SARS传染病模型.doc

SARS的传播模型
摘 要
本文在传统的传染病SIR模型的基础上，通过对问题的分析，建立了SARS传播的微分方程模型，即：，其中表示时刻的SARS病人数， 表示时刻的传播率，表示表示时刻的治愈率，表示表示时刻的死亡率。
本文用、、三个参数较好地描述了SARS的传播过程。通过采集北京6月份以前的数据，结合各个参数代表的实际意义，对他们分别进行指数或抛物线的回归分析，得到了、、的表达式，较好地刻划了SARS的传播规律，并对疫情作出了预测。
与附件模型相比，本模型的优点表现在：1、模型采用的是北京本地前期的数据，排除了地区差异带来的影响；2、通过回归分析的方法使离散的点连续化；3、用微分方程描述SARS的传播问题更加准确。
本文利用Matlab和Mathematica两个数学软件，对复杂的微分方程进行了求解。仅用6月以前的数据，就得到了SARS病人数目随时间变化的曲线预测图。预测了在6月10日左右疫情将得到缓解，在7月中旬将基本消除。经检验，我们的预测与实际情况是相吻合的。
文中调整、、来对模型的结果进行控制，画出提前5天和推后5天进行隔离时病人数和时间的曲线，其结果与实际情况是相符的。
总之本文建立的微分方程模型能够较好地对SARS的传播过程进行预测，并为政府部门提供决策依据，具有一定的普遍适用性。
在分析SARS对经济的某一方面影响时，我们选择了受SARS冲击较大的旅游业，以北京每月海外旅游的人数作为考察的对象。
考虑到疫情对旅游人数的影响，本文建立了衰减模型，其中体现了往年旅游人数的规律，而则是衰减因子，用来衡量SARS对经济的影响大小的程度（称为灾难系数）。很显然在SARS被控制甚至被消除后，将呈递减趋势，并随着时间的增加逐渐趋近于0，为此本文用函数对进行回归分析，得到衰减模型的解。经过图像分析，预测出在6月份时海外旅游人数仅为正常情况下的75%，而10月份海外旅游人数将恢复到原来的98％，年末将完全恢复。
在建模的过程中，本文采用的图表多达13个，通过大量的分析对比，对数据进行了很有效的整理，为模型提供了有力的支持。
一、问题的提出
SARS是二十一世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大的影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
附件一所给的模型是在5月8号以前的北京疫情数据的基础上、按香港和广东的数据得出参数，对北京地区的疫情进行分析和预测的。
题目要求：
(1)根据北京市疫情的数据对其进行分析，评价附件一所给模型的合理性和实用性。
(2)要求我们建立自己的模型，说明怎样才能建立一个预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，分析它比所给模型更优越，并对卫生部门所采取的措施做出评论对疫情传播所造成的影响进行估计。
(3)根据SARS对经济的影响的参考数据，建立一个SARS对经济的影响模型。
(4)给报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二、附件1的模型评价
附件1的模型采用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格的隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获取比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。总的来说，这种分析问题的方式是可取的，因为它能根据香港和广东的参数较为合理地预测北京的疫情的走势，但又存在较多的缺陷。具体的评价如下：

（一）优点：
1．该模型的最大特点是引入了两个重要的参数：每人每天的传染率k和传染周期L，这是一种比较方便有效的方法。在前期数据拟合的基础上通过一定的假设处理(如在十天内对K的调整等)对两个参数进行控制。
2．模型解得的结果对SARS传播的前期预测效果较好，在整体上也较为合理，能够基本预测其大致的发展趋势。
3．根据所得的结果进行简单的病情预测，为医疗部门的决策提供了参考建议。

（二）缺点：
1．模型为：，是初始病例数，是天数，为平均每个病人每天可传染的人数。
模型并没有考虑病人的死亡和治愈情况，即退出传染系统的人并没有考虑在内。
2．该模型采取的是对香港与广东的数据进行拟合，得出参数K的值作为北京的模型参数，这对预测北京的疫情是不合适的。
第一，北京市政府采取了比香港、广东地区更为得力的措施 ，如严格执行隔离措施、对人口流动较快的地方实行封闭管理、加大卫生宣传力度等
第二，北京市与香港、广东地区的气候、环境、人口流动情况不同，如广东、香港经济较为发达，外来人口打工的较多，属于外贸的中心地带，气温相对较高，而北京则不同。
这两点直接影响到已感染者的传染率和病毒的传染周期，也就是说，不管是用香港的或是用广东的参数来作为北京的参数都是不合理的。
3．K值的假设上存在问题。
在控制前，SARS接近于自然传播时的传播模式，此时K值可以看作一个常量，这是合理的。
而把过渡期设为10天，且在10天之内仅用三个离散的K值进行过渡,过渡期之后,又将K值看作一个大于0的常数,这一系列的处理都是很不科学的假设。
我们通过北京实际的数据进行分析得到40个K值，可以看到过渡期大于10天而且是连续变化的过程，K到最后实际是趋近于0的（见图2）。

