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关于中国GDP是否超过美国的研究
摘要
自2008年全球经济危机以来，中国经济何时能超越美国逐渐成为一个热门话题，最近世界银行发布的一份报告声称基于PPP统计的GDP中国已经超越美国，这份报告更是在国内引起了轩然大波，中国GDP真的已经超越美国了么？我们通过数学模型来分析这个问题。
对于经济指标经常采用的建模方法是回归分析模型和ARIMA模型。本文首先就‘2014年中国GDP是否超过美国’这一问题进行分析整理。取1990年至2012年的中国GDP数据和1960年至2012年的美国GDP数据为样本，通过整理分析数据绘制出GDP关于时间的散点图，建立回归模型，计算出2014年中国GDP预测值为103890亿美元，而美国为167320亿美元。再比较两国基于平价购买力计算的GDP从而得出结论，中国GDP不会在2014年超越美国。
对问题二“预测多少年中国人均收入可以达到美国水平”进行分析。考虑到由于两国国民人均收入相差太大，回归分析模型在中长期的预测效果较差，我们使用更精确的ARIMA模型进行中长期预测。取1978年起的中国人均GNI数据为样本，使用ARIMA模型建模，首先确定对样本数据进行平稳性检验。采用单位根检验来精确判断该样本的平稳性，然后我们通过计算样本截尾性和拖尾性对比表-0初步识别模型阶数并通过计算 进行准确定阶，最终求解得到美国2012年人均GNI为46084.4129美元，对比得到中国在2037年才能达到2012年的人均GNI水平。
对问题三如何理解‘经济体’。考虑到经济体的本义概念范围过于广泛，通过讨论我们决定结合前两问，从GDP和人均GNI入手，定义资本产出系数计算的国家通货购买力指数来衡量“经济体”。通过对国家通货购买力指数建立模型，求得相比于美国，中国货币购买力增加较快，但其国民生产能力并未达到与购买力相同的增速，基于PPP计算的中国GDP虽然很高但不能说明中国是一个强大的“经济体”。从而得出结论，2014年中国不能超越美国的成为世界“头号经济体”。
最后我们将计算结果简化叙述为新闻稿。

关键词： 回归分析模型 ARIMA模型 ARMA模型
国家通货购买力指数 资本产出系数

一、 问题重述
来自世界银行（WorldBank）的201国际银行4年4月29日的一份报告称“中国今年超越美国成为世界头号经济体”。国际银行的“国际比较计划”列出了各国基于购买力平价（PPP）的GDP数据。数据中指出，作为对真实生活成本的估计，购买力平价被认为是比较经济体规模的最佳方式，所以贫穷国家的货币购买力比预期要强。据此计算，中国基于PPP的GDP于2011年已达到美国的86.9%，加上2011至2014年24%的经济增长，对比美国仅增长7%，中国GDP超美今年有望实现。
请建立模型从下面几个方面回答问题:
1. 2014年中国GDP是否超过美国?
2. 预测多少年中国人均收入可以达到美国的水平?
3. 你如何理解“经济体”的概念? 2014年中国能否超越美国成世界头号“经济体”?
4. 能否写一篇新闻稿阐述你的计算。

