不受力，且开始时静止，则系统vC=0
(1)取y轴过质心，t时刻位置
x
FN
W
，则
（2）取y轴过B点初始位置，xC1=，t时刻位置
，则

10-16 两小车A、B的质量各为600 kg、800 kg，在水平轨道上分别以匀速，运动。一质量为40 kg的重物C以俯角３０°、速度落入A车内，A车与B车相碰后紧接在一起运动。试求两车共同的速度。设摩擦不计。
解：重物C落入A车内与A车一起运动，水平方向动量守恒

A车与B车相碰后紧接在一起运动，水平方向动量守恒

从而

10-19 一固定水道，其截面积逐渐改变，并对称于图平面。水流入水道的速度，垂直于水平面；水流出水道的速度，与水平成30°角，已知水道进口处的截面积等于0.02 m２，求由于水的流动而产生的对水道的附加水平压力。
解：由动量改变等于力的冲积，得
，即

故

10-24 压实土壤的振动器，由两个相同的偏心块和机座组成。机座重W，每个偏心块重P，偏心距e，两偏心块以相同的匀角速ω反向转动，转动时两偏心块的位置对称于y轴。试求 振动器在图示位置时对土壤的压力。
W
FN
P
P
解：y方向动量定理

11-5 均质杆长，重，端附近一重的小球（小球可看作质点），杆上点边一弹簧常数为的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。设给小球一微小初位移，而，试求杆的运动规律。
解：
杆在水平位置，弹簧力，弹簧伸长
小球一微小初位移，弹簧伸长
故任意位置弹簧力

从而
令，，
，则

11-8 一卷扬机如图所示。轮Ｂ、Ｃ半径分别为Ｒ、ｒ，对水平转动轴的转动惯量为Ｊ１、Ｊ２，物体Ａ重W。设在轮Ｃ上作用一常力矩M，试求物体Ａ上升的加速度。
解：对轮Ｃ，，即
FT1
FT2
对轮Ｂ，，即
对物体Ａ，
轮Ｂ、Ｃ切向加速度相同等于物体Ａ加速度，
（5个方程5个未知量）

11-10 一半径为r、重为W１的均质水平圆形转台，可绕通过中心Ｏ并垂直于台面的铅直轴转动。重W２的物块Ａ，按规律ｓ＝ａｔ２沿台的边缘运动。开始时，圆台是静止的。求物块运动以后，圆台在任一瞬时的角速度与角加速度。
解：，动量矩守恒，初始时刻动量矩为零，则

故

11-17柱体Ａ和Ｂ的重量均为W，半径均为ｒ。一绳绕于可绕固定轴Ｏ转动的圆柱Ａ上，绳的另一端绕在圆柱Ｂ上。求Ｂ下落时质心的加速度。摩擦不计。
W
FN
FT
aC
αB
W
ΑA
D
aD
解：受力分析+运动分析
B物体，，
A物体，（4个未知量）
D点速度
，即，该关系始终成立，对时间求导数

从而，

mg
FN
F
vC
ω
11-19 一半径为ｒ的均质圆轮，在半径为R的圆弧上只滚动而不滑动。初瞬时(为一微小角度)，而，求圆轮的运动规律。
解：受力分析+运动分析

相对质心动量矩定理
质心运动定理（切向）
联合上式得即
当φ很小时，写成
t=0时，，解得

W
FN
11-20 一半径为ｒ的均质圆轮，在半径为R的圆弧面上只滚动而不滑动。初瞬时，而＝０。求圆弧面作用在圆轮上的法向反力(表示为θ的函数)。

解：受力分析+运动分析
质心运动定理（法向）

从而
对接触点用动量矩定理（速度瞬心）

即
因为，故，
，
从而

12-7带式推土机前进速度为v。已知车架总重W１，两条履带各重W２，四轮各重W３，半径为R，其惯性半径为ρ。试求整个系统的动能。
解：

设履带质量均匀分布，其质心位置相对于推土机架之不变的，所以vC履＝v，而履带上任一点相对其质心的速度大小，则：

\整个系统的动能为：

12-24杆AC和BC各重Ｐ，长均为l，在Ｃ处用绞链连接，放在光滑的水平面上如图所示。设Ｃ点的初始高度为ｈ，两杆由静止开始下落，求绞链Ｃ到达地面时的速度。设两杆下落时，两杆轴线保持在铅直平面内。
解：第一时刻系统动能
第二时刻系统动能：AC和BC运动相同，考察AC，绞链C到达地面时，A为速度瞬心，
故，
其间外力做功
动能定理，则
从而

