考虑轴向应力影响的圆形巷道围岩塑性区边界近似解.pdf

考虑轴向应力影响的圆形巷道围岩塑性区边界近似解刘洪涛1,2，韩子俊1,2，郭晓菲1,2，周光东1,2，韦晟杰1，韩洲1，陈小港1，程文聪1（1.中国矿业大学(北京)能源与矿业学院,北京100083；2.煤炭行业巷道支护与灾害防治工程研究中心,北京100083）摘要：为了研究考虑轴向应力作用的巷道围岩塑性区边界问题，基于 Mohr-Coulomb 准则，通过引入 Lode 角参数，推导出考虑轴向应力作用的圆形巷道围岩塑性区边界隐性方程，通过变化巷道水平应力 x、轴向应力 y分析了不同应力场下的围岩塑性区尺寸及形态，并通过数值模拟进一步说明了理论分析的可靠性。此外还研究了围岩黏聚力 C、内摩擦角、巷道半径 R、泊松比 v 对巷道围岩稳定性的影响。结果表明：固定轴向侧压变化水平侧压的条件下，围岩塑性区尺寸变化会分为敏感区和迟钝区，且在水平侧压变化的过程中围岩塑性区形态会呈现圆形、椭圆形及蝶形 3 种形态。固定水平侧压变化轴向侧压的条件下，围岩各位置的塑性区会呈现强烈的区间效应，通过与平面应变问题下的塑性区尺寸对比将区域分为轴向应力影响区和轴向应力无影响区。在轴向应力影响区内，轴向侧压的变化对围岩的塑性区尺寸影响较大。巷道围岩的破坏形态由水平侧压 1决定，轴向侧压 2对塑性区形态影响较小，对尺寸影响较大。围岩 C、的增加会使巷道围岩的塑性区尺寸不同程度的减小，R 的增加会使围岩不同位置塑性区呈等差数列增大。在轴向应力无影响区，v 对围岩塑性区尺寸无影响，在轴向应力影响区内，翼角处的塑性区尺寸不受 v 的影响，其余位置的塑性区尺寸会受到不同程度的影响。关键词：围岩破坏；围岩塑性区；塑性区边界；圆形巷道中图分类号：TD353文献标志码：A文章编号：02532336（2023）10001212Approximate solution of plastic zone boundary of surrounding rock of circularroadway considering axial stressLIUHongtao1,2,HANZijun1,2,GUOXiaofei1,2,ZHOUGuangdong1,2,WEIShengjie1,HANZhou1,CHENXiaogang1,CHENGWencong1（1.School of Energy and Mining Engineering,China University of Mining and Technology-Beijing,Beijing 100083,China;2.Research Center of RoadwaySupport and Disaster Prevention Engineering in Coal Industry,Beijing 100083,China）Abstract:Inordertostudytheboundaryofplasticzoneofsurroundingrockofaroadwayconsideringaxialstress,basedonMohr-Cou-lombcriterion,theimplicitequationofplasticzoneboundaryofsurroundingrockofcircularroadwayconsideringaxialstressisderivedbyintroducingLodeangleparameter.Thesizeandshapeofplasticzoneofsurroundingrockunderdifferentstressfieldsareanalyzedbychangingthehorizontalstressxandaxialstressyofroadway,andthereliabilityoftheoreticalanalysisisfurtherillustratedbynumericalsimulation.Inaddition,theinfluenceofcohesionC,internalfrictionangle,roadwayradiusRandPoissonsratiovonthestabilityofsur-roundingrockisstudied.Theresultsshowthat:Undertheconditionoffixedaxiallateralpressurewhilechanginghorizontallateralpressure,thesizechangeofplasticzoneofsurroundingrockcanbedividedintosensitivezoneandinsensitivezone,andinthechangingprocessofhorizontallateralpressure,theplasticzoneofsurroundingrockshowsthreeforms:circular,ellipticalandbutterfly-shaped.Undertheconditionoffixedhorizontallateralpressurewhilechangingaxiallateralpressure,theplasticzoneateachpositionofsur-roundingrockshowsastrongintervaleffect.Bycomparingthesizeofplasticzoneunderplanestrainproblem,theregionisdividedinto收稿日期：20220829责任编辑：朱恩光DOI：10.13199/ki.cst.2022-1405基金项目：国家自然科学基金资助项目(52004289)；中央高校基本科研业务费资助项目（2022XJNY01）；国家自然科学基金联合基金项目资助（U22A20165）作者简介：刘洪涛(1981)，男，吉林怀德人，教授，博士。E-mail：通讯作者：韩子俊(1996)，男，山西晋中人，博士研究生。E-mail：第51卷第10期煤炭科学技术Vol.51No.102023年10月CoalScienceandTechnologyOct.2023刘洪涛，韩子俊，郭晓菲，等.考虑轴向应力影响的圆形巷道围岩塑性区边界近似解J.煤炭科学技术，2023，51（10）：1223.LIUHongtao，HANZijun，GUOXiaofei，et al.ApproximatesolutionofplasticzoneboundaryofsurroundingrockofcircularroadwayconsideringaxialstressJ.CoalScienceandTechnology，2023，51（10）：1223.12axialstress-affectedzoneandaxialstress-unaffectedzone.Intheinfluencezoneofaxialstress,thechangeofaxiallateralpressurehasgreatinfluenceonthesizeofplasticzoneofsurroundingrock.Thefailuremodeofroadwaysurroundingrockisdeterminedbytheho-rizontallateralpressure1,andtheaxiallateralpressure2haslittleeffectontheshapeofplasticzone,buthasgreatinfluenceonthesize.TheincreaseofsurroundingrockCandwillreducethesizeofplasticzoneofroadwaysurroundingrocktovaryingdegrees,andtheincreaseofRwillincreasetheplasticzoneatdifferentpositionsofsurroundingrockinanequalnumbersequence.Intheaxialstress-unaf-fectedzone,vhasnoeffectonthesizeofplasticzoneofsurroundingrock.Intheaxialstress-affectedzone,thesizeofplasticzoneatthewingcornerisnotaffectedbyv,andthesizeofplasticzoneatotherlocationsisaffectedtodifferentdegrees.Key words:surroundingrockdamage；plasticzoneofsurroundingrock；plasticzoneboundary；circularroadway0引言在煤炭开采过程中，巷道顶板灾害防治依然是煤矿安全的重点和难点。