《概率论与数理统计教程》魏宗舒-课后习题解答答案-1-8章.doc

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 ，记不合格为次，则

(2)记2个白球分别为，，3个黑球分别为，，，4个红球分别为，，，。则{，，，，，，，，}
(ⅰ) {，} (ⅱ) {，，，}
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。
(1) 叙述的意义。
(2)在什么条件下成立？
(3)什么时候关系式是正确的？
(4) 什么时候成立？
解 (1)事件表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) 等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品（）。用表示下列事件：
(1)没有一个零件是不合格品；
(2)至少有一个零件是不合格品；
(3)仅仅只有一个零件是不合格品；
(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) ; (2) ; (3) ;
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；
1.4 证明下列各式：
(1); (2) (3); (4)

(5) (6)
证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数”包含个样本点。于是
。
1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。
解 样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是。
1.7 一个小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？
解 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。所以
1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是。
1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？
解 用表示“牌照号码中有数字8”，显然，所以

-
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；
解 (1) 答案为。
(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为
(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为，则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此所包含的样本点只有71这一点，于是
。
1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是
(2) 根草的情形和(1)类似得
1.13 把个完全相同的球随机地放入个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为，
(2)恰好有个盒的概率为，
(3)指定的个盒中正好有个球的概率为，
解 略。
1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解 所求概率为
1.15 在中任取一点，证明的面积之比大于的概率为。
解 截取，当且仅当点落入之内时的面积之比大于，因此所求概率为。
1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。因此所求概率为
1.17 在线段上任取三点，求：
(1) 位于之间的概率。 (2) 能构成一个三角形的概率。
解 (1) (2)
1.18 在平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为（均小于），求三角形与平行线相交的概率。
解 分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然所求概率为。分别用表示边，二边与平行线相交，则显然，，。所以
[]
（用例1.12的结果）
1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。
解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件“该点命中的中点”的概率等于零，但不是不可能事件。
1.20 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。
解表示白，表示黑白，表示黑黑白，…，

则样本空间{，，…，}，并且，
， ，…，

甲取胜的概率为+++…
乙取胜的概率为+++…
1.21 设事件及的概率分别为、及，求，，，
解 由得

，

1.22 设、为两个随机事件，证明：
(1) ;
(2) .
证明 (1) =
(2) 由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.23 对于任意的随机事件、、，证明：
证明

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：
(1)只订甲报的；
(2)只订甲、乙两报的；
(3)只订一种报纸的；

(4)正好订两种报纸的；
(5)至少订一种报纸的；
(6)不订任何报纸的。
解 事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。
(1) ==30%
(2)
(3)

++=++=73%
(4)
(5)
(6)
1.26 某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？
解 用表示“第张考签没有被抽到”， 。要求。
，，……，

，……
所以
1.27 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？
解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。则
，……
所以

1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。
解 用分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩”， 表示“有男孩”，则

1.30 设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
解（1）设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， 表示“所取产品都是不合格品”，则

(2)设表示“所取产品中至少有一件合格品”， 表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则

1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：
(1)已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；
(2)第个人摸到的概率。
解 设表示“第个人摸到”， 。
(1)
(2)
1.32 已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。

解 用表示“母鸡生个蛋”， 表示“母鸡恰有个下一代”，则

1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解 用表示“任选一名射手为级”， ，表示“任选一名射手能进入决赛”，则
1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？
解 用表示“任取一只产品是甲台机器生产”
表示“任取一只产品是乙台机器生产”
表示“任取一只产品是丙台机器生产”
表示“任取一只产品恰是不合格品”。
则由贝叶斯公式：

1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？
解 则 ， ，，
，，，
由贝时叶斯公式得
1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是

、、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？
解 用表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”，表示“朋友乘汽车来”，表示“朋友乘飞机来”，表示“朋友迟到了”。
则
1.37 证明：若三个事件、、独立，则、及都与独立。
证明 （1）
=
（2）
（3）=
1.38 试举例说明由不能推出一定成立。
解 设，，，
，，， 则 ，

但是
1.39 设为个相互独立的事件，且，求下列事件的概率：
(1) 个事件全不发生；
(2) 个事件中至少发生一件；
(3) 个事件中恰好发生一件。
解 (1)
(2)
(3) .
1.40 已知事件相互独立且互不相容，求（注：表示中小的一个数）。

