附录平面图形几何性质.pptx

附录附录 截面的几何性质截面的几何性质(Appendix Properties of Plane Areas)1-1 1-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心截面的静矩和形心截面的静矩和形心(the first moments of the area(the first moments of the area&centroid of an area)&centroid of an area)1-4 1-4 转轴公式转轴公式转轴公式转轴公式 (rotation of axes)(rotation of axes)1-2 1-2 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩惯性矩惯性矩 惯性积惯性积惯性积惯性积 (Polar moment of inertia(Polar moment of inertia、Moment of inertiaMoment of inertia、product of inertia)product of inertia)1-3 1-3 平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式 (Parallel-Axis Theorem)(Parallel-Axis Theorem)oyz 1-1 1-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心截面的静矩和形心截面的静矩和形心 (the first moment of(the first moment of the area&centroid of an area)the area&centroid of an area)一、静矩一、静矩一、静矩一、静矩(the first moment of the area(the first moment of the area）dAyz截面对截面对截面对截面对 y,x y,x 轴的静矩为轴的静矩为轴的静矩为轴的静矩为：(常用单位：常用单位：m m3 3 或或mmmm3 3 。值：可为正、负或。值：可为正、负或 0 0。）。）yzo dA yzyc二、截面的形心二、截面的形心二、截面的形心二、截面的形心（centroid of an centroid of an area)area)yzo dA yzyc截面对形心轴的静矩等于零。截面对形心轴的静矩等于零。截面对形心轴的静矩等于零。截面对形心轴的静矩等于零。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。三、三、三、三、组合截面的静矩和形心组合截面的静矩和形心组合截面的静矩和形心组合截面的静矩和形心(the first moments&centroid of a(the first moments&centroid of a composite area)composite area)由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静矩。截面对于同一轴的静矩。截面对于同一轴的静矩。截面对于同一轴的静矩。其中：其中：Ai 第第 i个简单截面面积个简单截面面积 第第 i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标1、组合截面静矩、组合截面静矩(the first moments of a composite area)(the first moments of a composite area)2、组合截面形心组合截面形心(centroid of a composite area)(centroid of a composite area)：例例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴轴的静矩。的静矩。解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，所以对所以对x轴的静矩为轴的静矩为Oxyb(y)yd yhb1010120o解：组合图形，用正负面积法解之。解：组合图形，用正负面积法解之。1、用正面积法求解。将截面分为、用正面积法求解。将截面分为 1，2 两个矩形。两个矩形。12zy例例 1 试确定图示截面形心试确定图示截面形心 C 的位置的位置。取取 x 轴和轴和 y 轴分别与截面轴分别与截面的底边和左边缘重合的底边和左边缘重合901010120o12zy90矩形矩形矩形矩形 1 1矩形矩形矩形矩形 2 21010120o12zy90所以所以所以所以1010120o12zy802.2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)(b)图图图图(b)(b)C C1 1（0,00,0）C C2 2（5,55,5）C2负面积负面积负面积负面积C1y yz 1-2 极惯性矩极惯性矩、惯性矩惯性矩 、惯性积惯性积(Polar moment of inertia、Moment of inertia、product of inertia)yz0dAyz 2、极惯性矩、极惯性矩(Polar moment of inertia）1、惯性矩、惯性矩(Moment of inertia)（为正值，单位（为正值，单位m4 或或 mm4)I =IZ+Iy所以所以所以所以 yz0dAyz 3 3、惯性积、惯性积、惯性积、惯性积 (product of inertia)(product of inertia)（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）（其值可为正、负或（其值可为正、负或0，单位，单位:m4 或或 mm4)惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。也可能等于零。若若 y,z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对 y,z 轴的轴的惯性积一定等于零。惯性积一定等于零。yzdydyzdAdA4 4、惯性半径、惯性半径、惯性半径、惯性半径(radius of gyration of the area)(radius of gyration of the area)（单位（单位m 或或 mm）对圆截面，对圆截面，d A =b d zd A =b d z解解解解：bhyzCzd z例例 2 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴 y,z 轴的惯性矩。轴的惯性矩。若截面是高度为若截面是高度为h的平行的平行四边形（图四边形（图b），则其对形心），则其对形心轴轴x 的的惯性矩惯性矩同样为同样为hxyb(b)Czyd所以所以所以所以解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O O 的极惯性矩为的极惯性矩为的极惯性矩为的极惯性矩为 例例例例 3 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 设有面积为设有面积为A的任意形状的截面。的任意形状的截面。C为为其其形形心心，Cxcyc为为形形心心坐坐标标系系。与与该该形形心心坐坐标标轴轴分分别别平平行行的的任任意意坐坐标标系系为为Oxy,形形心心C在在在在Oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(a,b)任任意意微微面面元元dA在在两两坐坐标标系系下的坐标关系为：下的坐标关系为：aycyxcxCObdAxcycyx同理，有：同理，有：（此为此为平行移轴公式平行移轴公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。等号右边各首项为相对于形心轴的量。2.2.