二、 问题分析
在对经济指标进行量化的过程中，需要大量实时数据作为随机变量序列来进行分析拟合，本文数据如无特殊说明均出自世界银行年报。我们通过对数据的分析发现经济指标的特殊性，经济指标往往是基于时间序列的自相关函数，所以我们初步考虑使用回归分析模型或ARIMA模型进行拟合。
2.1问题一的分析
事实上，由于GDP的统计有多种算法，而本次问题设计到宏观GDP和基于平价购买力的GDP，在处理问题的时候我们分别对两种GDP进行拟合，从而进行比较中美两国GDP。初步考虑使用回归分析模型分析两国GDP，用MATLAB统计工具箱的命令regress求解从而得到拟合曲线，分别预测两国2014年GDP，比较得到中国GDP是否超过美国。
考虑到中国建立起完整的市场经济体制是在1985年以后，所以我们取1990年至2012年的中国GDP数据为样本，而美国早在20世纪初就已经建立完善的市场经济，我们取1960年至2012年的美国GDP数据为样本。
2.2问题二的分析
考察人均收入GNI，但是由于两国国民人均收入相差太大，回归分析模型在中长期的预测效果较差，我们使用更精确的ARIMA模型进行中长期预测。取1978年起的中国人均GNI数据为样本，使用ARIMA模型建模步骤如下：
1) 根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
2) 对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
3) 根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。或使用BIC估计模型阶数然后建立ARMA模型进行预测。
4) 进行参数估计，检验是否具有统计意义。
5) 进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。
6) 利用已通过检验的模型进行预测分析。

2.3问题三的分析
为了更好地用数学方法分析“经济体”这个概念，我们需要确定从哪个方面比较“经济体”具有较高的可信度，结合问题一和问题二，并翻阅文献［3］，我们决定从国家购买力 这一指标来衡量“经济体”。通过对国家购买力建立相应的模型，围绕国家购买力对中美两大“经济体”进行比较，从而分析中国是否在2014年超越美国成为世界头号“经济体”。
2.3问题四的分析
结合以上三问得出的预测模型叙述即可。
三、 问题假设
假设：
1) 假设样本数据来源准确，忽略数据的测量误差。
2) 假设预期过程中没有战争，大型全球性经济危机之类极大影响样本数据的客观因素。
3) 假设GNI与基于平价购买力计算的GDP相互独立。

定义：
1) 考虑到资本产出系数计算的复杂性，为简化计算并符合实际要求，我们假设资本产出系数定义如下：
资本产出系数 ： ， （3-1）
这里为基于本币单位的国民总收入，GDP为基于本币单位的国民生产总值，PPP为对GDP平价购买力转换因子，因此，上式含义为：用国民总收入减去基于平价购买力计算的国内总产出得到的实际购买力系数。

四、 名词解释
1) 国民生产总值GDP ( Gross Domestic Product)：以购买者价格计算的GDP是一个经济体内所有居民生产者创造的增加值的总和加上任何产品税并减去不包括在产品价值中的补贴。计算时未扣除资产折旧或自然资源损耗和退化。数据为现价美元。
2) 按购买力平价 PPP衡量的 GDP：按购买力平价PPP计算的GDP是指用购买力平价汇率换算为国际元的国内生产总值。国际元的购买力与美元在美国的购买力相当。GDP是一个经济体内所有居民生产者创造的增加值的总和加上产品税并减去不包括在产品价值中的补贴。计算时未扣除资产折旧或自然资源损耗和退化。数据以现价国际元计。
3) 购买力平价 PPP (Purchasing Power Parity)：购买力平价转换因子是在国内市场购买与在美国使用一美元购买同样数量的货物和服务所需要的一个国家的货币单位的数量。这个转换因子是适用于GDP的。
GDP与基于PPP计算的GDP计算公式：
（4-1）
4) GDP年增长率：国内生产总值（GDP）增长率是指GDP的年度增长率,需用按可比价格计算的国内生产总值来计算。 GDP增长率是宏观经济的四个重要观测指标之一，（还有三个是失业率、通胀率和国际收支）。
GDP增长率的计算公式为：
（4-2）
5) 国民总收入GNI (Gross National Income) ：国民总收入（GNI，以前称为 GNP）指所有居民生产者创造的增加值的总和，加上未统计在产值估计中的任何产品税（减去补贴），加上来自境外营业的原始收入（雇员薪酬和财产收入）的净收益。

6) 人均国民总收入GNI： 人均国民总收入（GNI）是以国民总收入除以年中人口数。国民总收入（GNI，以前称为 GNP）指所有居民生产者创造的增加值的总和，加上未统计在产值估计中的任何产品税（减去补贴）。

