跨学科命制一道代数推理题的反思.pdf

数学之友2023年第11期跨学科命制一道代数推理题的反思解题探索何亚男（福州市第十六中学，福建福州，3 5 0 0 0 7）摘要：义务教育数学课程标准（2 0 2 2 版)对代数式的课程目标进行了补充：其一，了解代数推理；其二，能利用乘法公式进行代数推理 ，并提出应“适当考虑跨学科主题学习”.笔者试图以课程标准作为导向，以物理学科的牛顿第二定律作为背景，融合数学与物理学科的知识，进行原创命题，基于新课标对代数推理、项目式学习、综合实践进行思考.关键词：命题；新课标；代数推理；跨学科；综合实践速度变化量_V2-U11合命题与解析1.1题目牛顿是一位伟大的物理学家，以牛顿三大定律闻名于世.牛顿第二定律：一质量为m的物体在一恒定的合力F的作用下进行匀加速直线运动，F=am.运动过程中加速度（单位:m/s）表示速度的变化量与发生这一变化所用时间之比 2 .图1是一段时间内质量为m的物体在一恒定的合力F的作用下做匀加速运动的速度（单位：m/s）随时间t（单位：s）变化的图象.（1）求出该物体在这段时间内的加速度（用含U1,U2,t2 的式子表示);（2）已知如下结论：若匀加速直线运动的物体的运动时间为t秒，则物体在这t秒内运动的平均速t度与第一秒时的速度相等.物体在这段时间内的路程2就等于这段时间内的平均速度与时间的乘积求该物体运动的距离：与时间t之间的关系（用含U1,U2,tz的式子表示）；物体从开始运动到第t秒时的总路程为Si，t运动物体在第一秒时的速度与物体运动到一时的速2度哪一个更快？请说明理由.1.2分析第(1)题,根据题目中的“加速度（单位:m/s)表示速度的变化量与发生这一变化所用时间之比”可知,=时间第(2)小题,要求s与t的关系式,必须先用含tt的式子表示t秒内的平均速度.平均速度又为第2秒时的瞬时速度.又“加速度表示速度的变化量与发生这一变化所用时间之比”,所以=，所以一一t0t2图12此题可解t22第一秒时的瞬时速度为=+at,把第一小题中22的代人该式,得t秒的平均速度为=i+-t2tU2-U1Ui+t.路程为平均速度与时间的乘积,所22t2U2-U1以s=+2t2t2把参代人二幼*第(2)题,把 2t2U2-U1t2U1+U2得到=U+因为要比较叫和22t2的大小,所以也必须要用含有u1,2的式子表示.已知在匀加速直线运动的过程中，加速度不变，S1s和有倍分关系,因此优先考虑用速度、加速度来2S1表示s和一,再使用等量代换消去与s.因此,应排2除变量t对计算过程的干扰,先把时间用速度与加速S1度表示出来.当s=时，由加速度的定义可以反推2+UI2,平均速度心=2物体的运动时间增=aU2-U1.t=Uit+2t2U2-U1t可直接2222023.11_73数学之友S1由此可得2V2一S1aU1,2的式子表示吗，即？22应该先使用作差法比较二者的平方，再使用乘法公式可得结果1.3解法解：（1）：加速度a（单位：m/s）表示速度的变化量与发生这一变化所用时间之比，U2-U1.=t2（2）：物体的速度为原始速度加速度变化量，V2-V1.V=U+at=V+t2第0 秒到第t秒的时间内运动的平均速度为=V2一tU+t2物体运动距离为总距离s1一半时的速度更快。理由：由第题可知，物体在第V2一1t2U1+V2=U1+t22S1当s：时,物体的速度记为(0).2S1S时，物体运动时间t，=2t平均速度=i+aV1+a2U,+U12S12：.当s=s,时，物体运动时间t=V1+2平均速度=1+2t2-U2一V2+2a274_数学之友2023年第11期+U12一2aV222V2V十一aS12.同理，可得22a2一2a202+i要比较心与兴22V2十2t22t22+U12U2一2a2联立两式，即可用含有S可得222心bi-20b+（U 22-01)244V21，.U2-U1 0.0.又u0,0,2v2.2：物体运动距离为总距离s的一半时的速度t，更快。V2v,t+2t2t2秒时的速度度的定义”与第44页的“速度与位移的关系”以及第95页的“牛顿第二定律”作为素材.