大一上学期微积分复习资料.doc
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1、1011学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数一本章重点复合函数及分解,初等函数的概念。二复习要求1、 能熟练地求函数定义域;会求函数的值域。2、理解函数的简单性质,知道它们的几何特点。3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式,知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中. 对于对数函数不仅要熟记它的运算性质,还能熟练应用它与指数函数 互为反函数的关系,能熟练将幂指函数作如下代数运算: .对于常用的四个反三角函数,不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质,还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数,初等函数的概念,能熟练地分解
2、复合函数为简单函数的组合。5、 知道分段函数,隐函数的概念。. 三例题选解例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数(基本初等函或基本初等函数的线性函数)复合而成的?.分析:分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行,每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)。解:.例2. 的定义域、值域各是什么?答: 是的反函数,根据反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,可知的定义域是,值域为. 四练习题及参考答案1. 则f(x)定义域为 ,值域为 f(1) = ; .2.则f(x)定义域为 ,值域为 f(1) = ; .3.分解下列函数为简单函数的复合:.答案:
3、1.(- +), ,2. .3. .自我复习:习题一.(A)55、; 习题一.(B).11.第二章 极限与连续一本章重点极限的计算;函数的连续及间断的判定;初等函数的连续性。二复习要求1了解变量极限的概念,掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是:函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系,掌握无穷小量的运算性质,特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如:3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时,利用等价无穷小代换可使运算简化,常用的等价无穷小代换有:当0时,有:; ;.(参见教材P79)4.掌握两个重要极限:().().记住它们的形式、特点、自变量的变
4、化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限,特别是应用重要极限()的如下扩展形式求型未定式极限:5.掌握函数连续的概念, 知道结论:初等函数在其定义区间内都是连续的,分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是:函数在x0点极限存在且等于,即:当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时,函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是:.6. 掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点,函数在点间断,必至少有下列三种情况之一发生: 、在点无定义; 、不存在; 、存在,但.若为的间断点,当及都存在时,称为的第一类间断点,特别时(即存在时),称
5、为的可去间断点;时称为的跳跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性质;无穷小量、无穷大量的关系与性质;等价无穷小代换;教材P69公式(2.6);两个重要极限;初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。三.例题选解 例1.单项选择题下列极限中正确的是( )A. B. C. D. 当时,是的( )A.低阶无穷小; B.高阶无穷小;C.同阶无穷小,但不是等价无穷小;D. 等价无穷小;分析与解: A与 C显然都不对,对于D, 记,则即D也不对,剩下的B
6、就是正确答案。 由于 应选择D.例3.求极限:解: 此极限为型 当时,有 , 此极限为型,可用重要极限。 . 例2判断函数 的间断点,并判断其类型。解:由于是函数y 无定义的点,因而是函数y 的间断点。 为函数 y 的可去间断点; 为函数 y 的第二类(无穷型)间断。 例3函数在点处连续,求常数k .分析与解:由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同,因此在连续的充要条件是 四.练习题及参考答案1.填空.当时,与相比,是_无穷小; . _;._.2.单项选择题设,下面说法正确的是_;A. 点都是可去间断点;B. 点是跳跃间断点,点是无穷间断点;C. 点是可去间断点,点是无穷间断点;D. 点是可
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