在 2021 年全国煤矿事故统计中，顶板事故起数及遇难人数分别占煤矿事故总数的 31%和 32%。顶板灾害的发生是由于围岩产生不同形式和范围的破坏所致1-2。因此，研究巷道围岩破坏范围及塑性区分布规律对巷道围岩的稳定控制具有重要意义。地下围岩在自重应力状态下处于稳定状态，巷道开挖会使围岩应力产生重新分布，当某一点的区域应力集中程度大于其弹性界限值时，该点处岩体会产生屈服或破坏3。因此选用合理屈服与破坏准则对研究地下工程问题是非常重要的。马念杰、赵志强等4-5基于 M-C 准则，利用弹塑性力学理论推导出非均匀应力场下的圆形巷道围岩塑性区边界八次隐性方程。尹光志等6通过对比 M-C、Mises、D-P、MLC、SMP 准则，对各种准则的适用性进行了评析，证明了 MLC 准则在真三轴应力条件下的良好适用性。侯公羽等7基于 Levy-Mises 本构关系和 Hoke-Brown 屈服准则，推导出轴对称圆孔在理想弹塑性条件下的塑性解。师皓宇等8-9基于平面应变问题，结合三维应力场下的 M-C 准则，阐述了中间主应力作用下巷道围岩的屈服破坏状态及规律，并对不同应力准则下的蝶叶敏感性进行了分析。此外，地下工程破坏问题是弹性力学中的三维应力问题10。诸多学者在研究该问题时采用平面应变问题进行处理，但研究表明，巷道轴向应力对巷道围岩的变形与破坏也具有重要影响11。赵洪宝等12对三向非等压应力场下的围岩偏应力及应变能密度分布进行了研究，并结合弹塑性理论推导出圆孔周边最大、最小偏应力的计算式。尹光志等13-14、施维成等15采用控制变量的方法通过真三轴试验研究了球应力、偏应力及 Lode 角对岩石变形特性的影响。骆开静等16以 Lode 参数为指标分析了中间主应力对围岩塑性区尺寸的影响，并表明中间主应力会表现出“强烈区间性”。综上所述，众多学者针对围岩的塑性区边界问题展开了大量研究，并基于不同岩体破坏准则推导出圆形巷道塑性区半径的弹塑性近似解，这些研究对分析巷道围岩的塑性破坏问题具有重要意义。而在探究孔洞塑性区边界问题过程中，大多数分析成果均忽略了巷道轴向应力的影响，而上述众多研究成果表明巷道轴向应力对围岩的稳定性具有重要作用。因此，基于 Mohr-Coulomb 准则，通过引入 Lode角，推导出考虑轴向应力作用的圆形巷道围岩塑性区边界隐性方程，得出不同三向应力条件下的围岩塑性区尺寸及形态，通过数值模拟进一步说明了理论分析的可靠性，为巷道围岩的塑性破坏分析及稳定控制提供一定的理论指导。1圆形巷道围岩弹塑性分析1.1圆形巷道围岩应力分析在地下工程如巷道等长洞型问题中，由于巷道轴向方向的尺寸远大于其横截断面尺寸，故可将该类工程问题视为广义平面应变问题17。广义平面应变问题是将巷道周围的应力场简化为平面应变、面外剪切以及单轴压缩的问题，简化模型示意图如图 1所示，郑雨天等17通过上述模型推导出极坐标下巷道周边任意一点的应力表达式为r=x+z2(1R2r2)xz2(14R2r2+3R4r4)cos 2=x+z2(1+R2r2)+xz2(1+3R4r4)cos 2v=y2v(xz)R2r2cos 2r=xz2(1+2R2r23R4r4)sin 2（1）式中：r、r分别为巷道周边任意一点的径向应力、切向应力以及剪应力；x为垂直巷道帮部的水平应力；y为与巷道轴向平行的应力；z为巷道围岩的铅垂应力；v为巷道轴向的应力；r、为巷道周边任意一点的极坐标；v 为巷道围岩泊松比；R 为巷道围岩半径。刘洪涛等：考虑轴向应力影响的圆形巷道围岩塑性区边界近似解2023年第10期13ZYXzzxxyyyxzzyxyyxyx=+图1广义平面应变问题模型Fig.1Generalizedplanestrainproblemmodel极坐标下围岩任意一点的主应力表达式为1=r+2+12(r)2+42r2=v3=r+212(r)2+42r（2）式中：1、2、与 3为围岩任意点的三个主应力，式中的 1、3并非一定是围岩的最大、最小主应力。1.2三向应力场下巷道塑性区边界方程在研究巷道围岩的屈服与破坏时，需要建立使围岩产生屈服与破坏的条件与准则。M-C 强度准则是目前应用最为广泛的强度准则，其物理意义在于当剪切面上的剪应力与正应力之比达到最大时，材料便会发生屈服与破坏。M-C 强度准则在主应力空间的表述为f=13(1+3)sin2Ccos=0（3）式中：C 和 分别为为屈服或破坏参数，即岩石的黏聚力和内摩擦角。