（三）模型检验：
我们把5月8号以后公布的实际数据(图中蓝点所示)与他所做的北京日增病例走势分析进行比较，结果发现SARS疫情发展的趋势大体上与预测曲线是相一致，但下降得更陡峭一些（见图1）。
图1
这是由于在后阶段，模型中的K是大于0的常数，而实际情况是趋近于0的(见图2)，这就意味着实际传播中的后期由于多方面的原因，传染率已经被控制得很小了。
图2
以上就是我们对附件1做出的评价。
F ：通过对附件一中模型的多方面分析，我们对SARS疫情的传播有了进一步的认识，为了克服附件模型中的诸多不足，更准确地预测SARS的传播趋势，更有效地提供预防控制信息，我们建立了SARS传播的更一般的微分方程模型：
三、模型的假设
（一）模型假设:
1．将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。
2．在模型的建立中所采用的数据都是根据卫生部所公布的数据，假设这些数据真实可靠。
3．我们把整个人群看作由两个系统组成，传染系统和非传染系统。传染系统完全由活着的SARS病人组成，且只有活着的SARS病人才具有传染能力，该病人一旦治愈或一旦死亡我们就看作其退出传染系统。所有的非SARS病人组成非传染系统，其中每个成员都有可能被传染成为SARS患者。
4．非传染系统的成员一旦受传染就立即进入传染系统（不考虑潜伏期），并被确诊通报。
5．在相当一段时间内不会出现治疗SARS的特效药。
（二）符号规定
1、 ：在时刻，具有传染能力的SARS病人；
2、 ：第n天, 具有传染能力的SARS病人;
3、 ：在t时刻的传染率，即在单位时间内平均每个病人传染的人数；
4、 ：第n天的传染率，即在这一天平均每个病人传染的人数；
5、 ：在时刻，被治愈出院的病人数；
6、 ：第n天，被治愈出院的病人数；
7、 ：在时刻的治愈率，即；
8、 ：时刻的死亡人数；
9、 ：第n天的死亡人数；
10、 ：在时刻的死亡率，即；
11、 ：时刻退出传染系统的人数（包括时刻死亡人数和治愈人数）,即：；
12、 ：在时刻的退出率，即；
四、模型的建立与求解
在SARS爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对SARS病毒的传播速度和危害程度认识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加、死亡人数不断增多时, 政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延.所以SARS的传播可以分为三个阶段:
（1）、控制前的自然传播模式阶段。
（2）、过渡期阶段，即公众开始意识到SARS的严重性到政府采取隔离措施前的一段时期内。
（3）、控制阶段，即政府采取隔离治疗措施阶段。
但是, 不管SARS传播处于哪个阶段，影响传播最本质的因素是: 自由传染者的数量, 传播的概率及病毒本身的传播能力(用和来衡量)等。所以我们不分阶段进行考虑。
第天的病人是在第天的基础上加上新增的病人，减去退出传染系统的病人，即：

移项得
…………………… （1）
经过转换，得

取微分得到下面连续的方程

即：

由此得到SARS的传播模型为：

这和传染病SIR模型的形式是相统一的。其中、、等参数可以为我们提供所需要的信息。
我们只要能够知道、、的表达式，便可以求解微分方程得到。我们根据北京地区6月1号以前的数据进行拟合，预测、、以后的走势曲线，从而实现对的预测。
1、 对于
我们根据北京市疫情的数据，根据（1）式对 进行描点，得到一些值的散点图。
随着时间的推移，隔离措施、医疗保障、公众健康意识的加强，值应该急剧减小，并趋近于0。因此对散点进行指数回归分析（利用Matlab软件），便可得到关于时间的连续函数（附件一模型中的值是离散的）（图3）。
图3

从图中可以看出，由前40个点拟合出的指数函数与后期的数据是吻合的。
根据新增死亡病例和新增治愈病例的数据，也可以得到和的散点图。
2、 对于
随着医疗水平的提高以及对SARS病毒研究的深入，死亡率将逐渐减少，我们对的散点图进行指数回归分析，即得（如图4）
图4

