考虑重流体耦合效应的双层板-腔结构振动与声辐射分析.pdf

Vol 43 No.5Oct.2023噪声与振动控制NOISEANDVIBRATIONCONTROL第43卷 第5期2023年10月文章编号：1006-1355(2023)05-0001-07+101考虑重流体耦合效应的双层板-腔结构振动与声辐射分析李清盛1，李天匀1,2,3，朱翔1,2,3，张帅1，聂睿1（1.华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074；2.上海交通大学 高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海 200240；3.华中科技大学 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，武汉 430074）摘 要：考虑半空间声场内重流体的声振耦合效应，对有限大双层板-腔结构的振动与声辐射特性进行研究。采用改进傅里叶级数描述薄板位移和腔内声压，通过Rayleigh积分建立辐射板表面辐射声压和辐射板位移的关系，基于Hamilton原理，提出采用Rayleigh-Ritz法分析耦合系统声振特性的半解析方法，并通过和有限元结果对比验证方法的收敛性和准确性。分析单位简谐力激励下，声腔厚度和腔内流体介质对双层板-腔结构声辐射特性的影响。结果表明：重流体的耦合效应使薄板（奇，奇）模态振型显著变化，声腔较薄时声辐射对声腔厚度变化较敏感。相较于腔内流体声速，腔内流体密度对声辐射有较大影响。关键词：振动与波；双层板；板-腔结构；声振耦合；声辐射；傅里叶里兹法中图分类号：TB532文献标志码：ADOI编码：10.3969/j.issn.1006-1355.2023.05.001Vibration and Sound RadiationAnalysis of a DoublePanel-Cavity Structures Considering Heavy Fluid Coupling EffectLI Qingsheng1,LI Tianyun1,2,3,ZHU Xiang1,2,3,ZHANG Shuai1,NIE Rui1(1.School of NavalArchitecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China;2.Collaborative Innovation Center forAdvanced Ship and Deep-Sea Exploration,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China;3.Hubei Key Laboratory of NavalArchitecture and Ocean Engineering Hydrodynamics,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)Abstract:Vibro-acoustic behavior of a double panel-cavity structure is analyzed considering the vibro-acousticcoupling effect of heavy fluid in semi-space.The panel displacement function and the cavity sound pressure function areexpresses by means of the modified Fourier series.The relation between the radiation sound pressure on the surface of theradiation panel and the displacement of the radiation panel is established by Rayleigh integral.Based on Hamilton principle,a semi-analytical approach for analyzing the vibro-acoustic characteristics of the coupled system is established by Rayleigh-Ritz method.And the convergence and accuracy of this method are verified by comparing its result with the finite elementresults.Under the excitation of unit simple harmonic force,the effects of cavity thickness and fluid medium on