文献 5 将极坐标下任意一点的主应力 1、3的表达式代入式(3)推导出平面应变问题下非均匀应力场中的塑性区八次隐性方程式(4)，并基于式(4)对巷道围岩塑性区形态进行深入研究，首次提出“蝶形塑性区”的概念，揭示了圆形巷道非对称变形破坏的机理。f(Rr)=K1(Rr)8+K2(Rr)6+K3(Rr)4+K4(Rr)2+K5=0（4）式中：K1=9(1)2K2=12(1)26(12)cos2K3=2(1)2cos22(5+2sin2)sin22+(1+)2+4(12)cos2K4=4(1)2cos 42(12)cos 2(1+2sin2)+4H(1)cos 2sin 2CK5=(1)2sin2(1+2Ccos Hsin)2其中：为最大围压与最小围压的比值。从式(4)可以看出，蝶形塑性区八次隐性方程是将平面应变问题模型下的两向围压定义为最大（最小）、最小（最大）主应力，而未考虑巷道轴向应力 y的情况。事实上，圆孔围岩处于三向应力场下，在 X、Y、Z 三个方向的应力数值大小未知的情况下，无法判断哪个坐标方向的应力为最大主应力和最小主应力。根据岩土塑性力学可知，3 个方向应力 x、y、z可以通过应力不变量与 Lode 角表示为式(5)：xyz=mmm+23J2sin(+23)sinsin(+43)（5）m=1+2+33式中：m为平均应力，。J2为偏应力第二不变量，代表着各种剪应力的大小：J2=16(12)2+(23)2+(13)2=13arcsin332J3J23/2J3=(12)(23)(13)为 平面上主应力矢量投影 与 y在 平面上的投影 y之间的夹角，简称应力 Lode 角：，其中，J3为偏应力第三不变量，代表着剪应力的方向：此时将式(5)代入式(3)即可得三维应力状态下的 M-C 强度准则可以通过 m、J2与 表述为18：msinJ213sinsin+cos+Ccos=0（6）将极坐标下任意一点的应力表达式式(1)代入主应力表达式式(2)，得到的结果再分别代入偏应力第二不变量 J2、偏应力第三不变量 J3、应力 Lode 角以及平均应力 m各自的表达式，即可得各自的计算解析式，再将得到的计算解析式代入式(6)，即可得考虑轴向应力的三维应力场下的圆形巷道围岩塑性区边界隐性方程(7)：f=f(x,y,z,R,v,C,r,)（7）由于该隐性方程的求解极其复杂，因此无法直接转换成塑性区边界解析式。可在三向应力 x、y、z以及巷道半径 R、泊松比 v、围岩黏聚力C 和内摩擦角都给定的情况下，通过数学软件 Maple 即可计算出巷道围岩的塑性区尺寸。2巷道塑性区尺寸及分布形态分析在一般的地质围岩环境中，巷道所受围压比值为 12，而在大埋深复杂地质构造带、高构造应力以及叠合采动应力影响下，巷道围压比值表现为非常规性，最大围压比值可高达 10 倍以上。为研究不2023年第10期煤炭科学技术第51卷14同应力场下圆孔的围岩塑性区尺寸及形态，此处设定水平侧压 1与轴向侧压 2分别为式(8)和式(9)，且由于篇幅有限仅研究深埋煤层条件，取巷道埋深为 800m 的应力环境，z=20MPa，黏聚力 C=2MPa，内摩擦角=30，泊松比 v=0.25，巷道半径为 2m。由于 x变化后的塑性区尺寸及形态与 z变化后旋转 90结果完全一致，因此仅讨论 x、y的变化对孔洞围岩塑性区尺寸及形态特征的影响。1=xz（8）2=yz（9）2.1水平侧压对巷道塑性区尺寸及形态影响2=10 MPa20 MPa=0.5为探究水平侧压 1对巷道塑性区尺寸及形态的影响，此处固定轴向应力 y=10MPa，即固定轴向侧压，将水平侧压 1从 0.3 增加至 1.8时对应的应力代入计算式(7)，得到不同 1情况下巷道帮部(坐标系 0)、翼角(45)、顶底板(90)处的塑性区尺寸，如图 2 所示。0.51.01.500.51.01.52.02.53.03.54.0塑性区深度/m塑性区深度/m塑性区深度/m侧压系数 10.51.01.5侧压系数 10.51.01.5侧压系数 1(a)巷道顶底板(b)巷道翼角(c)巷道两帮考虑 py不考虑 py考虑 py不考虑 py考虑 py不考虑 py应力敏感区01357246应力敏感区应力迟钝区0.51.01.52.02.53.03.54.0应力迟钝区应力敏感区应力迟钝区图2不同 1情况下巷道不同位置塑性区深度及分区Fig.2Sizeandpartitionofplasticzoneindifferentpositionofroadwayunderdifferent1分析图 2 可知：对于巷道顶底板而言，侧压系数 1在区间 0.3,1.3 时，塑性区变化范围较小，塑性区尺寸仅增加 0.69m，说明 x的增加引起的曲线斜率变化较小，称该区域为应力迟钝区。