解 一方面，另一方面，即中至少有一个等于0，所以
1.41 一个人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率
(1)两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；
(2)三个人为型，两个人为型；
(3)没有一人为。
解 (1)从5个人任选2人为型，共有种可能，在其余3人中任选一人为型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为型，共有2种可能，另一人为型，顺此所求概率为：
(2)
(3)
1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。
解 用表示“第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， ，表示“击中飞机”。则，。
(1)
(2) ,
取。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。
1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。
解 用表示“在成功次之前已失败了次”， 表示“在前次试验中失败了次”， 表示“第次试验成功”
则

1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有根火柴（）的概率。

解 用表示“甲盒中尚余根火柴”， 用表示“乙盒中尚余根火柴”， 分别表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”， 表示取了次火柴，且第次是从甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以
由对称性知，所求概率为：

第二章 离散型随机变量
2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？
(1) (2)
(3) (4)
解 （1）是
（2），所以它不是随机变量的分布列。
（3）,所以它不是随机变量的分布列。
（4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。
2.2 设随机变量的分布列为：，求(1);
(2) ； (3) 。
解 (1) ;
(2) ;
(3) .
2.3 解 设随机变量的分布列为。求的值。
解 ，所以。
2.4 随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。

解 根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。
2.5 一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。
解 设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：

2.6 设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。
解
2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。
解
2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。
解，其中。
2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。
解 设，表示第二名队员的投篮次数，则
+；
。
2.10 设随机变量服从普哇松分布，且，求。
解。由于得（不合要求）。所以

。
2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解 设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。查普哇松分布的数值表，得。
2.12 如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。
解 设为时间内通过交叉路口的汽车数，则

时，，所以；时，，因而
。
2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。
解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为

利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于

2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？
解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使
，
利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查普哇松分布数值表，得。
2.15 设二维随机变量的联合分布列为：

求边际分布列。

解

。
2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、、，求的联合分布列与各自的边际分布列。
解 ，
，；
，；
，。
2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。
2.21 设随机变量与独立，且，
又，定义，问取什么值时与独立？
解=

而，由得
2.22 设随机变量与独立，且，定义，证明两两独立，但不相互独立。
证明

因为

所以相互独立。同理与相互独立。
但是，因而不相互独立。
2.23设随机变量与独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有。）
证明 设。
若，则

将（2）式减去（1）式，得：，于是。同理。因此，与（3）式矛盾。
2.24 已知随机变量的分布列为，求与的分布列。
解 分布列为，，；
的分布列为，，。
2.25 已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。
解 , , ,
2.26 设离散型随机变量的分布列为： ， ：，且相互独立，求的分布列。

解

2.27 设独立随机变量分别服从二项分布：与，求的分布列。
解 设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），而相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而
。
2.28 设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为

求的分布列。
解
2.29 设随机变量具有分布：，求、及。
解，，
+4+4=27
2.30设随机变量具有分布：，求及。
解 ，

2.31设离散型随机变量的分布列为：，问是否有数学期望？
解 ，因为级数发散，所以没有数学期望。
2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10克，现有三组砝码：
（甲组）1，2，2，5，10（克）
（乙组）1，2，3，4，10（克）

（丙组）1，1，2，5，10（克）
问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？
解 设、、分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有
物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 2 1 2 2 3 3 1
1 1 1 1 2 2 2 3 3 1
1 1 2 3 1 2 2 3 4 1
于是

所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。
2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, 米的概率各是0.16，米的概率各是0.08，米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。
解 设场地面积为，边长的误差为米，则且
所以
2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为、、。试证发生故障的仪器数的数学++。
证 令
为发生故障的仪器数，则，
所以++。
2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。
解 设，
则的分布列为，因而。设为查得的不合格品数，则
，所以。

2.38 从数字0，1，…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。
解 设为所选两个数字之差的绝对值，则，
于是。
2.39 把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。
解 设则的分布列为：
于是，设匹配数为，则，因而。
2.40 设为取非负整数值的随机变量，证明：
(1) ;
(2)
证明 (1)由于存在，所以该级数绝对收敛。从而
。
(2) 存在，所以级数也绝对收敛，从而

2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。

解 设成功与失败均出现时的试验次数为，则
，
利用上题的结论，+=1+

2.42 从一个装有个白球、个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。
解 略。
2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是，问平均每批要检查多少件？
解 略。
2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。
解 设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，又在两次检修之间产品总数为，则
因独立同分布，，由此得：
，，
。
，。
2.46 设随机变量与独立，且方差存在，则有
（由此并可得）
证明