the acousticradiation characteristics of the underwater doubl layer panel-cavity model are analyzed.The results show that the couplingeffect of heavy fluid makes the modal shape of the panel change significantly,and the thickness change has a great influenceon the sound radiation for the thin sound cavity.The fluid density in the cavity has a greater influence on the sound radiationthan the sound velocity of the fluid.Key words:vibration and wave;double-panel;panel-cavity structure;vibro-acoustic coupling;sound radiation;Fourier-Ritz method收稿日期：20220228基金项目：国家自然科学基金资助项目（51839005，51879113）作者简介：李清盛（1997），男，湖北省黄冈市人，硕士研究生，专业方向为结构振动与噪声控制。E-mail:hust_通信作者：李天匀（1969），男，湖北省黄陂市人，博士生导师，专业方向为结构振动与噪声控制。第43卷噪声与振动控制双层板结构由于其优良的力学性能和声学性能，成为各种水面、水下设备中的典型结构，双层板之间的腔内一般含有水、油等重流体介质，外板也在水域环境中，内外弹性板振动时会和腔内流体、辐射板外流体产生复杂的强声振耦合效应，是影响设备远场声辐射特性的重要因素，因此研究双层板-腔结构强声振耦合下的声辐射特性对设备的减振降噪、隐身性能提升有重要意义。迄今为止，国内外学者对弹性板-声腔耦合振动问题进行了大量的研究，研究对象主要可以分为背腔-板系统和双层板-腔系统两类。对于背腔-板系统的研究最早可追溯到1963年，Dowell和Voss1基于傅里叶级数研究了空气背腔对飞机壁板的影响，指出背腔的刚度效应主要影响板的基模态，质量效应主要影响板的反对称模态。之后一系列学者对空气背腔-板系统进行了广泛的研究24，主要发展了模态耦合理论和声学格林函数法，然而Pan和Bies5指出，当声腔和弹性板耦合较强（声腔较薄或腔内流体密度较大）时，两种方法均存在较大的偏差，陈美霞等6研究圆柱形水背腔圆板的振动时，用圆板真空振型作为结构位移级数的基函数，结果也表明，圆板边界为简支和固支时，结构振型受声腔影响较大，固有频率有较大的误差。Du等7和Kong等8采用改进的傅里叶级数描述结构位移和声压函数，对于背腔-板强耦合问题得到了较准确的结果。有限大双层板问题的研究主要集中在其在声激励下的隔声特性，Xin等910采用结构模态展开的方法研究了有限大矩形双板的声振耦合性能，并探讨了夹层厚度、入射波方位角等因素对其隔声量的影响。靳国永等11基于声辐射模态理论，建立了双层板-腔结构的声传输系统及模态辐射控制分析模型，有效控制了辐射板的声功率。Shi等12基于改进的傅里叶级数，研究了声腔四周为任意阻抗边界条件下的双层板声振耦合特性，并探讨了声腔厚度、腔内媒质、四周阻抗等因素的影响。宁少武13提出夹层声场声压的横向模态展开法和声波导模态展开法，并比较了两者在计算双层板结构传声损失及夹层声压分布上的差异。值得指出的是，上述文献中腔内流体和辐射域流体大部分都是空气，很少考虑流体对结构振型的影响，鲜有文献研究力激励下，辐射板内外均为水等重流体时有限大双层板的声辐射特性。本文充分考虑辐射板内外重流体的声振耦合效应，建立了有限大双层板-腔的声振模型。采用二维改进傅里叶级数描述薄板位移，采用三维改进傅里叶级数描述腔内声压，并通过Rayleigh积分建立辐射板表面声压和辐射板位移的关系，最终基于Hamilton原理，用Rayleigh-Ritz法得到了耦合系统的动力学模型。通过与有限元法结果的比较，验证了本文方法的收敛性和准确性，同时分析了单位简谐力激励下，声腔厚度和腔内流体介质对双层板-腔结构声辐射特性的影响。1理论分析1.1 模型描述本文的研究对象为有限大双层板-腔结构，其声辐射模型如图1所示，由上下两块参数相同的弹性薄板SP、板间封闭声腔VF1和半无限流域VF2组成，简谐点力F作用在激励板的(xF,yF,d)处，激励板在激励下振动，并通过封闭声腔将振动传递给镶嵌在无限大刚性障板SH中的辐射板，进而向半无限流域辐射声波。薄板的尺寸为a b h，密度为P，弹性模量为E，泊松比为，其弹性边界的位移刚度和转角刚度分别为k、K，控制弹簧的刚度可以模拟各种经典边界。流体域VF1、VF2的密度和声速分别为F1、F2和cF1、cF2，其中声腔VF1的尺寸为a b d，四周边界阻抗为zF。