在该区域内，1为 0.4 时，顶底板不产生塑性区；1在区间1.3,1.8 时，塑性区变化范围较大，变化曲线呈指数型增长，塑性区尺寸增加 2.83m，最大塑性区尺寸达 3.54m。对于巷道翼角而言，1在区间 0.3,0.7 内处于应力敏感区，该区域内塑性区尺寸减少 3.89m；1在区间 0.7,1.3 内处于应力迟钝区，该区域内塑性区尺寸变化仅 0.03m，1=0.9 时翼角尺寸达到整个区域最小值 0.07m；1在区间 1.3,1.8 内处于应力敏感区，塑性区范围增加 5.90m，最大塑性区尺寸达 6.58m。对于巷道两帮而言，塑性区尺寸对 1的变化敏感性较差，在区间 0.3,1.8 内，塑性区仅变化 0.56m，1为 1.8 时，塑性区尺寸达最大值 1.17m。由式（7）可以看出，该隐式方程的求解在实际应用时较为困难。为使巷道围岩塑性区计算变得简单、快捷，采用 Python 开发了“巷道围岩塑性区求解软件”系统，系统界面如图 3 所示。基于已开发的塑性区求解软件，选取侧压系数1为 0.3、0.5、0.8、1.0、1.2、1.5 及 1.8 共 7 种情况，将对应的应力代入式(7)得不同水平侧压下的巷道塑性区形态如图 4、5 所示。由图 4 可以看出，当 1=0.3 时，巷道塑性区轮廓呈四象限突出，坐标轴处凹陷的蝶形形态，最大塑性区尺寸发生在象限角平分线附近；当 1增加至0.8 时，巷道塑性区最大塑性区半径发生在横轴，最小塑性区半径发生在纵轴，塑性区形态呈横椭圆形态；当 1为 1 时，圆孔各处塑性区半径一致，呈标准的圆形形态。由图 5 可知，当 1为 1.2 时，巷道最大塑性区半径在坐标纵轴，最小塑性区半径在坐标横轴，呈竖椭圆形态；随着 1的继续增大，最大塑性区半径开始由纵轴向纵轴两侧扩展，1为 1.5 时，塑性区形态呈类蝶形形态；当 1为 1.8 时，最大塑性区半径发生在角平分线附近，塑性区形态呈蝶形形态。从上述分析可以看出：1）固定轴向侧压 2的情况下，变化水平侧压 1时围岩顶底板及翼角处破坏会分区域出现应力敏感区和迟钝区，而围岩两帮的塑性区尺寸对 1变化的敏感程度较小。2）在 1从 0.3 增大至 1.8 的过程中，巷道塑性区形态会呈现蝶形椭圆圆形椭圆蝶形 3 种形态的演化过程。刘洪涛等：考虑轴向应力影响的圆形巷道围岩塑性区边界近似解2023年第10期152.2轴向侧压对巷道塑性区尺寸及形态影响为探究轴向侧压 2对巷道围岩塑性区尺寸及形态的影响，取水平侧压 1为 1、1.2、2 三种情况，对相同 1不同轴向侧压 2情况下的巷道塑性区尺寸及形态进行分析，具体分析方案详见表 1 所示。需要说明的是，在方案三中，2取 0.3、0.4、0.5 时，围岩产生的高偏应力过大，根据式(7)知，巷道周围已经产生完全破坏，因此不对该 3 种情况进行讨论。表 1 巷道塑性区分析方案Table 1 Analysis scheme of surrounding rock plastic zone方案x/MPaz/MPay/MPa12方案一20206、8、10，601.00.3、0.4、0.5，3方案二24206、8、10，601.20.3、0.4、0.5，3方案三402012、14、16，602.00.6、0.7、0.8，3将方案一中的 x、z代入平面应变问题下的塑性区边界方程式(4)，得到不同轴向侧压条件下巷道顶底板、帮部、翼角处塑性区尺寸如图 5 中红色线条所示，由于式(4)不考虑巷道轴向 y的影响，因此相同 x、z情况下，变化 2时巷道不同位置的塑性区尺寸均不会发生变化，因此红色线条恒为直线。将方案一中不同 2下的三向应力代入式(7)，得到不同轴向侧压 2情况下的塑性区尺寸，如图 6 中紫色线条所示。由图 6 可知：1=1 时，圆形孔洞顶底板、两帮以及翼角处的围岩塑性区尺寸随 2的增加变化趋势及数值完全一致，说明 1确定的情况下，2的变化会使围岩各个方向的塑性区等量增长。在区间0.51.5，两种方程计算下的塑性区尺寸均为 0.61m，说明该区域内 y的变化对圆孔的塑性区尺寸没有影响，笔者将该区域定义为轴向应力无影响区。