051数列知识点总结精华及试题精粹11.doc

【2012高考冲刺样本】05--1数列知识点总结精华及试题精粹1

知识要点

数列
数列的定义
数列的有关概念
数列的通项

数列与函数的关系

项
项数
通项

等差数列
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前n项和

等差数列
等比数列
定义

递推公式
；
；
通项公式

（）
中项
（）
（）
前项和

重要性质

1. ⑴等差、等比数列：

等差数列
等比数列
定义

通项公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d

求和公式

中项公式
A= 推广：2=
。推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则。
2
若成A.P（其中）则也为A.P。
若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3
． 成等差数列。
成等比数列。
4

，
5

⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)①
注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.
ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.
⑷数列{}的前项和与通项的关系：
[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{}前n项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；
②若等差数列的项数为2，则；
③若等差数列的项数为，则，且，
.
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =
②
③
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，….
4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.

5. 数列常见的几种形式：
⑴（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程（对应，x对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.
⑵（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.
①转化等差，等比：.
②选代法：
.
③用特征方程求解：.
④由选代法推导结果：.
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：
一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
备注：求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.
一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o
例1 在数列{}中，,，求通项公式.
解：原递推式可化为：则
，……，逐项相加得：.故.
二、作商求和法
例2 设数列{}是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3…），则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）
解：原递推式可化为：
=0 ∵ ＞0，
则 ……， 逐项相乘得：，即=.
三、换元法
例3 已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.
解：设，原递推式可化为：
是一个等比数列，，公比为.故.故.由逐差法可得：.
例4已知数列{}，其中，且当n≥3时，，求通项公式。解 由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，，公差为1.故.。
由于
又
所以，即
四、积差相消法
例5设正数列，，…，，…满足= 且，求的通项公式.
解 将递推式两边同除以整理得：
设=，则=1，，故有
⑴ ⑵
… … … …
()
由⑴+ ⑵ +…+()得=，即=.
逐项相乘得：=，考虑到，
故 .
五、取倒数法
例6 已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。
解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.
六、取对数法
例7 若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.
解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.
七、平方（开方）法
例8 若数列{}中，=2且（n），求它的通项公式是.
解 将两边平方整理得。数列{}是以=4为首项，3为公差的等差数列。。因为＞0，所以。
八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：
1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.
例9 若数列{}中，=1，是数列{}的前项之和，且（n），求数列{}的通项公式是.
解 递推式可变形为 （1）
设（1）式可化为 （2）
比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列{}是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。
当n，。
数列{}的通项公式是 。

2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.
例10 在数列{}中，求通项公式。
解：原递推式可化为：
①
比较系数得=-4，①式即是：.
则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.
∴
即.
3、型，可化为的形式。
例11 在数列{}中，，当， ① 求通项公式.
解：①式可化为：

比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：

则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.
∴.利用上题结果有：
.
4、型，可化为的形式。
例12 在数列{}中，，=6 ①求通项公式.
解 ①式可化为： ②
比较系数可得： =-6，，② 式为
是一个等比数列，首项，公比为.
∴即 故.
九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出……，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。
求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得．

例1．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，解得，令，
由，得， ．

例2．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，解得，令，
由，得， ．

二、形如的数列
对于数列，是常数且）
其特征方程为，变形为…②
若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．
这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得．
若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值．
这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得．
此方法又称不动点法．

例3．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．

例4．已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，即，解得，令
由得，求得，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
．

试题精粹
江苏省2011年高考数学联考试题
13．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011届高三调研考试）在等差数列中，表示其前项，若，，则的取值范围是 ▲ ．（4，）
12．（江苏省2010届苏北四市第一次联考）已知等差数列的前 n 项和为 S n , T n ,若对于任意的自然数 n ，都有则 = ▲ ．
8. （常州市2011届高三数学调研）面积为S的的三边成等差数列，，设外接圆的面积为，则
10. （常州市2011届高三数学调研）若在由正整数构成的无穷数列{an}中，对任意的正整数n，都有an ≤ an+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k–1个k，则a2008= .45
7．（姜堰二中学情调查（三））设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是______4
10. （泰州市2011届高三第一次模拟考试）数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前4项和 。
10、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知数列满足，（），.
若前100项中恰好含有30项为0，则的值为 ▲ 6或7
14. （苏北四市2011届高三第一次调研考试）已知数列，满足，，，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是 ▲ ．2012
讲评建议：遇到这样一个新问题，学生首先应是先去归纳，找规律，这就是一种数学意识，解题意识，教学中要注意培养，如什么时候类比，什么时候归纳。
6、（宿迁市高三12月联考）已知公差不为的正项等差数列中，为其前项和，若，，也成等差数列，，则等于___ ___；30
1． （无锡市1月期末调研）已知数列的前项和Sn=n2—7n, 且满足16＜ak+ak+1＜22, 则正整数k= ▲ ．8