具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定 (1).pdf

第 40 卷第 9 期2023 年 9 月控 制 理 论 与 应 用Control Theory&ApplicationsVol.40 No.9Sep.2023具具具有有有有有有界界界时时时滞滞滞的的的脉脉脉冲冲冲随随随机机机泛泛泛函函函微微微分分分系系系统统统的的的有有有限限限时时时间间间稳稳稳定定定王国庆,姚凤麒(安徽工业大学 电气与信息工程学院,安徽 马鞍山 243032)摘要:本文研究了具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定和有限时间渐近稳定问题.基于Lyap-unov函数、Razumikhin技巧以及平均脉冲区间条件,本文建立了关于该系统有限时间稳定和有限时间渐近稳定的相关性准则.最后,给出例子说明结论的有效性.关键词:有限时间稳定;有限时间渐近稳定;脉冲随机泛函微分系统;Lyapunov函数;有界时滞;Razumikhin技巧引用格式:王国庆,姚凤麒.具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定.控制理论与应用,2023,40(9):1569 1575DOI:10.7641/CTA.2022.20204Finite-time stability of impulsive stochastic functional differentialsystems with bounded delaysWANG Guo-qing,YAO Feng-qi(School of Electrical and Information Engineering,Anhui University of Technology,Maanshan Anhui 243032,China)Abstract:This paper is concerned with the finite-time stability and finite-time contractive stability analysis of impulsivestochastic functional differential systems with bounded delays.Based on the Lyapunov functions,Razumikhin techniquesand average dwell time approach some finite-time stability and finite-time contractive stability criteria are derived for therelated systems.Finally,examples are given to illustrate the efficiency and usefulness of the conclusion.Key words:finite-time stability;finite-time contractive stability;impulsive stochastic functional differential systems;Lyapunov functions;bounded delays;Razumikhin techniquesCitation:WANG Guoqing,YAO Fengqi.Finite-time stability of impulsive stochastic functional differential systemswith bounded delays.Control Theory&Applications,2023,40(9):1569 15751引引引言言言众所周知,随机扰动和时滞现象广泛存在于实际工程系统中,包括随机时滞微分系统在内的随机泛函微分系统在电力系统分析以及控制工程领域中有着非常深刻的影响1.因此,近年来该系统的稳定性研究引起了众多研究者的关注,并在此趋势下诞生了一系列新的研究成果25.另一方面,脉冲效应也是影响系统稳定性的干扰因素之一,它会使系统状态在某一时刻突然变化或者重置.脉冲可分为3种类型,分别为输入干扰型脉冲、中立型脉冲和稳定型脉冲6.脉冲与时滞的引入将使随机泛函微分系统的研究更加复杂.最近,在对该系统的稳定性研究方面有许多新的进展714.在这些文章中,研究者们都利用了Lyapunov-Like函数法与It o公式相结合,求解李亚普诺夫函数的导数,然后进行系统稳定的研究.