矩阵最高阶非零子式的精确定位法.pdf
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1、SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯 2023 NO.18 科 学 研 究科技资讯SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION矩阵最高阶非零子式的精确定位法范飞亚 杨泽辉 龙全贞(武警海警学院 浙江宁波 315801)摘要:该文对矩阵的最高阶非零子式进行了探讨,分析了在初等行变换下,矩阵的最高阶非零子式如何变化,进而给出了寻找最高阶非零子式的一种普适算法。从矩阵秩的定义出发,利用初等行变换把一个矩阵化成行阶梯形矩阵;根据行阶梯形矩阵,可以看出原矩阵的最高阶非零子式所在的大致位置;再利用初等行变换的逆变换,逐步定位出原矩阵的最高阶非零子式的精确位置
2、。关键词:矩阵的秩 初等行变换 初等变换的逆变换 最高阶非零子式中图分类号:O151.21文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2023)18-0207-04The Precise Positioning Method of the Highest-order Nonzero Subexpression of the MatrixFAN Feiya YANG Zehui LONG Quanzhen(China Coast Guard Academy,Ningbo,Zhejiang Province,315801 China)Abstract:This paper discusses t
3、he highest-order nonzero subexpression of the matrix,analyzes how the highest-order nonzero subexpression of the matrix changes under elementary row transformation,and then gives a universal algorithm to find the highest-order nonzero subexpression.Starting from the definition of the rank of matrix,
4、this paper uses elementary row transformation to transform a matrix into a row ladder matrix,and the approximate position of the highest-order nonzero subexpression of the original matrix can be seen according to the row ladder matrix,and then,it uses the inverse transformation of elementary row tra
5、nsformation to gradually locate the exact position of the highest-order nonzero subexpression of the original matrix.Key Words:Rank of matrix;Elementary row transformation;Inverse transformation of elementary transformation;Highest-order nonzero subexpression矩阵的秩是代数学中一个基本的概念,在解决线性方程组的求解、向量组的线性相关性等相关
6、问题上都有着重要的应用1-2。教材通常是用非零子式的最高阶数来定义矩阵的秩,且概念比较抽象,不易于理解3-4。大部分学生知道要去寻找最高阶非零子式,来计算矩阵的秩,但是却不知道如何寻找。蔡慧萍等人5与陈洪海等人6对最高阶非零子式的求法进行了粗略探讨,给出了用初等行变换寻找最高阶非零子式的简易算法,但是没有给出严格的证明与精确的求解步骤。本文阐述了最高阶非零子式在初等行变换下是如何变化的,进而给出用初等行变换的逆变换精确定位最高阶非零子式的方法。DOI:10.16661/ki.1672-3791.2212-5042-6387作者简介:范飞亚(1990),男,硕士,助教,研究方向为代数学。龙全贞(
7、1963),男,硕士,副教授,研究方向为大学数学。207SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯科 学 研 究 2023 NO.18 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯1 概念准备1.1 初等行变换以下3种变换称为矩阵的初等行变换7。(1)对换两行(对换i、j两行,记作rirj)。(2)以数k0乘某一行中的所有元(第i行乘k,记作rik)。(3)把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去(第j行的k倍加到第i行上,记作ri+krj)。1.2 行阶梯型矩阵引理 设A与B行等价,则A与B中非零子式的最高阶数相等8。非零矩阵若满足以下条件
8、:(1)非零行在零行的上面;(2)非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在)的首非零元所在列的右面,则称此矩阵为行阶梯形矩阵9。1.3 矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A)10。2 最高阶非零子式的精确定位法设Bmn经过一次初等行变换化为矩阵Amn(1ijrstm),由引理知,B与A非零子式的最高阶数相等。Amn=a11a1ra1nai1airainaj1ajrajnar1arrarnas1asrasnat1atratnam1amramn假设A的左上角r阶子式Ar为其最高阶非零
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