7) 国际通货购买力( International Buying Power)：国家支付货币购买商品或劳务的能力，或者说在一定时期内用于购买商品的货币总额，通常以当期实际汇率转化成美元进行计算。
国际通货购买力计算公式：
（4-3）
其中 为当期实际汇率， 为资本产出系数。
8) 汇率（exchange rate）：官方汇率指的是由国家当局确定的汇率或由合法的外汇市场确定的汇率。它是根据月平均值计算的年平均值（本币单位相对于美元的价值）。
9) 决定系数：决定系数是衡量拟合优度的一个重要指标，它的取值介于0与1之间，其计算公式为： （4-4）
越接近于1，拟合程度越好；反之越差。
10) 相关系数：相关系数是一个用于测定因变量与自变量之间线性相关程度的指标，其计算公式为：
（4-5）
相关系数与决定系数之间存在关系式： ， （4-6）

11) 检验
假设如下统计量：
（4-9）
服从分布，取显著性水平，则表明回归模型显著；如果，则表明回归模型不显著，该回归模型不能用于预测。
12) BIC准则（贝叶斯信息量 Bayesian Information Criterion）
（4-10）
若某一阶数 满足 ，其中 为最高阶数，为拟合残差方差，则取为最佳阶数。

五、 符号说明

29

a) 决定系数
b) 相关系数
c) BIC准则
d) 为拟合残差方差
e) 资本产出系数
f) 国家购买力指数
六、 模型的建立与求解
第一部分：模型的准备
回归分析模型
多项式回归模型为:
（6-1）
将数据点代入，有
， (6-2)
式中是未知参数，为剩余残差项或随机扰动项，反映所有其他因素对因变量的影响。
ARIMA模型
ARIMA模型（Autoregressive Integrated Moving Average model）差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动）。中，是"自回归"，为自回归项数；为"滑动平均"，为滑动平均项数，为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。
模型可以表示为：
（6-3）
其中 是滞后算子（Lag operator），
对ARIMA模型作次差分后即可得到ARMA模型。
ARMA模型
ARMA模型的一般形式为
（6-4）
用 表示 步线性推移算子，即 ， 为常数
并令 ， 记为 (6-5)
这一模型就称作阶自回归阶滑动平均混合模型，记为模型，特殊地，若，称作纯滑动平均模型 ，记为 ；若，称作纯自回归模型，记为 ．若 ，模型退化为，即为白噪声列。

对于ARIMA模型和ARMA模型的定阶
对时间序列的，首先要进行相关性分析。相关性分析的任务是计算序列 的样本的自相关函数和样本偏相关函数，并由他们的截尾性和拖尾性来进行模型类别的判断。可根据下表6-0进行模型结构的初选。

自相关函数
拖尾
截尾
拖尾
偏相关函数
截尾
拖尾
拖尾
表6-0
第二部分：模型的建立
6.1问题一的模型建立与求解：
(一) 回归分析方法：
取1990年至2012年以现价美元计算的中国GDP数据，记GDP数据为随机变量序列 ， 对随机变量序列转置得到 维列向量。
用MATLAB统计工具箱的命令regress求解，使用格式为

其中 为GDP总量, 为对应于回归系数 的数据矩阵 (的矩阵), alpha为置信水平（缺省时 =0.05）; 为 的估计值, 为 的置信区间 为残差向量, 为 的置信区间，为回归模型的检测统计量，有四个值，第一个是回归方程的决定系数（是相关系数），第二个是 统计量，第三个是与 统计量对应的概率，第四个是剩余方差.

