2006年考研数学二真题及答案.doc

2006年考研数学二真题
一、 填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）
(1) 曲线的水平渐近线方程为_________。
【答案】。
【解析】
故曲线的水平渐近线方程为。
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
(2) 设函数在处连续，则_________。
【答案】。
【解析】.
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性
(3) 反常积分_________。
【答案】
【解析】

综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(4) 微分方程的通解为__________。
【答案】，为任意常数。
【解析】
即，为任意常数
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
(5) 设函数由方程确定，则__________。
【答案】。
【解析】等式两边对求导得
将代入方程可得。
将代入，得.
综上所述，本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(6) 设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。
【答案】2。
【解析】

因为，所以。
综上所述，本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理
二、 填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则
(A) (B)
(C) (C)
【答案】A。
【解析】
【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图

由图可得
【方法二】
由凹曲线的性质，得，于是，即
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义
(8) 设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是
(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数
(C)在间断的奇函数 (D)在间断的偶函数
【答案】B。
【解析】显然在任何有限区间上都可积，于是连续，又因是奇函数，则是偶函数。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数
(9) 设函数可微，，则等于
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】.
由，
得
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(10) 函数满足的一个微分方程是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】因为是二阶常系数非齐次线性方程的解，故是对应的齐次方程的通解，是非齐次方程的特解，因此是齐次方程特征方程的根，齐次方程应为，这样可排除A和B，又因为是特征方程的单根，因此非齐次项为,因此答案为D。
综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—常微分方程—线性微分方程解的性质及解的结构定理，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程
(11) 设为连续函数，则等于
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】如图所示，显然是型域，则原式

综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
(12) 设与均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是
(A)若，则
(B)若，则
(C)若，则
(D)若，则
【答案】D。
【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。

作拉格朗日函数并记对应的参数的值为则即
消去得
整理得：
,
若则
综上所述，本题正确答案是D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
(13) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是
(A)若线性相关，则线性相关
(B)若线性相关，则线性无关
(C)若线性无关，则线性相关
(D)若线性无关，则线性无关
【答案】A。
【解析】
【方法一】因为线性相关，故存在不全为零的数使得
从而有

即由于不全为0而是上式成立，说明线性相关。
【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有

那么
因为线性相关，有
从而故线性相关。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩
(14) 设为三阶矩阵，将的第2行加到第1行的，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。
【解析】按已知条件，用初等矩阵描述有

所以。
综上所述，本题正确答案是B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
三、 解答题（15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
(15) （本题满分10分）
试确定常数的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小量。
【解析】由泰勒公式知：
则
,

比较等式两端同次幂的系数得
解得。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—泰勒公式
(16) （本题满分10分）
求.
【解析】本题用到了几个常用的积分公式
【方法一】令则

。
【方法二】

令则
,
则
【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的计算
(17) （本题满分10分）
设区域，计算二重积分.
【解析】本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。
积分区域如图所示，因为区域关于轴对称，函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数，则

,

故。

【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的计算
(18) （本题满分12分）
设数列满足.
(I)证明存在，并求该极限；
(II)计算.
【解析】本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。
(I) 用归纳法证明单调减且有下界，由于
则由知，设则
所以单调减且有下界，故极限
存在，记由知所以，即。
(II) 由于所以，考虑函数极限
又

则故
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算、单调有界准则

(19) （本题满分10分）
证明：
当时，.
【解析】本题可构造函数，利用函数的单调性来证明。
设
则

则在上单调减，从而有
因此，在上单调增，当时，
即 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—基本初等函数的性质
(20) （本题满分12分）
设函数在内具有二阶导数，且满足等式
(I)验证；
(II)若，求函数的表达式。
【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。
设则
,
,

,将代入得 。
(II) 令则两边积分得：
即即
由可得 所以有 两边积分得

由可得 故。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数
(21) （本题满分12分）
已知曲线的方程为
(I)讨论的凹凸性；
(II)过点引的切线，求切点，并写出切线的方程；
(III)求此切线与(对应于的部分)及轴所围成的平面图形的面积。
【解析】确定凹凸性，也就是确定二阶导数的正负，要求切线方程，先求斜率。
(I) 因为
所以
当时，故是凸的。

(II) 当时,,
,则时，在对应点处切线方程为不合题意，故设切点对应的参数为则在的切线方程为：

令得解得或，
由知，切点为切线方程为
(III) 令得对应曲线与轴的两个交点和由以上讨论知曲线和所求的切线如图所示，故所求平面图形面积为：

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、平面曲线的切线和法线
高等数学—一元函数积分学—定积分的应用

(22) （本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
有三个线性无关的解。
(I)证明方程组系数矩阵的秩；
(II)求的值及方程组的通解。
【解析】本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。
(I) 设是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么是线性无关的解，所以即
,显然矩阵中有阶子式不为又有从而秩

(II) 对增广矩阵作初等行变换，有

由题设和第一问知，故有

解出此时
那么是的解，且

是的基础解系，所以方程组的通解是
。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的通解
线性代数—矩阵—矩阵的秩
(23) （本题满分9分）
设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解。
(I)求的特征值与特征向量；
(II)求正交矩阵和对角矩阵，使得.。
【解析】本题中未知，故用定义法求解。
(I) 因为矩阵的各行元素之和均为即有所以是矩阵的特征值，是属于的特征向量。
又故是矩阵属于的两个线性无关的特征向量。因此矩阵的特征值是.
的特征向量为其中为常数；
的特征向量为其中是不全为0的常数。
(II) 因为不正交，故需要正交化，

单位化
那么令
得
【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算

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