在区间 0.30.5 以及 1.53.0 范围内，两种方程计算下的塑性区尺寸存在差异，笔者将该区域定义为轴向参数录入区绘图按钮操作区操作区域绘图保存图像显示区270315045不考虑轴向应力考虑轴向应力巷道位置9013518022512345 侧向水平应力/MPa轴向水平应力/MPa垂直应力/MPa巷道半径/m泊松比内摩擦角内聚力/MPa40582020.25302巷道围岩塑性区求解图3巷道围岩塑性区求解软件操作界面Fig.3Softwareoperationinterfaceforsolvingplasticzoneofroadwaysurroundingrock0306090120150180210240270300330012345671234567巷道塑性区半径/m 1=0.3 1=0.5 1=0.8 1=1.0巷道图411 时围岩塑性区形态演化规律Fig.4Evolutionlawofplasticzonemorphologyofsurround-ingrockwhen11030609012015018021024027030033002468100246810巷道塑性区半径/m 1=1.2 1=1.5 1=1.8巷道图511 时围岩塑性区形态演化规律Fig.5Evolutionlawofplasticzonemorphologyofsurround-ingrockwhen112023年第10期煤炭科学技术第51卷16应力影响区。在区间 0.30.5 内，塑性区尺寸呈负指数型下降，说明该区域塑性区尺寸对 y的变化十 分 敏 感，最 大 塑 性 区 尺 寸 达 2.03 m；在 区 间1.53.0 内，变化曲线呈指数型增长，最大塑性区尺寸达 3.89m。方案二中不同轴向侧压 2条件下的塑性区尺寸，如图 7 所示。由图 7 可知：1=1.2 时，随着 2的增加，圆形巷道顶底板、两帮以及翼角处的围岩塑性区尺寸的变化趋势均呈现强烈的区间效应。在区间0.30.5 内均为轴向应力影响区，塑性区尺寸曲线呈负指数型下降，最大塑性区尺寸分别为 6.39、2.67、4.95m。圆孔顶底板、两帮以及翼角处的轴向应力无影响区间分别为 0.51.8、0.51.6、0.51.7，该区间内塑性区尺寸分别恒定为 0.68、0.57、0.65m。巷道顶底板、两帮以及翼角处的第二次轴向应力影响区间分别为 1.83.0、1.63.0、1.73.0，在该区间内塑性区尺寸曲线斜率急剧增加，当 2=3 时，最大塑性区尺寸分别达 3.19、2.21、3.00m。(a)巷道顶底板(b)巷道翼角(c)巷道两帮考虑 py不考虑 py考虑 py不考虑 py考虑 py不考虑 py轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区塑性区范围/m0.51.01.5侧压系数 22.02.53.000.51.01.52.02.53.03210塑性区范围/m0.51.01.5侧压系数 22.02.53.00.51.01.52.02.53.0523410塑性区范围/m0.51.01.5侧压系数 22.02.53.010.51.01.52.02.53.083456720图7当 1=1.2 时不同 2情况下巷道不同位置塑性区尺寸及分区Fig.7Sizeandpartitionofplasticzoneatdifferentpositionsofroadwaywithdifferent2when1=1.2方案三中不同轴向侧压 2条件下的塑性区尺寸，如图 8 所示。由图 8 可知：1=2.0 时，巷道的顶底板、两帮以及翼角在 2的变化下均呈现强烈的区间效应。在区间 0.60.7 内均为轴向应力影响区，该区域内最大塑性区尺寸分别为 1.58、0.79、3.33m。巷道顶底板、两帮以及翼角处的轴向应力无影响区分别为 0.72.8、0.71.6、0.72.3，该区间内塑性区尺寸恒为 0.91、0.44、1.45m。巷道顶底板、两帮以及翼角处的第二次轴向应力影响区间分别为2.83.0、1.63.0、2.33.0，该区间内塑性区随 2的增加而不断增加，2=3 时的最大塑性区尺寸分别为 1.12、1.12、4.00m。在方案一和方案二中，选取轴向侧压 2为 0.3、1.5、3.0，在方案三中，选取 2为 0.6、1.5、3.0，将 3 种方案下 1、2所对应的应力代入式(7)，得到不同侧压系数条件下的巷道塑性区形态如图 9 所示。