图 1 有限大双层板-腔结构1.2 薄板位移和腔内声压的级数表示假设薄板中面的垂向位移为：w=rx=1Rxry=1RyArxryfrx(x)gry(y)eit=ATeit(1)其中：Rx、Ry为位移函数的截断项数，各项位移函数的待定系数组成的系数列向量为A，frx(x)、gry(y)分别是沿着x和y方向的正交函数，组成的函数列向量为，eit为简谐时间因子，以下分析中将略去。在结构振动问题的研究中，改进的傅里叶级数由于适用于各种复杂的边界条件，且具有良好的准确性和快速的收敛性，得到了大量的应用1417，本文薄板中面位移选用文献14中的级数形式。假设腔内声压为：p=mx=0Mxmy=0Mymz=0MzBmxmymzhmx(x)my(y)hmx(x)=BT(2)其中：Mx、My、Mz为声压函数的截断项数，hmx(x)、my(y)、hmx(x)分别是x、y、z方向上的正交函数，各项函数的待定系数组成的系数列向量为B，各项声压函数组成的函数列向量为V。2第5期对于阻抗边界的矩形声腔和弹性薄板耦合的振动问题，用三维改进傅里叶级数表示声压能有效克服其在边界上各空间导数的不连续性，使耦合问题能得到有效收敛，本文选用文献12中的声压级数形式。约定以z、V的下标表示函数向量的偏导数，如：x=x,xx=2x2,x=x,xx=2x2(3)1.3 耦合系统的拉格朗日能量泛函图1所示耦合系统中辐射板的拉格朗日能量泛函成分比激励板更复杂，以辐射板为例，分析耦合系统中弹性板的拉格朗日能量泛函，其形式为：LbotPanel=VbotPanel+UbotPanel-TbotPanel-WbotPanelFluid-WRad(4)其中上标：bot表示辐射板，VbotPanel为辐射板弹性边界的弹性势能，UbotPanel为辐射板的应变势能，TbotPanel为辐射板的动能，WbotPanelFluid为腔内流体对辐射板做的功，WRad辐射声压对辐射板做的功。薄板弹性边界的弹性势能为：VbotPanel=12lP()kw2+K()wn2dl=12(Abot)TlP(kT+KnTn)dl Abot(5)其中：lP表示辐射板的边界。由基尔霍夫薄板理论可知，薄板的应变势能和动能分别为：UbotPanel=12DSP ()2wx22+()2wy22+2wx22wy2+2wy22wx2+2()1-()2wxy2dS=12D(Abot)T()SP()xxTxx+yyTyy+xxTyy+yyTxx+2()1-xyTxydSAbot(6)TbotPanel=12Ph2SPw2dS=12Ph2(Abot)T()SPTdS Abot(7)其中：D=Eh3/()12(1-2)为薄板的弯曲刚度。腔内流体对辐射板做的功为：WbotPanelFluid=SPwpdS=BT()SP|Tz=0dS Abot=(Abot)T()SP|Tz=0dS B(8)辐射板置于无限大刚性障板中向半无限大流域辐射声波，建立如图 2 所示的局部坐标系，由Rayleigh积分可得辐射板辐射表面的声压为：pRad=-F222SPw(x,y)e-ikrrrdrd=-F222(Abot)TSP(x,y)e-ikrdrd=-F222(Abot)T(9)其中：k=/cF2，为半无限流域的波数，为辐射板辐射表面声压的基函数向量，将薄板分成如图2所示的4块区域，通过10点Gauss积分即可得到关于的表达式。辐射声压对薄板做功为：WRad=-SPwpRaddS=F222(Abot)T()SPTdS Abot(10)图 2 局部极坐标系下的积分区间同理可得激励板的拉格朗日能量泛函，其中简谐力F做的功为：WF=(Atop)T(xF,yF)(11)其余项推导过程与辐射板一致，不再赘述。矩形封闭声腔的拉格朗日能量泛函为：LFluid=UFluid-TFluid-WZ-WbotFluidPanel-WtopFluidPanel(12)其中：UFluid表示封闭声腔的势能，TFluid表示封闭声腔的动能，WZ表示封闭声腔的阻抗边界做功，WbotFluidPanel、WtopFluidPanel分别表示辐射板和激励板对声腔做的功。封闭声腔的势能和动能分别为：UFluid=12F1c2F1VF1p2dV=12F1c2F1BT()VF1TdV B(13)TFluid=12F12VF1()gradp2dV=12F12BT()VF1()xTx+yTy+zTzdV B(14)阻抗边界做功为：WZ=-12SFp2izFdS=-12izFBT()SFTdS B(15)其中：SF表示封闭声腔的四周边界。