大一上学期微积分复习资料.doc

10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导

第一章 函数
一．本章重点
复合函数及分解，初等函数的概念。
二．复习要求
1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中
⑴. 对于对数函数不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：
⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.
4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、 知道分段函数，隐函数的概念。
. 三．例题选解
例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？
⑴.
⑵.
分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。
解：
⑴.⑵.
例2. 的定义域、值域各是什么？＝？
答：
是
的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知的定义域是，值域为.

四．练习题及参考答案
1.
则f(x)定义域为 ，值域为
f(1) = ； .
2.
则f(x)定义域为 ，值域为
f(1) = ； .

3.分解下列函数为简单函数的复合：
⑴.
⑵.
答案：
1.（-∞ +∞）, ,
2.
.3. ⑴.
⑵.
自我复习：习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶；
习题一.（B）.11.

第二章 极限与连续
一．本章重点
极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。
二．复习要求
1．了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。
2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：

3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：
当à0时,有：
～； ～
～;
～;
～
～.…….
（参见教材P79）

4.掌握两个重要极限:
(Ⅰ).
(Ⅱ).
记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限：

5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即：

当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是：
.
6. 掌握函数间断点及类型的判定。
函数的不连续点称为间断点，函数在点间断，必至少有下列三种情况之一发生：
⑴、在点无定义；
⑵、不存在；
⑶、存在，但.
若为的间断点，当及都存在时，称为的第一类间断点，特别＝时（即存在时），称为的可去间断点；
时称为的跳跃间断点。
不是第一类间断点的都称为第二类间断点。
7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。
8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。

三.例题选解

例1.单项选择题
⑴下列极限中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
⑵ 当时，是的
（ ）
A.低阶无穷小； B.高阶无穷小；
C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；
D. 等价无穷小；
分析与解：
⑴． A与 C显然都不对，对于D,
记，
则
∴

即D也不对，剩下的B就是正确答案。
⑵． 由于

∴ 应选择D.
例3.求极限：
⑴
⑵

解: ⑴ 此极限为型
∵当时，有
～, ～
∴
⑵ 此极限为型，可用重要极限。
＝

.
例2．判断函数 的间断点，并判断其类型。
解：由于
∴是函数y 无定义的点，因而是函数y 的间断点。
∵
∴ 为函数 y 的可去间断点；
∵
∴ 为函数 y 的第二类（无穷型）间断。

例3．函数

在点处连续，求常数k .
分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此在连续的充要条件是

∵ ∴

四.练习题及参考答案
1.填空
⑴.当时，与
相比，是
__________________无穷小；
⑵. __________________；
⑶.______________.
2.单项选择题
⑴．设，下面说法正确的是________；
A. 点都是可去间断点；
B. 点是跳跃间断点，点是无穷间断点；
C. 点是可去间断点，点是无穷间断点；
D. 点是可去间断点，点是跳跃间断点；
⑵．下面正确的是______________.
A. ； B. ；
C. 不存在； D. .
答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ；⑵. ；⑶..
2. ⑴.C; ⑵.B .
自我复习.习题二(A)
11. (4).24. ⑴,(4),⑺.
27.⑴. (4).28.⑴,⑵.
30.⑵.37．⑴,⑶.
习题二(B).14.
第三章 导数与微分
一.本章重点.
导数的概念，导数及微分的计算.
二.复习要求
1.掌握函数在处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。
导数是一个逐点概念，在处的导数的定义式常用的有如下三种形式：

.
2.知道导数的几何意义，会求在处的切线方程。
3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：
⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； ⑵复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。
4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。
5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。
6.掌握函数可微,可导及连续的关系。

三.例题选解

例1.求下列函数的导数：
⑴． ，求
⑵．=, 求.
⑶．设=，求
⑷. ,求
解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：

.

⑵ 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。

原方程两边取对数：

上式两边对求导，视为中间变量:
=

注：本题除此方法外，也可以：

⑶． ∵ .
∴
⑷.