对中国GDP建立模型：
用MATLAB绘制中国GDP随时间变化的图像，如图6-11：

图6-11

从图1中我们大致可以确定该图与幂函数多项式的图像较为相近，所以我们建立了多项式模型，运用MATLAB统计工具箱的命令regress计算得到下表6-1：

回归检验参数
多项式的次数
决定系数
回归方程的F统计
拒绝无效假设的概率
2
0.96863
308.76
0
3
0.99665
1883.9
0
4
0.9969
1449.1
0
5
0.9984
2116.5
0
6
0.99843
1696.1
0
7
0.99848
1411.3
0
8
0.99849
1155.2
0
表6-1

从上表中可以看出随着多项式次数的增加决定系数R的值也在增加。多项式的次数二次到五次，回归方程的F统计量在增加，但五次以后F的值突然减小造成拟合效果变差。于是本文选择了五次多项式来拟合。
模型求解：
利用MATLAB统计工具求解，得到回归系数估计值及置信区间
（置信水平=0.05）。
如表6-2：
模型计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间

6490.6
2210.9
10770

-3662.5
-6989.4
-335.7

1301.4
486.63
2116.1

-151.6
-235.59
-67.614

7.456
3.6313
11.281

-0.11962
-0.18308
-0.056152
表6-2
于是得到回归方程:
（6-6）
绘图如图6-12：

图6-12

由上图，我们可以进一步确定拟合效果非常好。

将2014年，带入中国GDP的预测公式:
（6-7）
得到，2014年，中国GDP的预测值为：103,890亿美元。
代入（4-1）计算得到的基于PPP的GDP为：165570亿美元。

对美国GDP建立模型：
取1990年至2012年的以现价美元计算的美国GDP数据，记GDP数据为随机变量序列 ， 对随机变量序列转置得到 维列向量。
用MATLAB绘制美国GDP以及GDP增长率随时间变化的图像得到图6-13：

图6-13
从上图中我们大致可以确定该图与幂函数多项式的图像较为相近，所以我们建立了多项式模型，运用MATLAB统计工具箱的命令regress计算得到下表6-3：

回归检验参数
多项式的次数
决定系数
回归方程的F统计
拒绝无效假设的概率
3
0.99805
8367.2
0
4
0.99828
6984.1
0
5
0.99857
6554.3
0
6
0.99893
7185.2
0
7
0.99894
6032.8
0
表6-3

根据上表得出多项式的次数是九次方的时候，拟合效果最好。但是由建模的“约间”性原则，我们初步判断合适的多项式为五次方。

模型求解：
利用MATLAB统计工具求解，得到回归系数估计值及置信区间
（置信水平=0.05），如表6-4:

模型计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
β0
8035.9
4125.9
11946
β1
-1437.5
-2852.2
-22.742
β2
229.05
70.437
387.66
β3
-8.9901
-16.359
-1.6214
β4
0.20586
0.055993
0.35573
β5
-0.0016741
-0.0027789
-0.00056922
表6-4

绘制美国从1990年到2012年GDP的拟合曲线，如图6-14：

图6-14

可以得到回归方程:
（6-8）

可以求出2014年美国GDP: 167320亿美元，由于以美元为国际元，所以通过代入（4-1）计算出的基于PPP计算的GDP也是167320亿美元。

结论：
综上所述，我们发现，对GDP进行拟合得到2014年中国GDP为103890亿美元，2014年美国GDP为167320亿美元。中国GDP仅为美国GDP的62.09%。
但是比较基于PPP的GDP，2014年中国GDP为165570亿美元，2014年美国GDP为167320亿美元，中国GDP为美国GDP的98.95%。

综上，预测2014年中国GDP不会超过美国。
6.2问题二
我们取1978年至2012年以现价美元计算的中国人均GNI数据为样本。单位为美元。样本序列为：
，这里 。
对中国人均GNI简历ARIMA模型：

首先确定对样本数据进行平稳性检验。采用单位根检验来精确判断该样本的平稳性，若样本序列不平稳则进行差分处理后再判断其平稳性，进行次差分得到平稳样本序列后即可将模型转化为模型。通常。事实上我们可以对样本连续差分后观察得到的样本图样来确定 的取值。
然后我们通过计算样本截尾性和拖尾性对比表-0初步识别模型阶数并通过计算进行准确定阶。计算： 即可求得准确阶数。
我们使用SPASS软件进行计算后得到图6-21：