根据牛顿第三定律可知：考虑重流体耦合效应的双层板-腔结构振动与声辐射分析3第43卷噪声与振动控制WtopPanelFluid=-BT()SP|Tz=ddS AtopWbotPanelFluid=BT()SP|Tz=0dS Abot(16)1.4 耦合系统求解将上述各部分的能量表达式分别代入各自的拉格朗日能量泛函中，并根据Rayleigh-Ritz法，各部分的能量泛函应满足：LtopPanelAtop=0,LbotPanelAtop=0,LFluidB=0(17)联立上述各式，可得耦合系统的控制方程为：KtopP-2MtopP0-Rtop0KbotP-2MbotP-2MRadRbot-2F1c2F1()RtopT2F1c2F1()RbotTKF-ZF-2MFAtopAbotB=(xF,yF)00(18)其中：KP、MP分别为薄板的刚度矩阵和质量矩阵，KF、ZF、MF分别为封闭声腔的刚度矩阵、边界阻抗矩阵和质量矩阵，Rtop、Rbot分别为上辐射板和封闭声腔的耦合矩阵，MRad为辐射板的辐射阻抗矩阵。求解方程式（20）即可得到该耦合系统的响应，将响应向量Abot代入式（11）即求得辐射板辐射表面的声压，并通过瑞利积分得到远场的声压。1.5 声辐射的特性指标辐射板的声辐射功率为：Rad=12ReSPuRadpRaddS(19)其中：u*Rad为辐射板振速的共轭，解得响应系数向量后将式（2）、式（11）代入式(19)中可得：Rad=-32Re()iAbotHMRadAbot(20)辐射板的均方振速为：|u2=1SPSPuudS=2PhSP(Abot)HMbotPAbot(21)其中上标：“H”表示共轭转置。辐射板的辐射效率为：=1F2cF2SPRad|u2(22)2数值验证和结果分析2.1 数值验证为验证本文方法的收敛性和准确性，对本文的半 解 析 方 法 进 行 收 敛 性 分 析，并 基 于 ComsolMultiphysics建立相应的有限元模型对本文结果进行验证。模型参数如下：上下薄板尺寸a b h=2.0m 1.5m 0.02m，薄板密度P=7850kg/m3，弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3，声腔尺寸a b d=2.0m 1.5m 0.5m，腔 内 流 体 密 度F1=1 025kg/m3，声速cF1=1500m/s，半无限域流体密度F2=1025kg/m3，声速cF2=1500m/s，简谐力作用点为(0.9m,0.7m,0.5m)。上下薄板的四周边界均为简支，经试算发现取边界位移刚度k=1 1012N/m2、边界转角刚度K=0N/rad能对其很好模拟，封闭声腔四周边界为声学硬边界，取边界阻抗为很大的纯虚数zF=i 1 1015时能对其很好模拟。振速级的基准 为u0=1 10-9m/s，声 压 级 的 基 准 为p0=110-6Pa。为了说明本文方法的收敛性，计算上述模型在激励力频率为20 Hz、50 Hz、80 Hz时辐射板均方振速随截断项数的变化，结果如图3所示，其中图3(a)为Rx=Ry=12时，辐射板均方振速随Mx=My=Mz=M的变化曲线，图3(b)为Mx=My=Mz=12时，辐射板均方振速随Rx=Ry=R的变化曲线，可见随着截断项数的增加，辐射板均方振速很快收敛，激励力频率在100 Hz以内时，取M=R=12满足收敛要求。在上述截断项数下，耦合系统在0100 Hz内的固有频率和有限元结果对比如表1所示，前9阶固有频率的误差均在 0.5%以内；激励力频率为 0100 Hz 时，辐射板的均方振速和半无限域场点(1m,0.75m,-1000m)处的声压与有限元结果的对比如图4所示，可见根据本文方法计算耦合系统自由振动和受迫振动所得的结果和有限元结果基本一致，验证了本文方法的准确性。若无特殊说明，以下计算中截断项数不变。由于半无限域的存在，FEM需要对流域进行截断并设置 PML（Perfect MatchLayer）层，在配置为28核心Interl Core i9-10940 X、表 1 耦合系统固有频率结果对比/Hz阶数本文有限元误差/(%)115.56915.5200.32222.92322.9000.10338.56638.5030.16439.22139.1620.15557.65557.5340.21659.94059.8800.10761.71661.5950.20880.51880.4300.11983.64883.4850.204第5期主频3.30 GHz、64 G内存的PC上，有限元模型求解自由度为795 640时，200个频率点的响应计算需要大约 140 min，上述截断项数下本文的方法仅需 6min，节省了大量的计算时间。2.2 声辐射特性分析壳体的声辐射特性和壳体的振动模态有紧密的联系，尤其对于矩形薄板，由于模态振型的规整性，其远场声辐射特性常常能用声多极子理论解释。计算在上一小节参数条件下系统的声辐射功率和声辐射效率如图5示，对比图4图5的均方振速、场点声压、声辐射功率和声辐射效率曲线，其峰值点出现的位置都是系统100 Hz内的固有频率处，但只有均方振速曲线峰值点对应了所有的固有频率，其余曲线的峰值点都只对应部分固有频率。均方振速是结构受迫振动时响应的直接体现，其峰值点必然对应所有的固有频率。图4(b)中的场点声压只有3个峰值点，原因是场点在辐射板中心的正下方，根据声多极子理论，(m,n)模态中m或n为偶数时，辐射板的左右部分振动或上下部分振动在p点引起的声压反相，因此该场点处的声压只有图 5 验证算例的声辐射功率和声辐射效率（奇，奇）模态时才有峰值，这3个峰值点对应的辐射板模态振型分别如图6所示，相比于真空中四边简支矩形薄板的振型，重流体的流固耦合作用使辐射板的（奇，奇）模态振型发生了显著的变化。