聚焦指数函数单调性的应用.pdf
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1、 聚焦指数函数单调性的应用陆玉婷(新疆托克逊县第二中学新疆吐鲁番)摘 要:单调性是函数的重要性质之一而指数函数的单调性更是尤为重要.对于指数函数()当 时它在实数集 上单调递增当()时它在实数集 上单调递减.由此可见指数函数的单调性并不复杂但它的应用却不简单它可以用来比较大小、求函数的定义域、求函数的最值或值域、求参数的值或范围、解方程或证明不等式还可以解决综合性问题.关键词:指数函数单调性应用 学习函数的目的之一就是利用函数的性质解决有关问题.在函数的众多性质中单调性最引人注目.指数函数更是如此.我们知道对于指数函数 ()当 时它在 上是增函数当()试比较实数 与 的大小.分析:不等式两边的
2、底数相同要比较指数的大小关键考察底数与 的大小关系.解:由于()所以函数()()在 上是增函数又因为()()所以.点评:本例是指数函数单调性的逆向应用.利用指数函数单调性比较两数的大小前提条件必须是底数相同且能与 比出大小否则需分类讨论或引进第三个量进行比较.由单调性求函数的定义域 对于某些与指数函数复合的函数求它的定义域时往往要转化为不等式这时需用到指数函数的单调性.例 求函数 的定义域.分析:由于函数解析式中含有二次根号所以被开方的部分必须大于或等于零.解:要使 有意义只需 即()().因为 所以 故只需 即.由于函数 在 上是增函数故只需满足 即可故原函数定义域是).点评:这种方法一般用
3、于解决含有指数函数的式子定义域问题体现了指数函数单调性的逆向应用.由单调性求函数的最值或值域 对于一类与指数函数复合的函数(或称其为指数型函数)的值域或最值问题往往可以将其分解成两个函数其中一个为指数函数而另一个为其它的初等函数.根据复合函数的性质可以把另一个初等函数的值域看成指数函数的定义域这样就很容易依据指数函数的单调性来求出原函数的最值或值域.例()函数 ()的最大值是 ()若函数 ()()有最大值 则 .分析:()这个函数由指数函数与二次函数复合而成二次函数的值域就是指数函数的定义域()由复合函数的单调性得出()应有最小值再由二次函数的性质得出 的值.解:()函数 ()定义域为()令
4、因为()在 上单调递减故欲求函数 ()的最大值只需求出 的最小值.又()数学之友 年第 期.所以函数()的最大值为()故填答案:.()令()则()()().因为()有最大值 所以()应有最小值.由此解得 故填答案:.点评:这种方法主要用于处理含有指数函数的复合函数的最值(值域)问题求解的关键是将其分解成两个函数:内函数与外函数.再考虑两个函数的单调性和外函数的值域这里都要用到指数函数的单调性.由单调性求参数的值或范围 对于含参数的指数型不等式恒成立或能成立问题一般采用参变量分离法转化为函数的最值问题这里往往要用到指数函数的单调性.例()已知()在(上恒成立则实数 的最小值是 .()已知函数()
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