组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 根据根据惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积的定义易得的定义易得组合截面对于某组合截面对于某轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一等于其各组成部分对于同一轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）之和之和：例：求图示直径为例：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴xc的的惯性矩。惯性矩。解：解：（1）求形心坐标）求形心坐标xyb(y)ycCdxc（2）求对形心轴）求对形心轴xc的的惯性矩惯性矩由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：xyb(y)ycCdxc例例 3-1 求求T形截面对其形心轴形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。解：将截面分成两个矩形截面。2014010020y截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 zc 上。上。取过矩形取过矩形 2 的形心且平行于底边的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作的轴作为参考轴记作 y 轴轴 。21zcyc2014010020所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为y21zcyc2014010020y21zcyc例：试求图例：试求图a 所示截面对于对称轴所示截面对于对称轴x的的惯性矩。惯性矩。解：将截面看作一个矩形和解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。两个半圆组成。（1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯性矩：（2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形心轴心轴xc的的惯性矩（见上例）惯性矩（见上例）xyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3p（3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩：由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：（4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：惯性矩：-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩1.1.惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 任意面元任意面元dA 在旧坐标系在旧坐标系oxy和新坐标系和新坐标系ox1y1的关系为：的关系为：代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：xyOxyxy11ABCDEdAxy11 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得转轴公式转轴公式：注：注：上式中的上式中的 的符号为：从旧轴的符号为：从旧轴x至新轴至新轴x1逆时逆时针为正，顺时针为负。针为正，顺时针为负。（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对（上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩并等于截面对该坐标原点的极惯性矩 ）将前两式相加得将前两式相加得 由由惯惯性性积积的的转转轴轴公公式式可可知知，当当坐坐标标轴轴旋旋转转时时，惯惯性性积积将将随随着着 角角作作周周期期性性变变化化，且且有有正正有有负负。因因此此，必必有有一一特特定定的的角角度度 0，使使截截面面对对于于新新坐坐标标轴轴x0、y0的的惯性积等于零。惯性积等于零。2.2.截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴主惯性轴:截面对其惯性积等于截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。的一对坐标轴。(2)主惯性矩主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。形心重合时。(4)形心主惯性矩形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。(5)确定确定主惯性轴主惯性轴的位置的位置 设设 0 0是旧轴是旧轴x 逆时针转向逆时针转向主惯性主惯性轴轴x0的角度，则的角度，则由由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得可改写为可改写为（注：将负号置于分子上有利于确定（注：将负号置于分子上有利于确定2 0 0角的象限）角的象限）(5)由上面由上面tan2 0的表达式求出的表达式求出cos2 0、sin2 0后，后，再代入再代入惯性矩的转轴公式惯性矩的转轴公式，化简后可得，化简后可得主惯性矩的主惯性矩的计算公式：计算公式：极大值Imax极小值Imin(6)几个结论几个结论若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主主惯性轴之一，另一惯性轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。并与对称轴垂直的轴。若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形截面有二根对称轴，则此二轴即为形心心主惯性轴。主惯性轴。若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。101012070例例例例 4-1 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。计算所示图形的形心主惯性矩。计算所示图形的形心主惯性矩。计算所示图形的形心主惯性矩。解：该图形形心解：该图形形心解：该图形形心解：该图形形心 c c 的位置已确定的位置已确定的位置已确定的位置已确定,如图所示。如图所示。如图所示。如图所示。过形心过形心过形心过形心 c c 选一对座标轴选一对座标轴选一对座标轴选一对座标轴 y,z y,z 轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩(积积积积)。c4020yz101012080 c4020yz20152535101012080 c4020yz20152535101012080 c4020yz20152535101012080 c4020yz20152535在第三象限在第三象限在第三象限在第三象限形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴 y y0 0 ,z,z0 0 分别由分别由分别由分别由 y y 轴和轴和轴和轴和 z z轴绕轴绕轴绕轴绕 c c 点点点点逆时针转逆时针转逆时针转逆时针转 113.8113.80 0 得出。得出。得出。得出。101012070形心主惯形矩为形心主惯形矩为形心主惯形矩为形心主惯形矩为 c4020yzyc00=113.80例例例例3 3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)(b=1.5d)解：解：解：解：建立坐标系如图。建立坐标系如图。建立坐标系如图。建立坐标系如图。求形心位置。求形心位置。求形心位置。求形心位置。建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：I Iycyc，I Izczc ，I I yczcyczc db2dyzOyCzCy1db2dyzOyCzCy1