12-27 重物Ａ重P，连在一根无重量的、不能伸长的绳子上，绳子绕过固定滑轮Ｄ并绕 在鼓轮Ｂ上。由于重物下降，带动轮Ｃ沿水平轨道滚动而不滑动。鼓轮Ｂ的半径为ｒ，轮 的半径为Ｒ，两者固连在一起，总重量为Ｗ，对于水平轴Ｏ的惯性半径等于ρ。求重物Ａ 加速度。轮Ｄ的质量不计。
解：第一时刻系统动能，重物下降h后其速度v，则
第二时刻系统动能
其间外力做功
动能定理，则
则
两边对时间求导数，
从而

12-28 在图所示系统中，均质杆ＯＡ、ＡＢ各长l，质量均为m１；均质圆轮的半径为r，质量为m２。当θ＝６０°时，系统由静止开始运动，求当θ＝３０°时轮心的速度。设轮在水平面上只滚动不滑动。
解：第一时刻系统动能，当θ＝３０°时轮心的速度v，则
，轮的角速度，OA、AB角速度均为
v
vA
AB质心速度
第二时刻系统动能

其间外力做功
动能定理，则
从而

12-33 如图，正方形均质板的质量为40 kg，在铅直面内以三根软绳拉住，板的边长b=100 mm，试求:(1)当软绳FG被剪断后，木板开始运动的加速度以及AD和BE两绳的张力;(2)当AD和BE两绳位于铅直位置时，板中心C的加速度和两绳的张力。
W
FA
FB
an
at
解：（1）受力分析+运动分析，正方形均质板作曲线平动
其运动微分方程为

这里，=0，且开始运动时，，求得
FB
FA
，，
（2）其运动微分方程为
at
an
W

，这里，=0，求得
利用动能定理求出质心C速度，从而计算其加速度
开始位置静止T1=0，运动至铅直位置，期间所有力做功为
故有，从而
故
从而

12-38 如图，均质细杆OA可绕水平轴O转动，另一端有一均质圆盘，圆盘可绕A在铅直面内旋转。已知杆OA长为l，质量为m1；圆盘半径为R，质量为m2。摩擦不计，初始时杆OA水平，杆和圆盘静止。试求杆与水平线成θ角的瞬时，杆的角速度和角加速度。
解：受力分析+运动分析知
杆OA定轴转动，圆盘曲线平动

根据动能定理
初始状态静止T1=0，运动至θ角位置
期间所有力做功为
故
求得
故，

13-1 如图，一卡车运载质量m= 1 000 kg的货物以速度。v=54 km/h行驶。设刹车时货车作匀减速运动，货物与板间的摩擦因数关fs=0. 3。试求使货物既不倾倒又不滑动的刹车时间。
解：货物的受力分析+运动分析
W
a
FN
F
FI
货物不滑动，即摩擦力未达到最大静摩擦力，临界时
即

货物不倾倒，即惯性力对右下角点的矩小于自重对右下角点的矩
临界时，

故刹车时间不短于。

13-9 均质杆长２l，重W，以匀角速ω绕铅直轴转动，杆与轴交角为α。求轴承Ａ，Ｂ处的动反力。
解：受力分析+运动分析
均质杆匀角速转动，根据对称性，其惯性力构成铅直面内一力偶，故
FB
ai
miai
mjaj
aj
FA

惯性力构成的力偶矩为

故

13-10 均质杆重W，长ｌ，悬挂如图所示。求一绳突然断开时，杆质心的加速度及另一绳的拉力。
解：受力分析及运动分析

ay
α
FT
，
W
补充运动量关系
解联立方程，得，

13-13如图，均质梁AB重为G，中点系一绕在均质圆柱体上的绳子，圆柱体质量为m，质心沿铅垂线向下运动。试求支座A，B处的约束力。