在这其中,文献79应用Razumikhin技巧建立了脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定的条件,其优点是不要求Lyapunov函数的导数恒为负定,减少了一些保守性.参考文献10,13主要是对具有无限时滞系统的稳定性进行研究.Yao等人11利用比较原理得到了脉冲随机泛函微分系统的p阶矩指数稳定性定理.在参考文献15中作者提出了平均脉冲区间的概念,其允许脉冲发生的频率在不同区间内是不同的.显然,这个概念在描述非均匀分布脉冲的频率方面具有优势.基于这一优势,该条件从提出起就受到了许多研究人员的广泛关注912,1618.然而,上述这些研究主要是讨论随机脉冲泛函微分系统的p阶矩指数稳定,而很少有对该系统的有限收稿日期:20220322;录用日期:20221116.通信作者.E-mail:yaofengqi ;Tel.:[phone].本文责任编委:王卓.安徽教育厅高校自然科学研究项目(KJ2019A0047)资助.Supported by the Natural Science Research Projects for Universities of Anhui Education Department(KJ2019A0047).1570控 制 理 论 与 应 用第 40 卷时间稳定进行研究.有限时间稳定的概念是由俄罗斯研究者Kamenkov19在大约70年前首次提出的,并且在20世纪60年代和70 年代也有少量提及20.有限时间稳定不同于Lyapunov稳定,它要求系统状态在有限的时间内收敛到一个固定的范围.近年来,各种类型系统的有限时间稳定理论得到广泛研究,如非线性系统2,2122、神经网络16、随机系统17,23等.Weiss和Infante在文献24中基于有限时间稳定提出了有限时间渐近稳定这一新概念,其要求系统的状态在满足有限时间稳定的前提下收敛到一个小于初始值的阈值内.随着两个概念的提出,研究者们在这一方向上进行了更深入的研究与拓展.在文献25中,作者利用Lyapunov-Razumikhin法建立了时滞系统的有限时间稳定以及有限时间渐近稳定的相关准则,并将结论应用于一类线性时变系统.而含有脉冲的随机时滞系统的有限时间稳定问题一直是研究的热门话题之一2628.文献 18利用平均脉冲区间条件和多重Lyapunov-like函数建立了非线性脉冲随机时滞系统的均方有限时间稳定.但很少有研究者提及如何建立脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定和有限时间渐近稳定这类问题,这促使本文接下来的工作.本文将利用Lyapunov-Razumikhin法和平均驻留时间的概念研究具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定和有限时间渐近稳定问题.文章的结构如下:首先,第2节将介绍相关系统的概念,符号的含义和定理中将使用的基本定义;第3节将介绍主要结论及其证明过程;在第4节中,将给出具体数值的例子来验证本文的结论;最后,第5节会对文章进行总结.2准准准备备备知知知识识识在本文中除非另有说明,否则将采用以下符号.令(,F,Ftt0,P)为完备概率空间,Ftt0满足右连续并且F0包含所有P的空集.令w(t)=(w1(t)wm(t)T是定义在概率空间(,F,Ftt0,P)上的m维布朗运动.E是关于概率测度的期望算子.R,R+,N分别代表实数、非负实数和正整数.Rn记为欧几里得范数|的n维实数空间.Rnm是nm实矩阵.对于 0,用C1,2(t0,+)Rn,R+)表示定义在t0,+)Rn上所有非负实值函数V(t,x)的族,其对t有一次偏导,对x有二次偏导.若a,b为常数,则ab=maxa,b;ab=mina,b;mod(a,b)表示a除以b取余.若A是一个向量或矩阵,则AT表示其转置.若 0,PC(,0;Rn)=:,0 Rn|(t),在,0上所有但至多有限个点存在(t)且(t)=(t),式中(t),(t+)分别表示函数(t)在t处的左右极限.另外其范数定义为=sup6s60|(s)|.若p0,t0,用PCpFt(,0,Rn)表示所有有界且Ft可测的族,PC(,0,Rn)值随机变量=():660使 得Ept0,x(tk)=Ik(tk,x(tk),k N,xt0()=(),0,(1)式中:x(t)Rn是系统状态.PCpFt0(,0,Rn)是初始条件.xt=x(t+s)PCpFt(,0,Rn).f:R+PCpFt(,0;Rn)Rn;g:R+PCpFt(,0;Rn)Rnm为Borel可测的.Ik(tk,x(tk):R+PCpFt(,0;Rn)Rn表示为x在tk时刻的脉冲扰动.