物体做匀变速直线运动的“速度-时间”图象是一次函数图象的一部2分，图象的斜率表示加速度，图象与纵轴的截距表示初速度,图象与横轴所围图形的面积表示在相应时间内物体发生的位移.a2.2命题思路2.2.1第一稿2a牛顿是一位伟大的物理学U2家，以牛顿三大定律闻名于世.牛顿第二定律：一质量为的22一2aV2-U1a22a22a+2+20.b.+/2+22222二2命题过程2.1命题来源命题以人教版物理必修第一册第2 7 页的“加速物体在一恒定的合力F的作用下进行匀加速直线运动，F=am.运动过程中加速度(单位:m/s）表示速度的变化量与发生这一变化所用时间之比.图2 是一段时间内质量为m的物体在一恒定的合力F的作用下做匀加速运动的速度（单位：m/s）随时间t（单位：s）变化的图象.物+4+i+202+24-02图2数学之友体从开始运动到第t秒时的总路程为s1，物体运动到t2的路程与一哪一个更短？请说明理由.S122分析：初中阶段,在行程问题中，学生常见的是匀速直线运动的“路程-时间”一次函数图象，图象斜率表示速度，信息含量较小.在学生还未学过高中物理知识的时候，引导其使用初中的数学知识、方法探究匀变速直线运动背景下的“速度-时间”图象的纵轴截距、斜率的含义,有利于提升学生综合运用学科知识创造性解决实际问题的能力.因此,笔者绘制如图2 的一t图象，从图象中可以看出,把梯形面积等分的垂直于t轴的线段和梯形中位线的位置是不同的,所截的小梯形面积也不同，即路程不同.本题主要考查学生阅读、理解材料的能力，代数式运算的能力与通过作差法比较大小的能力,但是考查的内容较简单,且所得的结论与所跨的学科关联不够紧密，作为综合实践题，思考的容量不足，无法激发学生深入思考.行程问题中，初中生常见的量有路程、速度、时间.这道题以时间为自变量，速度为函数，而路程则还要由时间和速度推知,若把路程作为研究对象,对学生的思维训练会更有挑战性.2.2.2第二稿牛顿是一位伟大的物理学家，以牛顿三大定律闻名于世.牛顿第二定律：一质量为m的物体在一恒定的合力F0的作用下进行匀加速直线运动，F=am.运动过程中加速度a(单位：m/s）表示速度的变化量与发生这一变化所用时间之比.图3 是一段时间内质量为的物体在一恒定的合力F的作用下做匀加速运动的速度v（单位：m/s）随时间t（单位：s）变化的图象.物体从开始运动到第t，秒时的总路程为t2S1S1,运动物体在第秒时的速度与物体运动到一时22的速度哪一个更快？请说明理由.分析：学生对本题的理解存在一定的困难,匀变速直线运动中，路程与速度、时间之间的关系与匀速直线运动中的不同，学生在不查资料的情况下很难推导出这三者之间的关系式.因此在学生学习过“路程=速度x时间”的基础上，再给学生一定的思维铺2023年第11期垫：在匀变速直线运动中，路程=平均速度时间，并给学生多加一个条件：若匀加速直线运动的物体运动时间为t秒,则物体在这t秒内运动的平均速度与第二秒时的速度相等，物体在这段时间内的路程就2等于这段时间内的平均速度与时间的乘积.暗示产生要求特定时间的总路程，可先求路程的一般表达式。2.2.3第三稿牛顿是一位伟大的物理学家，以牛顿三大定律闻名于世。牛顿第二定律：一质量为m的物体在一恒定的合力FU的作用下进行匀加速直线运动，F=am.运动过程中加速度a(单位：m/s）表示速度的变化量与发生这一变化所用时间之比.图4是一段时间内质量为m的物体在一恒定的合力F的作用下做匀加速运动的速度（单位：m/s）随时间t（单位：s）变化的图象.（1）求出该物体在这段时间内的加速度（用含U1,U2,t2 的式子表示);（2）已知如下结论：若匀加速直线运动的物体运动时间为t秒,则物体在这t秒内运动的平均速度与第一秒时的速度相等.物体在这段时间内的路程就2等于这段时间内的平均速度与时间的乘积.求该物体运动的距离s与时间t之间的关系12图3一一图4（用含U1,U2,t2的式子表示）；物体从开始运动到第t秒时的总路程为S1，t2运动物体在第一秒时的速度与物体运动到一时的速2度哪一个更快？请说明理由.分析：本题考查了代数式的运算、乘法公式、不等式.解决本题需要学生有较强的抽象思维、逻辑思维能力；掌握乘法公式及作差法比较代数式大小；综合运用所学知识分析问题、解决问题.