考虑一般投资收益和时间相依索赔情形下二维带扰动风险模型的有限时间破产概率渐近估计.pdf
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1、2023,43A(5):15291558http:/m?/e?6x?.?km?VC?O?(fE?611731):kL?6?xx?.,b?xiJ?Ldm4Lx,?mml Sarmanov(?.?u?KCzx,?km?V?C.?L?m4LO?L evy L,Vasicek|?.,Cox-Ingersoll-Ross(CIR)|?.,Heston?.,?A/e?V?C.c:x?.;m;?V.MR(2010)Ka:62E20;62P05a:O211.4zI:A?:1003-3998(2023)05-1529-301Cc5,x?.?V?Ja1,8,10,11,19,21,23.u?xi5,EU?,d?x
2、x?.?JF,?xx?.?xx?.?g,29p?xx?.?Ak-,z37,9,12,1618,20,25,27.XILFO7KF,?xi?xk?5?-?K,?3?xi?VL?-.b?xi?,?=?xi3|,Cz?,nzb?B3?n.37KF?8U,?xi|?U?p?x?,d,?xi?k(5x5.kb?xi?Ld L evy Lx,?xi5,L?d-Lx,X,CIR|?.x?L Markov L,u/K$?5?.x?L$Ud Markov Lx.?y?xi?V?OL$Lp,XJL?xi?k5,)K,b?xi?Ld?m4Lx,?6?xx?.?V?C?O.vF:2021-06-21;?F:2022-
3、07-05E-mail:;78:Ig,7(71271042)!?H“8(2020ZB014)?H:“c8(202201AU070051)Supported by the NSFC(71271042),the Yunnan Normal University(2020ZB014)and the YunnanProvince Science and Technology Department(202201AU070051)1530n?Vol.43 A?m4L(t),t 0?xi?L(0)=0.?B1(t),t 0 B2(t),t 0 IOK$vB2(t)=B1(t)+p1 2B3(t),1,1,B
4、3(t)IOK$B1(t).u,?m t 0?xi?JL(U1(t),U2(t)U1(t)U2(t)=e(t)xy+c1Zt0e(s)dsc2Zt0e(s)ds+1Zt0e(s)dB1(s)2Zt0e(s)dB2(s)N(t)Xi=1Xie(i)N(t)Xj=1Yje(j),(1.1),(x,y)O?7;(c1,c2)?c1,c2 0;i 0,i=1,2,6X;(Xi,Yi),i 1?S?,?mm 1,2,0?C;?m n=nPi=1i,n 1?#t=t?gtL N(t):N(t)=Pi=1Iit,t 0,IAL8 A?5.?.(1.1),?km?V(x,y;t)=P(Tmax t|U1(0)
5、=x,U2(0)=y),Tmax=inf t 0:max(U1(t),U2(t)0?m.?1|e?Xe.1 2!0?y?(J;?LO?L evy L,Vasicek|?.,CIR|?.,Heston?.,31 3!?A/e?V?C;1 4!y?(J.2O?9(J?C oL?,3z?U.u a b,Pa b=maxa,b,a b=mina,b.uvXl1=liminf(x,y)(,)f(x,y)g(x,y)limsup(x,y)(,)f(x,y)g(x,y)=l2,?f(,)g(,),?l2 1,f(x,y).g(x,y);?l1 1,f(x,y)&g(x,y);?l1=l2=1,f(x,y)g
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8、s)0,(2.10)33(s):=1+3(s)(13d1+23d2)/eCd 0.(2.11)3()?k.5,3?b31,b32 b33?31()b31,32()b32 33()b33.-b1,b2b3?C,ObH1,bH2bH3,=dbH1(s)=31(s)dH(s),dbH2(s)=32(s)dH(s),dbH3(s)=33(s)dH(s).(2.12)?(X,Y,)(X,Y,)?,(X,Y,)(X,Y,)k?(X,Y,)?mp.,?(Xk,Yk,k),k 1 E?(X,Y,)?S?.u,?!?Ee?#L,bN(m)t=Xk=1I(b(m)kt),b(m)1=bm,b(m)k=bm+kXi