图6-21

其中横坐标为项数，1978年为第一项，纵坐标为人均DNI，单位美元。

并得到相关度资料，如表6-21：
模型統計資料
模型
預測變數數目
模型適合度統計資料
Ljung-Box Q(18)
平穩 R 平方
MaxAE
標準化 BIC
統計資料
DF
人均GNI-模型
0
0.157
80.745
6.463
15.599
17
表6-21

其中 即为 ，
下面我们来确定模型方程：
对 进行一阶差分得到 ，再进行二阶差分后得到样本序列，并有 。得到 的模型 。
将代入（6-4）得到：
， （6-6）

求解：
下面进行参数估计，用SPASS输出得到表6-22：
ARIMA 模型參數

估計
SE
T
显著性
人均GNI-模型
人均GNI
自然對數
AR
落後 2
-0.391
0.166
-2.360
.025

2

表6-22
得出：
（6-7）
即为所求。

下面进行适合度检验，如表6-23和6-24:
模型適合度
適合度統計資料
平均數
SE
最小值
最大值
百分位數
5
10
25
平穩 R 平方
0.157
.
0.157
0.157
0.157
0.157
0.157
R 平方
0.999
.
0.999
0.999
0.999
0.999
0.999
標準化 BIC
6.463
.
6.463
6.463
6.463
6.463
6.463
表6-23

適合度統計資料
百分位數
50
75
90
95
平穩 R 平方
0.157
0.157
0.157
0.157
R 平方
0.999
0.999
0.999
0.999
標準化 BIC
6.463
6.463
6.463
6.463
表6-24

从图表可以发现拟合程度极佳，再次运行SPASS输入（6-7）计算出预测值，
如表6-25：
預測
年份
2036
2037
2038
2039
2040
人均GNI-模型
預測
42887.07
50966.57
61026.24
73645.40
89597.90
UCL
247611.57
311641.28
393383.80
498002.51
632233.64
LCL
1630.54
1514.70
1402.96
1295.72
1193.29
表6-25

查表得到美国2012年人均GNI为46084.4129美元，对比表格得到中国在2037年才能达到2012年的人均GNI水平。

同理我们可以用ARIMA模型对第一问问题进行检验。并比较回归分析模型和ARIMA模型的优劣性。
下面我们简单地用ARIMA模型检验下第一问使用回归分析模型得到的结果。
使用SPASS分别计算中国，美国的GDP得到表6-26：

模型類型
模型
中国GDP
模型_1
ARIMA(1,1,0)
美国GDP
模型_2
ARIMA(1,1,0)
表6-2
通过计算得到：
2014年中国GDP为109940.41亿美元。
2014年美国GDP为171777.82亿美元。
中国GDP为美国GDP的64.00%，与回归分析模型计算结果相近。下面我们来比较决定系数 ，SPASS输出如下表6-27

模型適合度
適合度統計資料
平均數
SE
最小值
最大值
CN平穩 R 平方
0.550
0.125
0.462
0.638
R 平方
0.998
0.007
0.998
0.999
US平穩 R 平方
0.462
0.462
0.550
0.638
R 平方
0.998
0.990
0.998
0.999
表6-27
ARIMA模型的（US） （CN），
回归分析模型的（US） （CN）

发现在短期预测中ARIMA模型与回归分析模型拟合精度相近，但由模型本身特点可以发现ARIMA模型的预测精度显然更高一点。

6.3 问题三

下面我们来阐述问题三，在我们翻阅相关资料中，都没有对经济体的严格定义，但是大多数文献在分析世界著名经济体时多使用GDP为主要依据，我们设想，是否可以通过计算两国国际通货购买力指数 来比较这两个“经济体”。 因此为计算国际通货购买力指数 我们先定义由国民总收入GNI与基于平价购买力的GDP为自变量组成的资本产出系数函数 （假设定义3-1）。
构建模型：
1) 设GNI样本序列为：
2) 设基于平价购买力计算的GDP样本序列为：
由假设3我们知道， 与 相互独立，且都是其自身的自相关函数，考虑到ARIMA模型具有较高的准确性和精度，我们依然选择使用ARIMA模型进行预测。
首先我们找出资本支出系数 ，由于 与都是其本身的自相关函数，代入3-1发现 为关于本身样本序列的自相关函数。得到之后代入国际通货购买力计算公式4-3得到国际通货购买力 。