要求学生能够具备以下能力.（1）紧扣概念一一加速度的概念；（2）利用定律一一牛顿第三定律；（3）活用条件一“若匀加速直线运动的物体运动时间为t秒,则物体在这t秒内运动的平均速度与第一秒时的速度相等；2S122023.11_75数学之友（4）等价转化一一通过si这一介质得出初速度、未速度、兴进S1速度的数量关系；（5）挖掘隐含条件S可使用含U1,U2的代数式表示；（6）注意目标信息一一用含U1,U2的代数式表示物体运动到一时的速度.2在跨学科的背景下，让学生用数学的眼光观察世界.本题考查了学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算三大数学学科素养，同时体现了数学的跨学科应用，即融合数学、物理学科的知识及社会生活经验，并创造性地运用到多元化的问题中，培养学生的迁移、整合、重构能力.3思考与感悟3.1立足课标，发挥作业的评价作用笔者在研读教育部制定的义务教育数学课程标准（2 0 2 2 版）时，有感于其新增的：“了解代数推理；能利用乘法公式进行代数推理.”代数推理对培养学生的数学思维、数学能力有着重要作用，是学生思维向更高层次发展的必备能力.在新课标的导向作用下，教、学、评三个方面都应对代数推理有所体现.教学评价决定教学活动的实施，影响教师教学的内容、方式、侧重点，同时使学生通过客观的评价结果对学习过程进行自我评价、反思，对学生的学习活动具有导向作用.基于此，应重视代数推理在教、学、评三个环节的有效化呈现初中阶段的逻辑推理，常常是在“图形与几何”模块，需要学生用几何的定义、定理、公理等,结合题目中的已知条件，把题目中的文字信息转化成符号信息，运用三段论、数学归纳法等方法，由已知推理未知,或是证明某个命题.在新课标发布之后，笔者开始思考几个问题：何为代数推理？何为初中生能力所及的代数推理？笔者结合类比几何推理题的几个特征对代数推理题作了初步的定位.代数推理是基于一定的条件，根据定义、运算法则、运算原理，将代数式变形为特定的目标结构用来说理、证明、解决问题的过程.代数推理问题常以代数式的加减乘除运算、乘法公式、简单的数论、方程、不等式、函数等知识为背景,以解答题的形式出现 3 。代数推理题需要学生把题目中的文字语言转化为符2023年第11期号语言以便说理；在推理的过程中，需要步步有据，由已知或者已求推理未知；解题的过程中需要体现代数的思想与方法，可以用到三段论、数学归纳法、反证法等推理的方法.以本题为例,题目中给出的加速度的概念就是末一始文字语言的形式，需要转化为符号语言=才能完成后续推理.本题的参数较多，因此需要选取有利参数来表示未知量.在推理时，每一步都要有依据，如“2在这段时间内的路程就等于这段时间内的平均速度与时间的乘积”，这是把已知条件作为依据；又如“：U 2 :U 2-0”,依据是不等式的性质1,这是把性质定理作为依据.这种在依据（大前提）、某种条件（小前提）下得到结论的方法就是三段论的推理方法.此外，在本题中，多次用到且起着关键作用的等量代换使得本题充满浓厚的代数气息.本题可以考查学生的抽象能力、推理能力、应用意识和创新能力。3.2创新命题，体现数学的跨学科应用新课标指出：“注重数学知识与方法的层次性和多样性,适当考虑跨学科主题学习.”在核心素养的内涵中提出：“欣赏数学语言的简洁与优美，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯,形成跨学科的应用意识与实践能力.”现代科学技术的创新大多发生在学科的边界,现实生活中的问题具有多元化、复合性的特点,只用单一学科的知识无法解决，因此，需要鼓励学生突破学科边界、跨越学科思考 4.跨学科素养强调知识的整合与迁移、融合与创造性运用，是学生能力与情感态度价值观的具体体现，笔者理解的“跨学科学习”有三种类型：其一,用不同学科的知识解决同一个问题；其二,用一个学科的知识解决另一个学科的问题；其三,通过一个学科的知识印证另一个学科的知识.笔者选择其中难度较低的第三种类型的“跨学科学习来设计这道作业题.本题的背景是高一物理中的运动学与牛顿第二定律.但高一物理课本上并没有本题核心结论2 as=味一%的证明过程，是默认学生有能力证明的.