9、=2i,k 2,m=1,2,3;(2.13)bN(4)t=Xk=1I(b(4)kt),b(4)1=b1,b(4)2=b1+b2,b(4)k=b1+b2+kXi=3i,k 3;(2.14)1532n?Vol.43 AbN(5)t=Xk=1I(b(5)kt),b(5)1=b2,b(5)2=b2+b1,b(5)k=b2+b1+kXi=3i,k 3.(2.15)#b(m)t=EbN(m)t=Xk=1P(b(m)k t),m=1,2,3,4,5.(2.16)?b?(Xi,Yi,i),i 1,(Xi,Yi,i),i 1,(t),t 0,(B1(t),B2(t),t 0(b1,b2,b3).n 2.1?xx
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11、.(1.1).?(X,Y)l(2.6)?Sarmanov S F,G R,0.?(X,Y)C .3b?2.1?e,e3 max2,2?RT0Ee(s)ds 0 T ,K 0 0,KEeb(u)a(u+v)=?kaemv/2kacosh(kav)+sinh(kav)m/2?2aml/2(bB1(v)1)e(m2ka+b)u/2bB1(v)e2uka+b!2ml/2 exp(r0m 2ka+b24ka+b2bB1(v)e2uka+b 1#),(3.4)ks=m2+2s2/2,bB1(v)=1 4ka+b(2ka+bm)bB2(v)2,bB2(v)=2am+2kacoth(kav).yd(3.1),
12、Eeb(u)a(u+v)=E?e(a+b)Ru0rsdsaRu+vursds?=Ene(a+b)Ru0rsdsE?eaRu+vursds|Fu?o.?y?oNgkO E?eaRu+vursds|Fu?,?O Eeb(u)a(u+v).r(t)d(3.2)(,?r(t)?L,eT t P B(t,eT):=E?eaReTtrsds|Ft?=f(t,rt),f(t,r)uJC t r?.?E?eaRu+vursds|Fu?,k)f(t,r)?wL.z 22,IL“?,?,-dt?u 0”n?1534n?Vol.43 A f(t,r)v?,L)?f(t,r)?wL.0 s t eT,Enea(t)B
13、(t,eT)?Fso=EneaRt0rudu E?eaReTtrsds|Ft?|Fso=EneaReT0rudu|Fso=ea(s)B(s,eT).?ea(t)B(t,eT)=ea(t)f(t,rt)?.?ea(t)f(t,rt)?d?ea(t)f(t,rt)?=f(t,rt)dea(t)+ea(t)df(t,rt)=ea(t)?arf+ft+m(l r)fr+frr 2r2/2?dt+ea(t)frdWt.-dt?u 0?ft(t,r)+m(l r)fr(t,r)+frr(t,r)2r2/2=arf(t,r),(3.5)f(eT,r)=1,?r.(3.6)(1)?=0,=Vasicek?.(
14、3.5)ft(t,r)+m(l r)fr(t,r)+frr(t,r)2/2=arf(t,r).(3.7)z 22,T?)?/f(t,r)=erC1(t,eT)A1(t,eT),C1(t,eT)A1(t,eT)u t 0,eT?.f(t,r)=erC1(t,eT)A1(t,eT)“(3.7)?C01(t,eT)+mC1(t,eT)a?r A01(t,eT)mlC1(t,eT)+2C21(t,eT)2#f(t,r)=0.(3.8)?r,(3.8)o?,?C01(t,eT)+mC1(t,eT)a=0,K,eUC r?,(3.8)o 0.u?C01(t,eT)=mC1(t,eT)a.(3.9)l?,A
15、01(t,eT)=mlC1(t,eT)+2C21(t,eT)/2.(3.10)d(3.6),C1(eT,eT)=A1(eT,eT)=0.?(3.9)(3.10)9?C1(t,eT)=am?1 em(eTt)?,(3.11)A1(t,eT)=?al a222m2?(eT t)+?alma22m3?em(eTt)+a224m3e2m(eTt)?alm3a224m3?.(3.12)u,B(t,eT)?wL B(t,eT)=f(t,rt)=ertC1(t,eT)A1(t,eT),0 t eT,C1(t,eT)A1(t,eT)Od(3.11)(3.12)(.?Eeb(u)a(u+v)=Ene(a+b)(
