精选-量子力学主要知识点复习资料.doc

大学量子力学主要知识点复习资料，填空及问答部分

1能量量子化
辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量e 的整数倍
对频率为n 的谐振子, 最小能量e为:
2.波粒二象性
波粒二象性（wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式
3.波函数及其物理意义
在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程

粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数
波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性
4. 波函数的归一化及其物理意义
常数因子不确定性设C是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。
表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1
必然有以下归一化条件

5. 力学量的平均值
既然 表示 粒子出现在点 附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x的平均值x(__)，由概率论，有
又如，势能V是 的函数：，其平均值由概率论，
可表示为

再如，动量 的平均值为：

为什么不能写成
因为x完全确定时p完全不确定，x点处的动量没有意义。
能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？
可以，但需要表示为p(__)
其中 为动量 的算符
6.算符
量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算
如动量算符
能量算符
动能算符 动能平均值
角动量算符 角动量平均值
薛定谔方程

算符 ，被称为哈密顿算符，
7.定态
数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中
方程 称为能量本征方程，

被称为能量本征函数， E被称为能量本征值。

当E为确定值，=拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征：
粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。
8.量子态叠加原理
但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即，
9. 宇称
若势函数V（x）=V（-x），若是能量本征方程对于能量本征值E的解，则也是能量本征方程对于能量本征值E的解

10.束缚态
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态
11. 一维谐振子的能量本征值

12. 隧穿效应
量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。
又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。

13. 算符对易式
一般说来，算符之积不满足交换律，即 ，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系
对易式 ，通常
坐标对易关系

角动量的对易式

14.厄密算符平均值的性质
先转置，再共轭。

体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。
厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
15. 量子力学关于算符的基本假设
1、微观粒子的状态由波函数 描写。

2、波函数的模方 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。
3、力学量用算符表示。
4、波函数的运动满足薛定格方程

16. 算符的本征方程，本征值与本征函数
数学中，形如 的方程，称为本征方程。其中

17. 不确定度关系的严格表达

18. 两个算符有共同本征态的条件
两个算符对易，即
19. 力学量完全集
若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由 的本征值不能确定体系状态，必再加上 的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。
定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符 ，它们只有一组共同完备本征函数集，记为 ， 可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称 为体系的一组力学量完全集。
20. 力学量完全集共同本征态的性质

若能级简并

21. 守恒量
对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A称为量子体系的一个守恒量。
22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用
把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是内积，<α|α>大于等于0，称为模方。|β><α|是外积。

采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。

算符向左作用

23.角动量平方和角动量z分量的共同本征函数

注意量纲
注意，推导过程计算题有可能要考
24. 氢原子的能量本征值与能级简并度

25. 正常Zeeman效应
原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。
26. 电子自旋
电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称

自旋不是机械的自转
27关于电子自旋的Stern-Gerlach实验

Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O. 斯特恩和W.革拉赫在1921年完成的。实验装置如图斯特恩－革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O内蒸发,通过狭缝形成细束， 经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片P上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。

实验上高温炉中的Ag原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。
28碱金属原子光谱双线结构

29. 量子跃迁与选择定则

即谐振子只能跃迁到相邻能级
30.禁戒跃迁

31. 微扰论的思想
   解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似解。这种方法称为微扰论。
32.突发微扰与绝热微扰

33. 能量与时间不确定度
34. 能级宽度与谱线宽度

35. 半经典理论

36吸收，受激辐射，自发辐射

后记：本复习资料整理依据是往年的量子力学总结PPT，但是那个PPT只给了考点范围，没有给概念解释，所以我查阅了PPT，教材，百度，谷歌，维基之后加上个人理解整理而得，制作粗糙，请见谅。
本复习资料只能应付填空和问答题，我很确认计算题和证明题范围超出此资料，但具体范围不清楚。祝大家考出满意的成绩。
本人不保留版权，欢迎各位学霸对此资料进修正。

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）