因a22a76_数学之友数学之友此,笔者把运动学背景简化，变式为初中学生已学过的数学知识解决的问题，以便学生使用数学的知识来印证物理的知识.本题作为学生提升跨学科素养的一个素材,培养学生的综合运用学科知识与创造性解决实际问题的能力和价值观.3.3改编命题，形成项目式学习的主题把本题中的物理背景、解释、补充条件全部删去,只留下实际问题：一个小球从高楼降落,经过一定时间落地.运动到一半路程的小球和运动到一半时间的小球，哪个速度更大？用这样的问题引导学生自行探索问题、获取解决问题需要的知识、学习解决问题的方法，虽然对学生的能力要求比较高，但是能够使学生充分地沉浸到问题的情境中.教师可以让学生组成学习小组，分工合作解决问题,那么，这个问题就成为了学生的一次项目式学习的主题.学生通过各种渠道查询得出问题的背景、解释、补充条件,或许能找到更快的方法解决问题,如直接用物理中的公式2 as=2023年第11期粉，或者使用定积分（面积法).这就类似于数学建模，把实际问题转化为数学问题，结合实际问题的背景，得到有用的公式、信息，利用这些信息进行数学求解，再把数学的答案转化回实际问题中.这中间经历的“抽象一分析解答一回归现实”正符合新课标提出的数学课程要培养的学生核心素养的三个方面：“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”参考文献：1】中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2 0 2 2 版）S.北京：北京师范大学出版社，2 0 2 2.2人民教育研究社，课程教材研究所,物理课程教材研究开发中心.物理必修第一册【Z.北京：人民教育出版社,2 0 19.3蒋寿荣.攻坚克难,狠抓代数推理问题 J.新高考（高三数学）,2 0 12(Z1):65-67.4 邵俊峰.高中生跨学科素养培育的思考与实践 J.江苏教育,2 0 16(5 1)：10-12+16.(上接第7 2 页）知而在知其所以然;不在知其然,而在知何由以知其2尊重思维规律，发展学生思维所以然.”这就是数学思维的三个发展阶段，一是知普通高中数学课程标准（2 0 17 年版）提出“让学生养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯”的教学目标要求，是针对高中生的心理发展特征以及数学知识的掌握基础提出的 2 .教师在课程教学整个过程中，运用多种方式来帮助学生培养思维习惯和思维方式，在实际教学中，可以采取以下措施.（1）注意平时点滴引导学生积极思考，让数学抽象和基本思维模式通过降维类比联想结合起来，全面渗透核心素养培养。（2）从不同角度认识同一知识点，让学生从数学抽象的角度找到关联，看清本质联系.（3）培养学生从形式和结构上把握知识,从而发现数学知识点外在和内在的多维联系.（4）重视培养学生一般性思考问题的习惯.高中数学知识网络要点很多，看似分散，实际是学生思考问题时过于表面化造成的，所以要求学生从更一般的角度提炼和思考.数学教育家傅种孙先生有名言：“几何之务不在其然,二是知其所以然，三是知何由以知其所以然 3 .高中数学教育教学中立体几何的公理体系严谨，证明推理逻辑严密，认知图形抽象，同时在具体计算方面往往较繁琐,这些都对学生的逻辑抽象能力、联想归纳能力、计算作图能力等都有更高要求，所以这成为了高中数学教学的重点、难点和出发点.数学教学要尊重学生思维的发生发展规律，注重举一反三.在思维发展过程中,学生参与完整过程,积极思考，主动运用降维、类比、联想等方法，才能发现问题、提出问题和解决问题参考文献：1 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版）S.北京：北京师范大学出版社，2 0 2 2：43.2章建跃.理解数学,理解学生,理解教学 J.中国数学教育,2 0 10(2 4):3-7+15.3余建明,方志勇，曹凤山.降维思考升维解题明修栈道暗度陈仓一一类立体几何问题翻折策略的研究 J.中学数学教学参考,2 0 2 1（3 1）：41-44.2023.11_77