3、 对于
在SARS疫情蔓延的初期，传染系统的人数较少，由于人们对SARS病毒的了解不多，防危意识不强，导致疫情的爆发，传染系统的人数急剧增加，治愈率呈现降低的趋势；随着政府的干预，人们防危意识的增强，治愈率开始增加。整体显示出抛物线的特性，我们对它进行二阶回归分析得到如下结果（图5）：
图5

n 由于实际数据有很大的随机性，在回归分析中，我们很难找到准确的函数来描述相应参数的变化趋势，只能从整体上来预测。这是我们遇到的最大的困难。

将得到的、、代入微分方程，得

我们利用Mathematica的微分方程数值求解命令，求得的数值解，并画出随着时间变化的曲线（图6）：

图6
X轴的起始坐标是4月20号，Y轴表示人数

五、模型结果的分析和检验
我们建立的微分方程模型具有一定的普遍适用性，针对北京地区而言，我们从以下几个方面对模型的结果进行分析：
1)对模型本身的结果进行检验
2)与附件模型进行比较
3)模型参数的评价
4)模型的缺点

(一) 结果检验：
a．与实际情况作对比图进行分析

图7
说明：X轴的起始坐标是4月20号，Y轴表示人数 ，绿色曲线表示我们在六月初得到的预测曲线；离散点表示实际统计数据
由预测图线可以看出：
Ø 病情在5月13号左右达到“高潮期”，即图中曲线上升最快到开始平缓的过渡时期；
Ø 疫情大约在6月10号之后开始缓解。；
Ø 感染系统大概在x=81时将降到0，因此，我们预计北京的SARS疫情将在7月份中旬得到基本的消除，即疫情的“最终控制期”；
实际情况是：
Ø 病情在5月17号达到最高峰，比模型中的结果晚到四天，误差较小。值得注意的是，我们所要预测的是6月以后的发展趋势，因此这里产生的误差对预测不会造成太大影响。
Ø 疫情大约在6月13号之后开始缓解；
Ø 由图上可以看出，在6月之后，预测曲线和实际离散点是非常接近的；
Ø 通过在网上查阅资料，可以知道在7月15日全国仅有15人SARS病人接受治疗，可以认为疫情已经基本消除，和预测模型的结果相吻合。
由以上对比我们知道，建立的微分方程模型较完整地刻划了SARS病人数随时间变化的趋势，较好地解决了非典疫情的预测问题。
b．灵敏度分析
根据对SIR模型的分析知，治愈率的倒数为平均传染周期，我们假设一旦进行严格隔离，则传染周期将减小。
设提前天进行严格隔离，则原模型修改为：

当时，分别代入相应的参数求解得到两条曲线，与时进行比较，得到下图：

图8
说明：蓝色曲线表示提前5天进行隔离；红色曲线表示延后5天进行隔离
由图上可以看出按照我们提出的模型，提前采取严格的隔离措施
l 能够大大缩短传染病的持续时间（大约能提前20天）；
l 能提前进入疫情控制期；
l 能对疫情进行有效地控制，这和实际情况也是完全吻合的。
除了及时采取隔离措施以外，其他能够缩短平均传染周期的措施都能够有效地提高治愈率。如：对抗病毒药物的研究，建立紧急防疫机制，提高医疗软、硬件水平等。
通过以上两个方面的分析，我们认为我们的模型在刻划SARS病毒的传播方面具有较强的针对性，可为预防和控制SARS疫情提供可靠、足够信息。
(二) 与附件1的模型进行比较
a．我们在模型建立的过程中，充分考虑到治愈和死亡这两因素对SARS病人数的的影响，引进了治愈率和死亡率，使模型更加贴近实际。
b．在数据有限的情况下，我们没有用外地的来预测北京的疫情发展趋势，而是根据分析参数应有的变化规律，对数据进行指数回归分析，建立了关于时间的函数关系式。这样就消除了地区差异带来的影响
c．正是由于我们找到了关于时间的连续函数，因此比附件模型中所采用的离散调整法要准确得多。
我们的模型较好地解决了附件1的模型所存在的问题，并保留了其优点，对预防和控制SARS病毒的传播具有较好的参考价值。
(三) 模型参数的评价
在这里我们对模型中的做一些讨论
作的实际散点图如下：
图9

由于

所以， ，画出其曲线得到如下图
图10
比较图9和图10，可以看出，尽管我们没有对进行回归分析，但根据已求得的关系式，仍然可以如实地反映实际数据的变化情况。这说明模型是合理的。
比较图5和图10，还可以看出退出率的曲线和治愈率的曲线极其接近，这说明，在影响退出率的程度上，治愈率较之死亡率是占主导方面的，这说明在这场与SARS的斗争中，我们必将取得最终的胜利！！