求解：
我们选择1990年至2012年中美两国的GNI与基于PPP计算的GDP为总体。首先对样本作如下处理：
1) 令中国GNI数据为样本序列 ，
2) 令中国基于PPP计算的GDP为样本序列 ，
3) 令实际汇率为
设样本序列 ，得到样本序列 ，
下面重复问题二的建模步骤在此不再赘述。使用SPASS软件计算得到图6-31

图6-31
其中横坐标为项数，1990年为第一项，纵坐标为 ，单位美元。

并得到相关度资料，如表6-31：
模型統計資料
模型
預測變數數目
模型適合度統計資料
Ljung-Box Q(18)
平穩 R 平方
R 平方
標準化 BIC
統計資料
DF
cnQe-模型
0
-1.332E-15
0.993
1.156
20.556
18

表6-31

下面进行参数估计，用SPASS输出得到表6-32：

ARIMA 模型參數

估計
SE
T
顯著性
cnQe-模型
cnQe
無轉換
常數
-2.673
0.354
-7.545
0.000
差異
1

表6-32
再次运行SPASS计算出预测值，如表6-33：
預測
模型
24
25
cnQe-模型
預測
-68.81
-71.57
UCL
-65.44
-66.09
LCL
-72.19
-77.05

表6-33
得到2014年中国
再对样本作如下处理：
1) 令美国GNI数据为样本序列 ，
2) 令美国基于PPP计算的GDP为样本序列 ，
3) 令实际汇率为 ，美元对自身汇率恒等于1
设样本序列 ，得到样本序列
用SPASS软件计算得到图6-32：

图6-31
其中横坐标为项数，1990年为第一项，纵坐标为 ，单位美元。
并得到相关度资料，如表6-34：
模型統計資料
模型
預測變數數目
模型適合度統計資料
Ljung-Box Q(18)
平穩 R 平方
標準化 BIC
統計資料
DF
顯著性
cnQe-模型
0
0.379
1.112
7.386
17
0.978

表6-34
下面进行参数估计，用SPASS输出得到表6-35：
ARIMA 模型參數

估計
SE
T
顯著性
usaQe-模型
usaQe
無轉換
常數
0.148
0.153
0.971
0.343
差異
1

表6-35

再次运行SPASS计算出预测值，如表6-36：
預測
模型
24
25
usaQe-模型
預測
2.85
3.00
UCL
4.34
5.11
LCL
1.36
.89

表6-36
得到2014年美国
结果分析：
分析国际通货购买力公式4-3：以及资本产出系数倒数 ，
由于 ，GNI为国民总收入，而GDP为国民生产总值，两者之差可大致表示一个国家的净收入，但是PPP转换因子将该国货币在本国购买力转化成了国际购买力，表示了该国货币的国内购买能力，故表示该国货币的国际通货购买力，当然，从经济学角度分析，一个国家货币的国际购买力体现了该国的对外贸易信誉，国际收支能力，国民生产能力以及综合汇率的多种因素，所以通过假设计算得到的 具有实际意义，且越稳定越能体现经济体抗压能力，越小则表示该国货币实际国际购买力与国内总产出之间的不平衡，即越小越表示该国货币国际购买力较强但其本国产出并不具有与其国际购买力相应的产出能力。
经过上述计算得到2014年美国，2014年中国。即表示相比于美国，中国货币购买力增加较快，但其国民生产能力并未达到与购买力相同的增速，基于PPP计算的中国GDP虽然很高但不能说明中国是一个强大的“经济体”。