例2. 设在处可导,且.
求
分析:将在处的导数的定义式理解为结构式:
=
其中为或的函数.且当时,即可.
解:

例3．求曲线 在点
处的切线方程。
解：显然，点在曲线上，
现求切线的斜率，即
曲线方程两边对x求导：

解得
∴＝1
切线方程为：
即

例4、设
试讨论在处的连续性及可导性。
分析与解：由已知，；
（1）讨论在处的连续性。
∵
∴在处连续。
（2）讨论在处的可导性。
分段函数在分段点的导数必须用定义求：

即存在
四.练习题及参考答案
1.单项选择题
.设
下面说法正确的是（ ）.
A.在不连续；
B. .在连续，但不可导；
C. 在可导，且；
D. 在可导，且.
2.填空题
在处可导，且,则
（1）
3.求函数的导数或微分：
⑴, 求
⑵,
求
⑶．，求.
4.设确定是的函数，求
，并求出函数在点的切线方程。
5、证明：（1）若是偶函数且可导，那么是奇函数，（2）若是奇函数且可导，那么是偶函数，
答案：1.D. 2.
3.⑴.
(2). ；

⑶..
4.；
切线方程：.
自我复习:习题三(A) 13； 21,⑹，⑼； 24.⑴，⑵； 25；26.⑴,⑺; 27.⑸；29.⑵，⑹，⑺；
47.⑴，⑵．54.
习题三(B) 1 ；3；11.
第四章 中值定理与导数的应用
一.本章重点
求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；
二.复习要求
1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。

2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“”型或“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“”型或“”型未定式才能使用法则。
⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.
⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。
3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。
4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.
5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.
6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.

三.例题选解

例1. 求下列极限
(1).
(2).
(3).
解：
(1)

.
(2) 原式为幂指型不定式（型），利用代数变换：，得：

其中
（代换）
（）

. ∴原式＝
(3)
=
= （代换）
（洛必达）
＝.
例2.求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。
解：函数的定义域为
，

。
令，得驻点，
；无不可导点。
两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：

x

0

极小

极大

令
得 ，无不存在的点。曲线的
凹向及拐点列表讨论如下：

x

0

-
0
+
0
-
0
+

拐点

拐点

拐点

由上面的讨论看出：
函数的单减区间为 ；
单增区间为。极小值是，
极大值是。
曲线的凸区间是
凹区间是。
曲线的拐点有三个：，
，。
例3.证明不等式

分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令

则问题转化为证
即证在时，单减。
∵

∴时，单减，有

∴也单减，有， 证毕。
例4.证明：对任意，有

分析： 本题为恒等式的证明。我们设

由拉格朗日定理的推论，若能证明
则，再确定
即可。
证：当时，

∴
∵
∴ ，证毕！
例5求出函数在区间
上的最大、最小值。
解：显然函数在闭区间
上连续，因而必存在最大、最小值。

由，解得区间内的可疑点为：
. 比较以下函数值，

得 .
例6.某食品加工厂生产单位的总成本为，得到的总收益是，求出生产该商品单位的边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。
解：⑴.利润函数

边际利润函数.
⑵.当时，

⑶.令
解得：
，
∴产量单位时，可获最大利润。
注：设函数可导，导函数也称为边际函数。
四.练习题与参考答案
1. 求极限
(1)
⑵
⑶

2. 证明. 当时，有:
.
3证明：
4 .求单调区间和极值，凹凸区间和拐点。
5. 证明当时，有：
，并求出常数C.

参考答案：
1. (1). ； ⑵. ； ⑶..
4. 单增区间；
单减区间；极大值，
极小值；
上凹区间（1 ＋∞）；下凹（凸）区间（-∞ 1） ； 拐点（1 , －2）.
5. .
自我复习：
习题四 （A）
8, 9.⑸,⑻,⑼，⑾ ，⑿； 14.⑴,⑶,⑸； 18.⑴，⑵；19.⑴ ；20.⑴,⑶；32.⑵，⑷；37； 41。

习题四 （B） 10；12.