(四)模型的缺点
l 模型的假设没有考虑潜伏期的因素，而SARS的潜伏期一般为两周，这是影响模型准确性的一个方面；
l 没有考虑人员流通程度对疫情发展趋势的影响。
七、SARS对北京旅游业的影响
（一）、问题提出
突如其来的SARS，给我国经济的发展产生了不小的冲击。但是我们应当看到SARS对经济的各方面的影响是不同的，比如，医疗、电信在SARS期间获利明显，而旅游、餐饮业遭受重创。我们选取海外游客来京旅游作为研究对象，分析SARS对其造成的影响,并作出合理的预测。
分析参考数据，从1997到2002年，每年北京市接待海外旅游人数的分布在时间上基本呈同一趋势，而且逐年稳步上升。2003年1至3月基本上也是按这一趋势发展，但由于遭受SARS的影响，从4 月份以后旅游人数急剧下滑，直到SARS得到控制之后，才有所回升，我们的任务就是定量地刻划SARS疫情对旅游业的影响，并预测后八月份以后海外来京旅游人数。
（二）、模型假设
1、 通过数据分析知，在2月份的同期比较中发现2000年的接待人数比1999年翻了一番，数值增长异常，不符合实际。故我们上网查资料，发现数据的确有误，故而更新数据，得到一组新的统计表1：
北京市接待海外旅游的人数(单位:万人)
年
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
97
9.4
11.3
16.8
19.8
20.3
18.8
24.9
24.9
24.7
24.3
19.4
18.6
98
9.6
11.7
15.8
19.9
19.5
17.8
17.8
23.3
21.4
24.5
20.1
15.9
99
10.1
12.9
17.7
21.0
21.0
20.4
21.9
25.8
29.3
29.8
23.6
16.5
00
11.4
12.28
19.6
25.9
27.6
24.3
23.0
27.8
27.3
28.5
32.8
18.5
01
11.5
12.01
20.4
26.1
28.9
28.0
25.2
30.8
28.7
28.1
22.2
20.7
02
13.7
15.99
23.1
28.9
29.0
27.4
26.0
32.2
31.4
32.60
29.2
22.9
03
15.4
17.1
23.5
11.6
1.78
2.61
8.8
16.2

表1
其中红色的数据为修正后的数据，我们假设修正后的数据真实可靠。
2、 通过查阅网站资料，旅游业是受非典打击最大的行业。
因此我们认为，海外来京旅游人员的数量仅受SARS因素的影响。也就是说，如果没有遭受SARS的影响，2003年接待海外的游客人数按往年的趋势发展。
3、 符号约定
：在没有SARS的情况下，预计第个月北京接待海外旅客的人数，；
：在有SARS的情况下，通过模型求解，得到的今年第个月北京接待海外旅客的人数（），其中前8个月北京实际接待海外旅客的人数用表示，后4
个月预测的人数用表示；
：　年分（1997年为第一年份，记＝1，次往后推，则今年＝7）；
：用来衡量疫情对第个月北京接待海外旅客人数的响程度
（三）、模型建立与求解
在2003年，如果没有遭受SARS的影响，那么每个月接待游客的人数就会按照往年同期增长趋势增长，我们假设每个月的人数逐年是线性相关的，即，那么我们对前6年12个月的人数分别进行线性回归分析，得到一组，通过这组值预测2003年各月份在没有SARS影响情况下接待的旅游人数。
得到的是一个散点图，然后对其进行插值连成光滑的曲线，如图11

图11

此图就是2003年在没有遭受SARS的影响的情况下，我们预测的形势图。
由于2003年遭受了SARS的影响，这样我们引进衰减因子，建立了如下的模型：

…………………（2）
式中，即为没有遭受SARS时的情况，我们称为衰减因子。可以看到，当比较大时，越小，对的衰减就越大，因此我们不妨称为灾难系数。
可以预见的是，在SARS疫情被控制和消除以后，将会随着的增长不断趋近于0，这样经过一段时间之后，旅游人数便能恢复到应有水平。
我们要预测的是9到12月份的旅游人数，根据SARS的实际情况我们知道，非典已经消除，因此我们可以认为是一个关于的衰减函数。
我们用6、7、8月的和，根据（2）式得到3个样本，并用一个衰减函数