综上，2014年中国不能成为超越美国的世界“头号经济体”。

6.4 问题四
标题：中国是否超越美国成为头号‘经济体’大国？
2010年，世界各国GDP排行榜出炉，中国超过了日本，成为继美国之后世界第二大经济强国。据报道，2012年美国GDP名义增长3.9%，达到15.68万亿美元，占全球GDP的四分之一。排在第2位的是中国，名义增长率达到12.7%，大约是美国的三倍。随之，中国GDP将要超越美国、中国超越美国成为头号“经济体”强国的消息不胫而走。
中国真的超越美国成为世界头号经济体大国了么？
我们先来分析一下经济总量，取1990年至2012年的中国GDP数据和1960年至2012年的美国GDP数据，通过整理分析数据绘制出GDP关于时间的散点图，建立回归模型，计算出2014年中国GDP预测值为103,890亿美元，而美国为167，320亿美元，从而得出结论2014年中国GDP不能超过美国。再考察基于平价购买力的GDP来看，预计中国2014年基于平价购买力的GDP为165570亿美元，2014年美国GDP为167320亿美元，中国GDP为美国GDP的98.95%。这样计算得到的中国GDP已经相当接近美国GDP，看来世界银行报告并非无稽之谈。
下面我们比较一下两国国民的人均收入，即人均GNI。考虑到由于两国国民人均收入相差太大，回归分析模型在中长期的预测效果较差，我们使用更精确的ARIMA模型进行中长期预测。取1978年起的中国人均GNI数据，使用ARIMA模型建模，，最终求解得到美国2012年人均GNI为46084.4129美元，对比得到中国在2037年才能达到2012年的人均GNI水平。从人均收入上看中国要超越美国成为世界头号经济体还有很长的路要走。
不过“经济体”不能只从GDP和GNI两方面来衡量。为了更直观地反映两国数据，考虑到经济体的本义概念范围过于广泛，本文定义国家通货购买力指数这一指标来衡量“经济体”。又有著名经济学公式：国家购买力 = 汇率除以资本产出系数。选择1990年至2012年中美两国的GNI与基于PPP计算的GDP数据，建立ARIMA模型进行预测得到之后代入国际通货购买力公式得到国际通货购买力结果为：2014年美国国家通货购买力指数为3.0，而2014年中国的国家通货购买力指数为-71.6。即表示相比于美国，中国货币购买力增加较快，但其国民生产能力并未达到与购买力相同的增速，基于PPP计算的中国GDP虽然很高但不能说明中国是一个强大的“经济体”。从这方面来看，中国还远未达到美国的发达程度以及经济强度，更难超越美国成为世界头号经济体。
通过从三方面对中美两国经济指标的分析，可以看出中国与美国之间存在很大的差距，除此之外，把GDP作为经济体的重要衡量依据本身也存在问题，最强并不一定是最好的，也并不意味着能满足成千上万人的需求，谁拥有更大的绝对或是调整后的GDP量无关紧要，重要的是谁的经济有活力、有重点、谁的独创性和创新性强，谁能够成功满足绝大多数国人的需要和期望。其实，GDP增长仅仅是动力系统的副产品，在一场中国赶超美国的统计骚乱中，我们只有不忘记这一点才能处理好这件事。

模型的优缺点分析
(一) 模型优点：
本文是分析数据做出合理的预测，用了回归分析模型以及ARIMA模型。根据两种模型的比较可以看出两种模型各有各的优缺点。
回归分析模型:
1) 回归分析模型理论上比较容易理解，参数较少。
2) 可以在已知因变量的前提下很好的求出拟合函数,并可以较好的做出短期预测。
ARIMA模型:
1) 用SPSS做ARIMA操作简单，易于上手。
2) ARIMA可以做出很好的拟合效果，而且长短期预测都很准确。
(二) 模型缺点：
回归分析模型：
1) 回归分析模型在MATLAB上操作比较复杂。
2) 在做长期预测的时候，预测很不准确。
ARIMA模型：
1) ARIMA模型理论复杂，参数较多，不易理解。
2) ARIMA模型不能很好的求出拟合函数。