16、u)B(u,u+v)o=eA1(u,u+v)EneC1(u,u+v)ru(a+b)(u)o.(3.13)?E?eC1(u,u+v)ru(a+b)(u)?,I Eep1rt+p2(t),p1,p2.-D(p1,p2,t)=Eep1rt+p2(t),rtpdC,dz 22,4.4.10 (t)=Rt0rsds=No.5?:m?/e?6x?.?V1535(mlt+r0 rt+Wt)/m pdC,?p1 p2,D(p1,p2,t)k?.ep1rt+p2Rt0rsdsA It o?D(p1,p2,t)=ep1r0+?p1ml+p2122?Zt0D(p1,p2,s)ds+(p2 p1m)Zt0D(p1,p
17、2,s)p1ds,?1?5 D(p1,p2,s)/p1=E(rsep1rs+p2Rs0rvdv).u?D(p1,p2,t)u t?D(p1,p2,t)t+(p1m p2)D(p1,p2,t)p1=?p1ml+p2122?D(p1,p2,t),(3.14)D(p1,p2,0)=ep1r0.?(3.14)?),k?(3.14)?A?).dA?,dp1ds=(p1m p2),dtds=1,p1(0)=c,t(0)=0.(3.15)u,(3.15)?)p1(s)=p2m+?c p2m?ems,t(s)=s.(3.16)?U(s)=D(p1(s),p2,t(s),u(3.14)=ze?,dUds=D(p
18、1,p2,t)tdtds+D(p1,p2,t)p1dp1ds=D(p1,p2,t)t+(p1m p2)D(p1,p2,t)p1.(3.14),KdUds=?p1ml+p2122?U(s),U(0)=D(p1(0),p2,t(0)=D(c,p2,0)=ecr0.u,U(s)=exp?cr0+mlZs0p1(v)dv+22Zs0p21(v)dv?.(3.17)d(3.16),p1 t 5L c s,?“(3.17)?D(p1,p2,t)=exp?A1(p1,p2)+A2(p1,p2)t+A3(p1,p2)emt+A4(p1,p2)e2mt?,(3.18)A1(p1,p2)=p2r0m+?l+p22
19、m2?p1p2m?+?p1p2m?224m,A2(p1,p2)=p2l+p2222m2,A3(p1,p2)=?r0 l p22m2?p1p2m?,A4(p1,p2)=2(p1p2/m)24m.,(3.18),EneC1(u,u+v)ru(a+b)(u)o=E?ea(1emv)mru(a+b)(u)?=D?a?1 emv?/m,(a+b),u?.(3.19)?(3.19)“(3.13)=?(3.3).(2)?=1/2,=CIR?.(3.5)ft(t,r)+m(l r)fr(t,r)+2rfrr(t,r)/2=arf(t,r).(3.20)T?)k/f(t,r)=erC2(t,eT)A2(t,eT
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21、2(t,eT)2kaZ(t,eT)Z(eT,eT)=(m+2ka)/2?|,?Z(t,eT)=?24ka+2h1m+2ka14kaie2ka(eTt)?1.uC2(t,eT)=asinh(ka(eT t)kacosh(ka(eT t)+m2sinh(ka(eT t).(3.21),?)A2(t,eT).A02(t,eT)=mlC2(t,eT)|A2(eT,eT)=0?A2(t,eT)=2mla2ln kaem(eTt)/2kacosh(ka(eT t)+m2sinh(ka(eT t)!.(3.22)u,CIR?.f(t,rt)?w)B(t,eT)=f(t,rt)=ertC2(t,eT)A2(t
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25、kt)+m2ksinh(kt)?2ml/2 expn2r0m+2kcoth(kt)o.KRt0Ee(s)ds 0,udn 2.1?(J.n 3.1?y.3.2Au Heston?.1993 c,Steven Heston?a?.,Heston?.14.Black-Scholes?.,Heston?.?.-L?St=e(t),t 0?d Heston?.,=dSt=Stdt+rtStdW(1)t,(3.26),x|;W(1)t,t 0 IOK$;rt,t 0?Ldrt=m(l rt)dt+rtdW(2)t.(3.27)d?,r0 0;l 0 LY;m 0 LE?Y l?;0 N?L,v 2ml
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