脉冲序列tkkN是满足06t0 t1 t0且k N时,f(t,0)0,g(t,0)0,Ik(tk,0)0表示系统(1)的平凡解为x(t)0.定定定义义义 1如果存在正常数T,c1,c2满足c1c2,并且有Ep c1使得E|x(t)|p c2,t t0,T,则称系统(1)是关于(c1,c2,T)的p阶矩有限时间稳定.定定定义义义 2如果存在正常数T,c1,c2,满足 c1 c2,T,并且有Ep c1使得E|x(t)|p c2,t t0,T,E|x(t)|p s0,则表明脉冲序列tkkN的平均脉冲区间等于Ta,其中N(t,s)表示脉冲序列tkkN在区间(s,t上的脉冲次数.注注注 1相较于文献2122,25,27的有限时间稳定分析,本文综合考虑了脉冲、时滞以及随机噪声的影响,使得所研究的系统(1)更具有一般性.注注注 2区别于Lyapunov稳定,满足有限时间稳定的系统可能不会满足Lyapunov稳定,反之亦然.定义1描述了一个系统从给定的初始状态开始运动,并且其状态变量在有限时间内不超过指定的阈值.有限时间渐近稳定在满足有限时间第 9 期王国庆等:具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定1571稳定的前提下,还需要在到达终止时刻之前将状态变量收缩到小于初始状态的范围内.3主主主要要要结结结果果果在本节中,将利用Lyapunov-Razumikhin法建立脉冲随机泛函微分系统(1)的有限时间稳定和有限时间渐近稳定的相关准则.定定定理理理 1令c1,c2,T,1,2,p,为正常数,R,其中c1c2,T.假设脉冲序列tkkN的平均脉冲间隔是Ta以及存在函数V C1,2(t0,+)Rn,R+)和可积实值函数():R+R使得i)1|x|p6V(t,x)62|x|p,x Rn;ii)ELV(t,(0)(t)EV(t,(0),t t0,T,t=tk,k N+,且 PCbFt(,0,Rn)满足EV(t+s,(s)6(t,s)EV(t,(0),s ,0,其中(t,s)=(1)N0ert(t+s)t0(u)+ln Ta)du;iii)EV(tk,x(tk)6EV(tk,x(tk),t=tk,k N;iv)wtt0(u)du6,t t0,T;v)若 1时,满足N0e2c11时,满足Tt0Ta+N0e2c11c2.则称系统(1)是关于(c1,c2,T)的p阶矩有限时间稳定.此外,如果存在常数 0使得vi)wtt0(u)du6,t T ,T;vii)若1时,满足N0e 2c11时,满足Tt0Ta+N0e 2c1 EV0,定义t=inftt0,t1):(t)EV0.由函数连续性可以看出(t)=ertt0(u)+)duEV(t)=EV0,(5)(t)=ertt0t0(u)+)duEV(t)6EV0,t t0,t,(6)以及D+(t)|t=t 0,(7)结合式(5)(6)得出EV(t)6erttt0(u)+)duEV(t),t t0,t,然后对于s ,0,有EV(t+s)6ert(t+s)t0(u)+)duEV(t),令 0,则EV(t+s)6ert(t+s)t0(u)duEV(t),结合条件ii)可知ELV(t)(t)EV(t).由It o公式得到D+(t)|t=t=ertt0(u)+)duELV(t)(t)+)EV(t)6ertt0(u)+)duEV(t)EV0,1572控 制 理 论 与 应 用第 40 卷定义t=inft tk,tk+1):(t)EV0.根据函数连续性,看出(t)=N(t,t0)ertt0(u)+)duEV(t)=EV0,(9)(t)=N(t,t0)ertt0t0(u)+)duEV(t)6EV0,t t0,t,(10)并且D+(t)|t=t 0,(11)通过式(9)(10)得到N(t,t0)ertt0t0(u)+)duEV(t)6N(t,t0)ertt0(u)+)duEV(t),t t0,t,上式等价于EV(t)6N(t,t)erttt0(u)+)duEV(t),所以EV(t+s)6N(t,t+s)ert(t+s)t0(u)+)duEV(t),s,0.(12)情情情形形形 1t+st0,则式(12)可以写成EV(t+s)6N(t,t+s)ertt+s(u)+)duEV(t),(13)考虑脉冲序列tkkN的平均脉冲间隔等于Ta,得到sTa N06N(t,t+s)6sTa+N0,如果1,N(t,t+s)6sTa+N0,(14)如果0 0,由式(14)(15)可得N(t,t+s)6sTa(N0 N0)=(1)N0ertt+sln Tadu,(16)将式(16)代入到式(13)得到EV(t+s)6(1)N0ertt+s(u)+ln Ta)duEV(t)=(1)N0ert(t+s)t0(u)+ln Ta)duEV(t).(17)情情情形形形 2t0 6t+s6t0.