七、 模型的推广及改进
推广：
本文建立的两种模型不仅适用于数学领域对数据的研究，它还适用于其它领域，如生物领域，医学领域，教学领域等。问题一用到的统计回归模型可以推广到生物学上对酶促反应、医学上对冠心病与年龄的评测以及教学评估。问题二用到的ARIMA模型除了可以预测国家的GDP，还可以应用于我国对外贸易中，如预算海关的税收。由此可见，本文建立的模型可以推广到多种领域，具有一定的实用价值。

改进：
1) 本文中应用的统计回归模型和ARIMA模型在对国内国外的GDP研究与预测中没有很好的结合在一起，可以说是相互独立的。应该寻求一种更为全面的模型，来对GDP做出合理的预算。
2) 本文中在分析和使用数据之前，没有将数据进行合理的统一，也没有对数据进行比较精确地筛选。
3) 问题三中定义国际通货购买力指数来衡量国家的经济体，条件比较单一，不具有权威的说服力。可以找出多种更合理的表达式来衡量经济体。
4) 在本文中应用的统计回归模型和ARIMA模型中，选用的参数不够全面，导致在模型的建立和求解时出现漏洞。应该推导出更多更好的表达式，来完善这一弊端。

八、 参考文献
［1］姜启源，谢金星，叶俊，《数学模型（第四版）》，北京，高等教育出版社，2011年。
［2］Mark M.Meerschaert，杨来福，杨淳等译，《数学建模方法与分析（原书第3版）》，北京，机械工业出版社，2009年。
［3］Robert S.Pindyck，Daniel L.Rubinfeld，钱小军等译，《计量经济模型与经济预测（第4版）》，北京，机械工业出版社，1999年。
［4］魏武雄，《时间序列分析——单变量和多变量方法》，北京，中国人民大学出版社，2009年。
［5］夏怡凡，《SPSS统计分析精要与实例详解》，北京，电子工业出版社，2010年。
［6］周建兴，岂兴明等，《Matlab从入门到精通（第2版）》，北京，人民邮电出版社，2012年。
［7］何正风，《Matlab在数学方面的应用》，北京，北京大学出版社，2012年。

附录：
数据来源：
［1］ 国家统计局

［2］ 世界银行（WorldBank）

MATLAB源代码：
图6-11：
%%中国GDP和GDP增长率基于时间的图像
clear;
x1=1990:2012;
y1=[3.56937E+11 3.79469E+11 4.22661E+11 4.40501E+11 5.59225E+11 7.28007E+11 8.56085E+11 9.52653E+11 1.01946E+12 1.08328E+12 1.19847E+12 1.32481E+12 1.45383E+12 1.64096E+12 1.93164E+12 2.2569E+12 2.71295E+12 3.49406E+12 4.52183E+12 4.99126E+12 5.93053E+12 7.32194E+12 8.2271E+12];
subplot(1,2,1);
plot(x1,y1,'+')
title('图一中国-GDP');
xlabel('时间/年');ylabel('GDP数值/美元');
axis square;
grid on;
y2=[3.8 9.2 14.2 14 13.1 10.9 10 9.3 7.8 7.6 8.4 8.3 9.1 10 10.1 11.3 12.7 14.2 9.6 9.2 10.4 9.3 7.8];
subplot(1,2,2);
plot(x1,y2,'.')
title('图二 中国-GDP增长率');
xlabel('时间/年');
ylabel('GDP增长率/%');
axis square;
grid on;
print('-dpng','china.dng')

图6-12：
%R=5时中国从1990年到2012年GDP随时间变化曲线拟合值与实际值
clear;
K=[3569.37 3794.69 4226.61 4405.01 5592.25 7280.