由图 9 可知，在固定 1=1 变化 2情况下，巷道围岩塑性区形态均为圆形形态，2值的增加仅仅带来塑性区尺寸的改变，而无形态的改变。同样，当1=1.2 变化 2情况下，巷道围岩塑性区形态为类“竖椭圆”形态。当 1=2 变化 2情况下，孔洞围岩的塑性区形态均为蝶形形态。从上述 3 种方案分析可以得到如下规律：固定 x、z变化轴向应力 y的过程中，巷道顶底板、两帮、翼角处的塑性区均随着 2的增加呈现强烈的区间效应，都会伴随 2的增加呈现轴向应力影塑性区范围/m(a)巷道顶底板(b)巷道翼角(c)巷道两帮考虑 py不考虑 py考虑 py不考虑 py考虑 py不考虑 py轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区0.51.01.5侧压系数 22.02.53.043210塑性区范围/m0.51.01.5侧压系数 22.02.53.043210塑性区范围/m0.51.01.5侧压系数 22.02.53.043210图6当 1=1 时不同 2情况下巷道不同位置塑性区尺寸及分区Fig.6Sizeandpartitionofplasticzoneindifferentpositionofroadwayunderdifferent2when1=1刘洪涛等：考虑轴向应力影响的圆形巷道围岩塑性区边界近似解2023年第10期17响区、轴向应力无影响区、轴向应力影响区 3 种区间效应。在轴向应力影响区间内，轴向侧压的增加或减少对围岩的塑性区尺寸影响都会很大。结合 2.1 的分析结果来看，巷道围岩的塑性区形态由水平侧压 1决定，轴向侧压 2对巷道围岩的塑性区形态影响较小，对尺寸影响较大。2.3数值模拟分析为进一步说明上述数学手段分析结果的合理性，采用有限差分软件 FLAC3D7.0 进行数值模拟分析。本文建立 X 轴、Y 轴、Z 轴长度分别为 40、0.8、40m的块体模型，采用放射状网格划分方式共生成单元格 101600 个，模型六面均采用位移约束，运算时间设置为自动求解，不平衡率达到 105时运算停止。本构模型采用 MohrCoulomb，具体岩层力学参数与上文数学分析采用的参数完全一致。由于篇幅有限，仅对上文中 2.1 节与 2.2 节的方案三进行模拟结果分析。数学分析与数值模拟的塑性区形态对比如图 10 所示。通过数学分析与数值模拟的塑性区特征对比图发现，2 种分析手段下的塑性区形态能够较好的吻合，在不同的水平侧压及轴向侧压条件下，巷道围岩塑性区的形态演化规律几乎完全一致，均呈现圆形、椭圆形与蝶形 3 种形态。计算顶底板、翼角及两帮的数据，与上文数学分析所得的数据对比图如图 11a、图 11b所示。为了得出数学与数值分析下不同位置塑性区尺寸变化的相关性，通过对比数学与数值模拟下不同位置的塑性区尺寸，采用拟合度 R2指标来衡量 2 种分析手段的相关程度。由图 11 可知，固定轴向侧压变化水平侧压的情况下，巷道两帮、翼角及顶底板的拟合度 R2分别为0.97、0.93、0.90；固定水平侧压变化轴向侧压的情况下，巷道两帮、翼角及顶底板的拟合度 R2分别为0.94、0.99、0.74。由相关性结果可以得出，6 组数据中前 5 组数据的拟合程度都在 0.9 之上，说明巷道顶底板、两帮、翼角位置，数学分析与数值模拟分析所得数据变化趋势基本一致。最后一组数据顶底板的相关性较低是由于数值模拟塑性区的计算取决于单元格大小，当两种 值所造成的破坏范围差值小于单位单元格时，数值模拟默认破坏范围一致，即数值模拟的网格依赖性问题，因此会出现部分 增加而斜率不变的情况。综合图 10 和图 11 中数值模拟与理论分析形态及尺寸结果对比来看，当巷道围岩塑性区形态为圆(a)巷道顶底板(b)巷道翼角(c)巷道两帮考虑 py不考虑 py考虑 py不考虑 py考虑 py不考虑 py轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区轴向应力影响区轴向应力影响区轴向应力无影响区塑性区范围/m0321050塑性区范围/m0.51.01.5侧压系数 22.02.53.023410.51.01.5侧压系数 22.02.53.02.00塑性区范围/m0.51.01.5侧压系数 22.02.53.01.01.50.5图8当 1=2 时不同 