对样本进行非线性的回归分析，最后得到的结果是

利用上式进行预测2003年在遭受SARS影响之后的发展趋势，如图12

图12
说明：其中黑色曲线为实际值，红色曲线为预测值

SARS对2003年北京接待海外游客的影响。在图13中可以反映出来。
图13

我们将求解过程中的参数制成下表（如表2）

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月

0.81
0.68
1.41
1.97
2.24
2.21
0.82
1.74
1.53
1.46
1.84
1.08

8.09
10.32
14.05
16.69
16.55
15.03
20.25
21.37
21.79
22.87
18.09
15.06

13.8
15.07
23.87
30.05
32.21
30.53
26.01
33.57
32.47
33.07
31.0
22.64

15.4
17.1
23.5
11.6
1.78
2.61
8.8
16.2
24.1
28.5
28.8
21.8

－
－
－
－
－
0.74
0.86
0.92
0.96
0.98
0.99
1.00
表2

（四）、模型结果的分析和检验
观察表2和图13，可以看出，
1、在没有发生疫情的1月和2月，实际的接待数量和按没有SARS影响情况下的预测数量是相当吻合的；
2、在疫情的高峰期，接待海外旅游的业务几乎瘫痪
3、预计在疫情消失之后，接待海外游客数量将上升，到年底可以恢复到正常水平。

八、短文
建立传染病模型的重要性
从“霍乱、天花”的肆虐全球，到“艾滋病”的险恶传播。传染病一直是人们心中的最痛！建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预测和控制传染病的发展趋势，一直是各国专家和官员关注的问题！
尽管SARS离我们远去，但它留在我们心中的阴影始终挥之不去。在这场与SARS的斗争中，数学工作者通过建立各种预测监控模型来描述其传播发展趋势，为决策部门提供了有效的依据。
建立的SARS模型对疫情的预测与控制具有极其重要的作用。通过模型预测疫情发展的不同阶段，可以有针对性地为医疗部门提出意见；也可以调整模型中的若干参数进行疫情模拟，为疫情控制部门提供有效的决策。
模型中相关参数的衡量直接与治愈率、隔离措施、公众的健康意识等相关联。如果医务水平高、隔离措施得力、公众的健康意识强，就可以减小疾病的蔓延。这些都可以用模型来进行模拟和解释。因此，通过建立SARS传播的数学模型，就可以为预防和控制疾病提供一些具体的建议：
1、强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离。在传播期间，控制传染源是相当必要的，所以一定要坚持不懈地抓好对他们的治疗和管理。
2、提高医务人员的医疗水平，特别是建立治疗此种疾病的专门医院、增加医疗器械和医务人员等。
3、加大宣传力度，提高人们的健康意识，养成良好的个人习惯和社会卫生习惯，如不随地吐痰等。
4、强化对公共场合（如公交、商场、餐厅、娱乐场所等）的管理，要采取责任到部门，责任到单位，责任到个人的管理方式，明确责任，规范管理，做到环环相扣，一丝不漏。
5、注意人口流动比较大的场所(如汽车站、火车站、飞机场、宾馆等)的管理，要强化这些场所的卫生宣传，增加防护工具以及消毒工具、药品的使用，以减少病毒大肆蔓延的可能性。
此外通过建立预测模型，分析疫情曲线，还可以减少人们对疾病的恐慌。这对安定民心，维护社会稳定具有积极作用。下图是通过建立预测模型得到的疫情预测图：
从左图我们可以看出：
疫情大约在5月13号出现最高峰，之后开始缓解，并逐渐趋向缓和。
预计北京的SARS疫情将在7月10号左右得到基本消除。
SARS预测曲线图

X轴起始坐标是4月20号
建立模型，有助于预测在疫情之后的经济发展状况，这至少有两个方面的好处：第一、因为各行业遭受疾病的影响不同，故可以在各行业之间进行人员分配和资源分配；第二、那些遭受疾病打击较大的行业，可以在疾病传染期间及其前后进行保护。
通过建立传染病的数学模型，我们可以研究传染病的传播规律、预测和控制传染病的蔓延。而通过建立对经济的预测模型可以为国家对经济进行宏观调控提供帮助。
参考文献：
[1]：姜启源 ，《数学建模》 ，北京：高等教育出版社，2003
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[3]：国务院新闻办公室，每日“非典”疫情，
，2003－9－23
[4]：姜启源 ，《数学建模》 ，北京：高等教育出版社，2003
[5]：北京旅游局，统计资料，
，2003－9－23
[6]：海闻 赵忠 王健 侯振刚，“非典”流行对北京市及全国经济影响的初步分析，
2003－9－23