从图5可以看出，辐射板100 Hz内的3个（奇，奇）模态分别对应声辐射功率曲线的A、B、C3个主峰值点，其余模态分别对应声辐射效率曲线的谷值点。相对（奇，奇）模态，其余模态的辐射效率较低，(a)Rx=Ry=12(b)Mx=My=Mz=12图 3 辐射板均方振速收敛性分析(a)均方振速结果对比(b)场点声压结果对比图4本文方法和有限元法的结果对比考虑重流体耦合效应的双层板-腔结构振动与声辐射分析5第43卷噪声与振动控制图 6 振型对比因此对应声辐射功率曲线中的次峰值点，甚至声辐射功率曲线没有对应这些固有频率处的峰值点，这一规律与障板上简支矩形薄板的声辐射特性一致18。可见声辐射功率和声辐射效率共同反映系统的特性，且声辐射功率以辐射板的（奇，奇）模态为主，因此更不能忽略薄板（奇，奇）模态振型的变化。为说明半无限域内重流体的强声振耦合效应对系统声振性能的影响，将半无限域流体介质改为空气，空气的密度和声速分别为1.21 kg/m3、340 m/s，模型的其余参数保持不变，计算得到半无限域流体介质为空气时辐射板的声辐射功率，和半无限流域流体介质为水时的结果对比如图7所示。从图7可以看出，相对于空气的弱耦合作用，水的强耦合作用使得峰值频率明显往低频方向偏移，且峰值频率外的声辐射功率明显增大，100 Hz内的总级增大了约10.34 dB，因此有必要考虑半无限域重流体的强声振耦合效应。2.3 声腔厚度对声辐射的影响为探究声腔厚度对系统声辐射特性的影响，改变声腔的厚度，其余各项参数与验证算例保持一致，计算可得辐射板的声辐射功率主峰的频率和峰值如图 7 流体介质不同时半无限域的声辐射功率对比图8所示。可见声辐射功率的第一、三主峰频率均随声腔厚度增大单调递减，其峰值单调递增；第二主峰频率随声腔厚度增大单调递增，其峰值单调递减。d0.5 m时，第二、第三主峰频率对厚度的变化较为敏感，随着声腔厚度的增加，第二主峰频率趋于不变，在d=1.25 m时达到最大值。d0.48 m时第三主峰的峰值最大。2.4 腔内流体介质对声辐射的影响在实际的双层结构中，腔内常常有滑油、燃油、水等不同的流体介质，为探究腔内流体介质对双层板-腔结构声辐射特性的影响，分别改变腔内流体的声速和密度，其余参数与验证算例保持一致，计算结果如图9、图10所示。图9为保持腔内流体的密度为1 025 kg/m3时腔内流体声速对声辐射功率主峰的影响，可见声辐射功率的第一、二、三主峰频率均随腔内流体声速增大单调递增，第一、三主峰峰值单调递增，第二主峰峰值单调递减，且cF11 000 m/s后，3个主峰的频率和峰值基本不随腔内流体声速变化而变化。由于常见液体的声速一般均大于1 000 m/s，图10中的4种流体介质可分别代表轻质油、海水、重质(a)声腔厚度对主峰频率的影响(b)声腔厚度对主峰峰值的影响图 8 声腔厚度对辐射声功率主峰的影响6第5期图 10 腔内介质密度的影响油和空气，可见系统声辐射功率主共振峰随密度的增大往低频方向移动，峰值变小，显然这是腔内流体的质量效应引起的。另外腔内为空气时，其声辐射功率整体上比腔内为油等液体时小大约30 dB，但第二阶主峰较为突出，腔内为空气时需着重关注该模态处的声辐射特性。3结 语本文基于能量法，充分考虑薄板与腔内流体、辐射域流体的强耦合作用，采用改进的傅里叶级数创建了分析双层板-腔结构振动及声辐射特性的半解析方法，和有限元法的结果对比验证了本文方法的收敛性和准确性，并对比分析了简谐激励下声腔厚度、腔内流体介质对双层板-腔结构声辐射特性的影响，综合全文得到以下结论：（1）相对真空中的薄板振型，腔内外重流体的流固耦合作用使辐射板的振型发生了显著的变化，薄板振型的改变不能忽略；（2）（奇，奇）模态是双层板-腔结构声辐射的主导模态，其余模态的声辐射效率远小于（奇，奇）模态，声辐射功率曲线在（奇，奇）模态频率处为主峰值点，其余模态频率处为次峰值点，甚至没有其余模态固有频率处的峰值点；（3）声腔的厚度较薄时，声辐射功率主峰频率随声腔厚度变化较敏感，在达到一定厚度之后，主峰频率变化很小，声腔厚度主要影响主峰的峰值；（4）腔内流体声速大于1 000 m/s后，声辐射功率基本不受腔内流体声速影响，相对于声速，腔内流体密度是影响双层板-腔结构声辐射的主要因素。参考文献：1DOWELL E H,VOSS H M.The effect of a cavity onpanel vibrationJ.AIAAJournal,1963,1(2):476-477.2FAHY F,KALNINS A.Sound and structural vibrationradiation,transmission,and response by Frank 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