式(12)可以写成EV(t+s)6N(t,t0)ertt0(u)+)duEV(t),(18)与式(16)类似的,可以得到N(t,t0)6tt0Ta(N0 N0)=(1)N0ertt0ln Tadu,(19)将式(19)代入式(18)得出EV(t+s)6(1)N0ertt0(u)+ln Ta)duEV(t)=(1)N0ert(t+s)t0(u)+ln Ta)duEV(t),(20)结合式(17)(20),并且令 0,则有EV(t+s)6(1)N0ert(t+s)t0(u)+ln Ta)duEV(t),利用条件ii)有ELV(t)(t)EV(t),由It o公式得到D+(t)|t=t=N(t,t0)ertt0(u)+)duELV(t)(t)+)EV(t)=N(t,t0)ertt0(u)+)duEV(t)0,这与式(11)相矛盾.因此式(8)成立.即式(3)在t tk,tk+1)时都成立.通过数学归纳,式(3)在tt0,T上成立.所以式(2)成立.由条件i)可知EV0=E sups,0V(t0+s)62E sups,0|x(t0+s)|p62E(sups,0|x(t0+s)|)p=2Ep,(21)因此,如果Ep c1,则EV0 2c1.接下来,通过条件iv)和式(2),得到1E|x(t)|p6EV(t)6N(t,t0)ertt0(u)duEV0N(t,t0)e2c1,(22)再由平均脉冲区间的概念可知,如果 1,N(t,t0)6tt0Ta+N06Tt0Ta+N0,t t0,T,(24)由式(22)(24)和条件v),得到E|x(t)|p c2,t t0,T,(25)因此,系统(1)是关于(c1,c2,T)的p阶矩有限时间稳定.根据式(22),条件vi)和条件vii)推导出:如果 第 9 期王国庆等:具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定15731,则1E|x(t)|p6EV(t)6N(t,t0)ertt0(u)du2c16N0e 2c11,则1E|x(t)|p6Tt0Ta+N0e 2c1 1,t T ,T,(27)由式(26)(27)表明E|x(t)|p ,t T ,T,因此系统(1)是关于(c1,c2,T,)的p阶矩有限时间渐近稳定.证毕.注注注 4定理1中的条件ii)是Razumikhin型条件.条件iii)中利用函数(t,s)处理时滞的影响.():R+R的取值范围表明Lyapunov函数的导数V并非必须满足负定或半负定.对比文献27定理1的条件ii)要求D+V(t,x(t)2c1,即在t0,T 内可能存在某些时刻使得()0;而条件vi)和条件vii)表明在T ,T 内必须有()0成立,从而保证系统的有限时间渐近稳定.注注注 5定理1中,当脉冲强度 1对系统的稳定性具有反镇定作用.其对系统有限时间稳定的影响较小.但对于有限时间渐近稳定而言,脉冲强度越大会使条件ii)中构造的函数()的保守性越高.另外从(t,s)的表达式可知,取值应接近于1,以保证系统连续部分增长不会太快.当系统(1)是不考虑脉冲影响的随机泛函微分系统dx(t)=f(t,xt)dt+g(t,xt)dw(t),(28)参照定理1的证明过程,下面将直接给出该系统有限时间稳定的结论.推推推论论论 1令c1,c2,T,1,2,p,为正常数,R,其中 c1 c2,T.另设存在函数V C1,2(t0,+)Rn,R+)以及可积实值函数():R+R使得i)1|x|p6V(t,x)62|x|p,x Rn;ii)ELV(t,(0)(t)EV(t,(0),t t0,T.且 PCbFt(,0,Rn)满足EV(t+s,(s)6(t,s)EV(t,(0),s ,0,其中(t,s)=ert(t+s)t0(u)du;iii)wtt0(u)du6,t t0,T;iv)e2c1 1c2.则称系统(28)是关于(c1,c2,T)的p阶矩有限时间稳定.此外,如果存在常数 0使得v)wtt0(u)du6,t T ,T;vi)e 2c1t0,x(tk)=0.9x(tk),t=tk,k=1,2,x(t)=0.85,6t60,(29)其中:(t)=|sint|,t0.脉冲信号tkk=1满足文献15中给出的以下条件:tk tk1=,mod(k,N0)=0,N0(Ta)+,mod(k,N0)=0,(30)构建的脉冲区间如图1所示,其中:Ta=0.4,=0.2,N0=3.取函数V(t,x)=x2,1=2=1,并且(t)=0.02tcost2 5cost2+0.013.由系统(29)的第2个等式可知=0.81.