2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在的条件下的分布列。
解 (1) .
(2) ,
2.49 在次贝努里试验中，事件出现的概率为，令

求在的条件下，的分布列。
解

。
2.50 设随机变量，相互独立，分别服从参数为与的普哇松分布，试证：

证明

由普哇松分布的可加性知+服从参数为+的普哇松分布，所以

2.51 设，，…，为个相互独立随机变量，且服从同一几何分布，即有。试证明在的条件下，

的分布是均匀分布，即
，其中.
证明

由于，，…，相互独立且服从同一几何分布，所以
。
从而。
第三章 连续型随机变量
3.1 设随机变数的分布函数为，试以表示下列概率：
（1）；（2）；（3）；（4）
解：（1）； （2）；
（3）=1-； （4）。
3.2 函数是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果
（1） （2）0，在其它场合适当定义； （3）-，在其它场合适当定义。
解：（1）在（-）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；
（2）在（0，）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；
（3）在（-内单调上升、连续且，若定义

则可以是某一随机变量的分布函数。
3.3 函数是不是某个随机变数的分布密度？如果的取值范围为

（1）；（2）；（3）。
解：（1）当时，且=1，所以可以是某个随机变量的分布密度；
（2）因为=2，所以不是随机变量的分布密度；
（3）当时，，所以 不是随机变量的分布密度。
3.4 设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有（1）； （2）P（； （3）。
证：（1）
=
=
；
（2），由（1）知
1-
故上式右端=2；
（3）。
3.5 设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明

也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？
证：因为与都是分布函数，当时，，，于是

又

所以，也是分布函数。

取，又令

这时

显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是连续函数，所以它也不是连续型的。
3.6 设随机变数的分布函数为

求相应的密度函数，并求。
解：，所以相应的密度函数为

。
3.7 设随机变数的分布函数为

求常数及密度函数。
解：因为，所以，密度函数为

3.8 随机变数的分布函数为，求常数与及相应的密度函数。
解：因为

所以

因而
。
3.9 已知随机变数的分布函数为

（1） 求相应的分布函数； 2.求。
解：

3.10确定下列函数中的常数，使该函数成为一元分布的密度函数。
（1）； （2） （3）
解：（1）；
（2），所以A=; (3),所以。
3.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求的分布函数。
解：当0时
所以
3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为

若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？
解：
因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。
3.14 设随机变数服从（0，5）上的均匀分布，求方程

有实根的概率。
解：当且仅当
（1）
成立时，方程有实根。不等式（1）的解为：或。
因此，该方程有实根的概率
。
3.17 某种电池的寿命服从正态分布，其中（小时），（小时）
(1) 求电池寿命在250小时以上的概率； （2）求，使寿命在与之间的概率不小于0.9。
解：（1）
=；
（2）
=
即 所以 即
3.18 设为分布的分布函数，证明当时，有
证：
=
=

所以。
3.21 证明：二元函数

对每个变元单调非降，左连续，且，，但是并不是一个分布函数。
证：（1）设， 若，由于，所以，
若，则。当时，；
当时，。所以 。
可见，对非降。同理，对非降。
（2）时
=，
时，
=，
所以对、左连续。
（3），。
（4），
所以不是一个分布函数。
3.23 设二维随机变数的密度
求的分布函数。
解：当，时，

=

=
=所以

3.24 设二维随机变数的联合密度为

（1） 求常数；2.求相应的分布函数； 3.求。
解：（1）， 所以；
（2）时，

=，所以

（3）
=
=。
3．25 设二维随机变数有密度函数 求常数及的密度函数。
解：

所以，；

3.26 设二维随机变数的密度函数为

求（1）。
解：

3.28 设的密度函数为

求与中至少有一个小于的概率。
解：

3.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以和表示这两个组件的寿命（以小时计），设的分布函数为

求两个组件的寿命都超过120的概率。
解：

3.31 设都是一维分布的密度函数，为使

成为一个二维分布的密度函数，问其中的必需且只需满足什么条件？
解：若为二维分布的密度函数，则

所以条件得到满足。
反之，若条件（1），（2）满足，则

为二维分布的密度函数。
因此，为使成为二维分布的密度函数，必需且只需满足条件（1）和（2）。
3.32 设二维随机变数具有下列密度函数，求边际分布。
（1） （2）
（3）
解：（1）

