洪水频率计算(规范方法).doc
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1、附录A 洪水频率计算A1 洪水频率曲线统计参数的估计和确定A1.1 参数估计法A1.1.1 矩法。对于n年连序系列,可采用下列公式计算各统计参数:均值 (A1)均方差 或 (A2)变差系数 (A3)偏态系数 或 (A4)式中 Xi系列变量(i=1,n); n系列项数。对于不连序系列,其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同。如果在迄今的N年中已查明有a个特大洪水(其中有l个发生在n年实测或插补系列中),假定(n-l)年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的(N-a)年系列的相等,即,可推导出统计参数的计算公式如下: (A5) (A6) (A7)式中 Xj特大洪水变量(j=1,a);Xi实测洪
2、水变量(i=+1,n)。A1.1.2 概率权重矩法。概率权重矩定义为 j=0,1,2, (A8)皮尔逊型频率曲线的三个统计参数不能用概率权重矩的显式表达。但经推导有: (A9) (A10) (A11)式中,H和R都和Cs有关,并已有近似的经验关系如下: (A12) (A13)为保证Cv和Cs有二位小数准确,要求在用式(A11)计算R时,M0、M1和M2的计算值至少达到5位有效数字。1 根据连序系列计算概率权重矩。将洪水系列按从大到小顺序排列,样本概率权重矩按下式计算: (A14)2 根据含历史洪水特大值的不连序样本计算概率权重矩。 (A15)式中,C1,C2都是对不连序系列中实测洪水概率权重的
3、修正系数。 (A16)A1.1.3 双权函数法。均值仍用矩法,如式(A1)计算。而Cv和Cs的计算公式为 (A17) (A18)式中,k、h是待优选的系数,可采用未加权的、数值积分计算的Cv,按下式选定:h=Cv,K=1/Cv。 (A19) (A20) (A21) (A22)第一权函数 (A23)第二权函数 (A24)积分式(A19)式(A22)可用数值积分公式计算。例如,当n为奇数时,采用权积分系数:8,-4,8,1,4,2,4,2,2,4,1,8,-4,8,总权数=3(n+1);当n=偶数时,采用64,-32,64,8,32,16,32,16,32,17,27,27,17,32,16,32
4、,16,32,8,64,-32,64,总权数=24(n+1)。A1.1.4 线性矩矩法。1 线性矩的定义设随机变量为X,其取值为x,分布函数为F(x),密度函数f(x)。概率权重矩可定义为 (A25) (A26) 在此基础上,定义线性矩lr(L-Moment)为 (A27) 其中: (A28) 一般地,这种定义的线性矩与概率权重矩的关系如下: (A29)线性矩与矩都可作为概率分布的位置、离散和形状特征的度量。它们各自表示方法见表A1.1.4。 表A1.1.4 总体与样本线性矩与矩的表示符号特征总体矩样本矩总体线性矩样本线性矩位置EX离散S偏态峰形2 线性矩与Pearson-III分布统计分布参
5、数关系设P-III分布密度函数如下: (A30)由于a,b,a0与线性矩关系复杂,故给出近似算法: (A31) (A32) (A33) (A34) (A35) (A36)系数 取值分别是:0.32573501,0.16869150,0.078327243,-0.0029120539,0.46697102,0.24255406,0。122602172,0.053730130,0.043384378,0.011101277,0.18324466,0.20166036,2.3807576,1.5931792,0.11618371,5.1533299,7.1425260,1.9745056,2.123
6、5833,4.1670213,3.1925299,9.0551443,26.649995,26.193668。3 连序系列时样本线性矩公式 设样本为,则线性矩,对应的样本矩l1,l2,l3,l4计算公式由如下: l1 =b0 (A37) l2 =2b1-b0 (A38) l3 =6b2-6b1+b0 (A39) l4=20b3-30b2+12b1-b0 (A40) = l3 /l2 (A41) = l4 /l2 (A42) (A43) (A44) (A45) (A46)4 根据含历史洪水特大值的不连序样本计算的线性矩公式设水文样本最大重现期N,历史洪水个数a,实测期历史洪水个数为l,实测期样本
7、长度n,且由小至大排列的样本为 ,则计算公式 (A47)A1.2 适线法适线法的特点是在一定的适线准则下,求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数。一般地,可根据洪水系列的误差规律,选定适线准则。当系列中各项洪水的误差方差比较均匀时,可考虑采用离(残)差平方和准则;当绝对误差比较均匀时,可考虑采用离(残)差绝对值和准则;当各项洪水(尤其是历史洪水)误差差别比较大时,以采用相对离差平方和准则为宜;或采用经验适线法。A1.2.1 离差平方和准则。也称最小二乘估计法。频率曲线统计参数的最小二乘估计使经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之差(即离差或残差)平方和达到极小。 (A48)式中,或简记作fi为
8、频率p=pi,i=1,n时频率曲线的纵坐标。对于皮尔逊型曲线,有: (A49)式中 离均系数。根据数学分析,统计参数的最小二乘估计是方程组 (A50)的解。式中,为参数向量,即。 由于式(A49)对参数是非线性的,所以,只能通过迭代法求解。求解式(A48)式(A50)的最基本方法是高斯牛顿法,其迭代程序为 (A51)式中 上标“t”和“-1”分别表示矢量或矩阵的转置和逆;K迭代次数。式(A51)中的F和都在处计值。当选定一组参数初值(例如用矩法或上述其它估计方法),利用迭代程序进行迭代时,应直到相邻两次迭代结果与差别足够小,合乎精度要求时为止。这时就可取作为的估计。A1.2.2 离差绝对值和准
9、则。使估计的频率曲线统计参数值 (A52)达到极小。对式(A52)一般可采用直接方法(即搜索法)求得参数、Cv和Cs的数值解。A1.2.3 相对离差平方和准则。考虑洪水误差和它的大小有关,而它们的相对误差却比较稳定。因此,以相对离差平方和最小更符合最小二乘估计的假定。适线准则可写成: (A53)其参数迭代程序为 (A54)式中A1.2.4 经验适线法。采用矩法或其它方法,估计一组参数作为初值,通过经验判断调整参数,选定一条与经验点据拟合良好的频率曲线。适线时应注意:1 尽可能照顾点群的趋势,使频率曲线通过点群的中心,但可适当多考虑上部和中部点据。2 应分析经验点据的精度(包括它们的横、纵坐标)
10、,使曲线尽量地接近或通过比较可靠的点据。3 历史洪水,特别是为首的几个历史特大洪水,一般精度较差,适线时,不宜机械地通过这些点据,而使频率曲线脱离点群;但也不能为照顾点群趋势使曲线离开特大值太远,应考虑特大历史洪水的可能误差范围,以便调整频率曲线。A2 设计洪水估计值的抽样误差当总体分布为皮尔逊型分布,根据n年连序系列,用矩法估计参数时,设计洪水值Xp的均方误(一阶)近似公式为(绝对误差) (A55)或 (相对误差) (A56)式中Kp为指定频率p的模比系数,B为Cs和p的函数,并已制成诺模图。图A1中的B值是采用离差绝对值和适线准则,由统计试验法求得的。图A1 B值诺模图A3 地区洪水的频率
11、组合对于控制断面以上有两个分区的情况,可按下列方法计算。多个分区的情况,可参照两个分区的计算原则进行。设控制断面时段洪量为Z,上游水库断面相应的洪量为X,区间相应的洪量为Y,则Z=X+Y (A57) A3.1 独立性检验在对X与Y进行频率组合计算之前,应对X与Y是否相互独立作检验。可采用相关系数、联列表、实测资料检验等。A3.1.1 相关系数检验。构造统计量 (A58)式中 n样本容量;r相关系数。当指定某一信度a后,由t分布表中查得临界值ta,若计算的,则认为X与Y是不独立的。A3.1.2 联列表检验。将随机向量(X,Y)的样本空间分为LK个子区间计算同时出现在各子区间的频数。构造统计量 (
12、A59)式中 (X,Y)在区间(Xi,Yj)内的频数; 出现在内的频数; 出现在内的频数。当n较大时,统计量服从自由度为(L-1)(K-1)的分布。指定某信度a,由分布表查得临界值,若计算值,则认为变量X与Y之间是不独立的。A3.1.3 实测资料检验。由实测资料求得X、Y、Z的频率曲线。假定X、Y相互独立,按独立随机变量作频率组合计算,求得Z的频率曲线,若该曲线与按实测资料求得的频率曲线吻合较好,则认为假定X与Y的相互独立是成立的,反之则认为它们之间存在相关关系。A3.2 变量相互独立时的频率组合计算当采用离散求和法计算时,可将X与Y的频率曲线离散成阶梯状,X与Y只能取有限个状态值,设X取nx
13、个状态,Y取ny个状态,则Z的取值状态数为 (A60)设X取状态Xi的频率区间为取状态Yj的频率区间为,则Z相应状态对应的频率区间为 (A61)对Z的每一个取值状态,选择一个典型年洪水过程线,按Xi与Yj控制缩放水库断面及区间的洪水过程线,将水库断面的洪水过程线经调洪后得到下泄流量过程线,再与区间洪水过程线组合后就得到控制断面在该状态下受到上游水库调蓄影响的洪水过程线。对Z的所有取值状态重复上述计算,可得到nz条洪水过程线及每一状态相应的频率区间,据此可直接统计出控制断面受上游水库调蓄影响的洪水峰、量频率曲线及其设计值。A3.3 变量不独立时的频率组合计算当X与Y不独立时,应进行独立性处理。一
14、般采用变量代换。如X与Y存在线性相关,可采用 (A62)或 (A63)以新变量Ex或EY代替Y和X。系数K1、K2可由最小二乘法确定:(i=1,2,n) (A64) (A65)在变量代换中,一般对均值较小的变量作代换。经独立性处理后,就可按独立随机变量进行频率组合计算。附录B 暴雨及产流汇流计算B1 设计暴雨计算B1.1 设计面暴雨量计算B1.1.1 如雨量站网较密,观测系列又较长,应尽可能直接根据设计流域的逐年最大面雨量系列作频率分析,以推求流域的设计面雨量。B1.1.2 如流域面积较小,直接进行面暴雨频率分析的资料统计有困难时,可用相应历时的设计点雨量和点面关系间接推算设计面雨量。设计面雨
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