2情况下巷道不同位置塑性区尺寸及分区Fig.8Sizeandpartitionofplasticzoneatdifferentpositionsofroadwaywithdifferent2when1=203060901201501802102402703003301357913579巷道塑性区半径/m巷道塑性区半径/m巷道塑性区半径/m2=0.32=1.52=3.0巷 道0306090120150180210240270300330巷 道0306090120150180210240270300330巷道024681002468100246802468(a)1=1.0(b)1=1.2(b)1=2.0图9三种不同方案下塑性区形态演化规律Fig.9Morphologicalevolutionofplasticzoneunderthreedifferentschemes2023年第10期煤炭科学技术第51卷18形或椭圆形时，数值模拟与理论分析所得塑性区尺寸差值较小；当巷道为蝶形塑性区形态时，2 种计算结果的差值较大。这是由于数值模拟考虑了高偏应力场下应力动态调整过程中塑性区会进一步扩大的问题，而数学分析未能考虑该因素19。由此可以认为，在工程实践中，类似应力场条件下巷道围岩可能产生更大的破坏。综上分析可知，数学分析与数值模拟分析在塑性区尺寸变化趋势及形态演化规律上吻合程度较高，更进一步证明了数学算法的准确性。3巷道围岩塑性区稳定性因素分析从式(7)可以看出，巷道围岩塑性区尺寸除了会受到三向应力环境的影响之外，还会不同程度地受围岩黏聚力C、内摩擦角、巷道半径 R 以及泊松比 v 这几个因素的影响，因此本节在上述已讨论围1=0.41=0.51=0.61=0.81=1.01=1.21=1.41=1.61=1.71=1.8数学分析数值模拟水平侧压2=0.62=1.02=1.42=1.72=1.92=2.12=2.32=2.52=2.72=2.9数学分析数值模拟轴向侧压(a)不同 1下数学分析与数值模拟塑性区尺寸对比(b)不同 2 下数学分析与数值模拟塑性区尺寸对比shear-n shear-pshear-n shear-p tension-pshear-pshear-p tension-ptension-pshear-n shear-pshear-n shear-p tension-pshear-pshear-p tension-p图10数学分析与数值模拟塑性区形态对比分析Fig.10Mathematicalanalysisandnumericalsimulationofplasticzonemorphologycomparativeanalysis0.20.40.60.81.01.21.41.61.80.51.01 2 30 3 60 6120 2 40.20.40.60.81.01.21.41.61.80 2 4R2=0.93R2=0.90R2=0.94R2=0.99R2=0.74水平侧压 1水平侧压 1轴向侧压 2轴向侧压 2R2=0.97 0.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.00.51.00 2 42 43 6 91.01.50.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.62.83.034数学分析两帮/m数学分析翼角/m数学分析顶底板/m数学分析两帮/m数学分析翼角/m数学分析顶底板/m数值模拟两帮/m数值模拟翼角/m数值模拟顶底板/m数值模拟两帮/m数值模拟翼角/m(a)不同 1下数学分析与数值模拟塑性区尺寸对比(b)不同 2 下数学分析与数值模拟塑性区尺寸对比数值模拟顶底板/m图11数学分析与数值模拟塑性区尺寸对比分析Fig.11Mathematicalanalysisandnumericalsimulationofplasticzonesizecomparativeanalysis刘洪涛等：考虑轴向应力影响的圆形巷道围岩塑性区边界近似解2023年第10期19岩应力对围岩稳定性影响的基础上，分析 C、R、四个参数对巷道围岩稳定性的影响规律。3.1黏聚力C对巷道围岩稳定性的影响为分析黏聚力 C 对巷道围岩稳定性的影响，设定 x=40MPa，y=12MPa，z=20MPa，=30，v=0.25，R=2m，分别将 C 为 1.5,2.0,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5,5.0MPa 代入式(7)，得不同黏聚力时的围岩顶底板、翼角