（2）时，

时，
所以，。同理，。
（3）

3.34 证明：若随机变数只取一个值，则与任意的随机变数独立。
证：的分布函数为

设的分布函数、的联合分布函数分别为。
当时，。当时，。所以，对任意实数，都有，故与相互独立。
3.35 证明：若随机变数与自己独立，则必有常数，使。
证：由于，所以，。由于，非降、左连续，所以必有常数，使得

故。
3.36设二维随机变量的密度函数为

问与是否独立？是否不相关？

解：。
同理，。
由于，所以与不相互独立。
又因关于或关于都是偶函数，因而，故， 与不相关。
3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：

一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）
解：设这类电子管的寿命为，则

所以三个这类管子没有一个要替换的概率为；三个这类管子全部要替换的概率是。
3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球体积的密度函数。
解：设球的直径为，则其体积为。的反函数。由的密度函数，，得的密度函数为

3.45 设随机变数服从分布，求的分布密度。
解：在时，
。
所以的分布密度
。
3.46 设随机变数服从分布，求的分布密度。

解：的反函数。由服从分布，推得的分布密度为

3.47 随机变数在任一有限区间上的概率均大于（例如正态分布等），其分布函数为，又服从上的均匀分布。证明的分布函数与的分布函数相同。
解：因为在任一有限区间上的概率均大于，所以是严格上升函数。由于上的均匀分布，所以的分布函数，对任意的都成立。所以与的分布函数相同。
3.48 设随机变量与独立，求的分布密度。若（1）与分布服从及上的均匀分布，且；（2）与分别服从及上的均匀分布，。
解（1）其它。
，其它。

=
=，其它。
（2），其它，
，其它。

=
=，其它
3.49 设随机变量与独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为

求+的密度函数。

解： ，
，
当时，

当时，

所以

3.50 设随机变量与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为

证明：也服从同一分布。
证：

所以

即也服从相同的柯西分布。
3.51 设随机变量与独立，分别具有密度函数

（其中），求+的分布密度。
解：时，

时，

3.53 设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的分布。
解：服从上的均匀分布，据3.48(2)知，

在时，的分布函数

所以的分布密度为

3.54 设随机变量与独立，分别服从参数为与的指数分布，求的分布密度。
解：由得，所以

在时，

在时，

所以

3.56 设随机变量与独立，且分别具有密度函数为

证明服从分布。
证：由得。故

令，则

所以服从分布。
3.58 设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的密度函数。
解：
当时，

当时

所以的密度函数为

3.59 设随机变量与独立，都服从参数为的指数分布，求的密度函数。
解：在时，

在时，。
3.60 设二维随机变量的联合分布密度为

证明：与不独立，但与独立。
证：由于，所以与不独立。由于

所以对一切的，都有，故与相互独立。
3.61 设随机变量具有密度函数

求。
解：

3.62 设随机变量具有密度函数

求及。
解 ，
，
。
3.63 设随机变量的分布函数为

试确定常数，并求与。
解：由分布函数的左连续性，

故。

=，
。
3.64 随机变量具有密度函数

其中求常数及。
解：
=，
故
。

=

3.66 设随机变量服从上的均匀分布，求的数学期望与方差。
解：
。
3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。
解：设旅客候车时间为（秒），则服从上的均匀分布，则
，
，
。
3.71 设为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的，有
。
证：同分布，又，所以都存在且相等。由于

，所以
。
3.72 设是非负连续型随机变量，证明：对，有
。
证：

。
3.73 若对连续型随机变量，有，证明有。
证：
。
3.75 已知随机变量与的相关系数为，求与的相关系数，其中均为常数，皆不为零。
解：
=
3.81设随机变量中任意两个的相关系数都是，试证：。
证：

=，
故。
3.84证明下述不等式（设都是连续型或离散型随机变量）：

（1）若与都有阶矩，则有
)
(2)若与都具有阶矩，则
证：（1）时，即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。
在时，是的下凸函数，故
即 故
（2）在时，，故

3.88 设二维随机变量的联合分布密度为
其中。求条件下的条件分布密度。
解：。故
3.89 设随机变量服从分布，随机变量在时的条件分布为，求的分布及关于的条件分布。
解：
，
故
，
故在时，的条件分布为。