因此(t)+lnTa=(0.02t 5)cost2 0.514,假设只考虑系统(29)在区间0,内的有限时间稳定,通过计算得到(1)N0ert(t+s)t0(u)+ln Ta)du=0.813erttsin t(0.02t5)cost20.514)du0.164,(31)即有EV(t+s)60.164EV(t).由It o公式可得ELV(t)6(0.02t 5)cost2E|x(t)|2+0.02E|x(t)|E|x(t s)|+0.01E|x(t s)|26(0.02t5)cost2+0.01)E|x(t)|2+0.02E|x(t s)|26(0.02t5)cost2+0.01)E|x(t)|2+0.02 0.164E|x(t)|2=(t)E|x(t)|2.推导可得,t 0,时wtt0(u)du=wt0(0.02t 5)cost2+0.013)du60,1574控 制 理 论 与 应 用第 40 卷令c1=1,结合定理1的条件v)可知N0e2c1=0.813e0=1.88,则系统(29)是关于(1,1.88,)的均方有限时间稳定.取=0.5,则有wtt0(u)du=wt0(0.02t5)cost2+0.013)du62.783,t 0.5,由定理1的条件vii)得N0e 2c1=0.813e2.783=0.12,则系统(29)是关于(1,1.88,0.12,0.5,)的均方有限时间渐近稳定.系统的状态轨迹如图2所示.0.00.51.01.52.02.53.00.00.20.40.60.81.0?/s?图 1 例1脉冲序列Fig.1 Impulse sequence in Example 10.00.51.01.52.00.00.51.01.52.02.53.0?0.12?/s2E|?(?)|图 2 例1系统均方状态轨迹Fig.2 The mean square state trajectory of Example 1注注注 6由文献910,27的数值例子可见,如何构造辅助函数是解决这类问题的关键.相较于文献27例1中直接令其为H(t)=1,本文例1中先假设出(t)的最大值求解出式(31)的下确界,再通过It o公式以及不等式的放缩估算(t).此方法虽有改进但同样存在一定保守性.例例例 2考虑如下一个具有反镇定型脉冲的随机时滞系统:dx(t)=1.75x(t (t)11+x(t)dt+etx(t(t)dw(t),t=tk,tt0,x(tk)=1.1x(tk),t=tk,k=1,2,x(t)=3.5,6t60,(32)其中(t)=1 et.脉冲信号tkk=1满足式(30).令Ta=0.5,即tk tk1=0.5.取V(t,x)=x2,1=2=1,且显然=1.21.通过定理1以及仿照例1的证明可以得出E|x(t)|2 14,t 0,3.再根据有限时间渐近稳定的条件得到当=1.5时,即t 1.5,3,E|x(t)|2 6.系统在t 0,3内的均方状态轨迹如图3所示.图4是t 0,10内系统的均方状态轨迹表明系统(32)是有限时间稳定以及有限时间渐近稳定的,但不满足Lyapunov稳定.024681012140.00.51.01.52.02.53.0?6?/s2E|?(?)|图 3 例2系统t 0,3均方状态轨迹Fig.3 The mean square state trajectory ont 0,3ofExample 2010020030040002468102E|?(?)|?/s图 4 例2系统t 0,10均方状态轨迹Fig.4 The mean square state trajectory ont 0,10ofExample 25结结结论论论本文研究了脉冲随机泛函微分系统的p阶矩有限时间稳定以及有限时间渐近稳定的相关准则.本文的重点是对时滞项的处理,即利用Razumikhin型条件,引入辅助函数来处理时滞的影响.通过脉冲控制和平第 9 期王国庆等:具有有界时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定1575均停留时间方法得到该系统稳定性的充分条件,并通过数值例子证明了结论的有效性.由于本文研究的系统时滞是有界的.因此接下来的研究方向可以是讨论具有无穷时滞的脉冲随机泛函微分系统的有限时间稳定及其渐近稳定问题.另一方面,本文研究的是非线性系统的稳定性,对于研究结果也可以应用于线性系统.参参参考考考文文文献献献:1 MAO X R.Stochastic Differential Equations and Applications.Chichester:Horwood,1997.2 MCHIRI L,BEN M A,BALEANU D,et al.Finite-time stability oflinear stochastic 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