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相似三角形题型讲解

相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似
例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。
评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，
求证：△ABC∽△BCD
分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°
又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°
∴△ABC∽△BCD
例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD
求证：△DBE∽△ABC

分析： 由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：在△CBE和△ABD中，
∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD
∴△CBE∽△ABD
∴=
即：=
在△DBE和△ABC中
∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用
∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC
∴∠DBE=∠ABC
且=
∴△DBE∽△ABC
例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
分析：本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形

(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA
解：设AB=a，则BE=EF=FC=3a，
由勾股定理可求得AE=，
在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且
所以△EAF∽△ECA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
注：以上两例中都用了相似三角形的判定定理2，该定理的灵活应用是教学上的难点所在，应注重加强训练。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DFAC=BCFE

分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线的性质进行证明：
证明：过D点作DK∥AB，交BC于K，
∵DK∥AB，∴DF：FE=BK：BE
又∵AD=BE，∴DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC
即DF：FE= BC：AC，∴DFAC=BCFE

例2：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MDME；（2）
证明：（1）∵∠BAC=900，M是BC的中点，
∴MA=MC，∠1=∠C，
∵DM⊥BC，
∴∠C=∠D=900-∠B，
∴∠1=∠D，
∵∠2=∠2，
∴△MAE∽△MDA，
∴，
∴MA2=MDME，
（2）∵△MAE∽△MDA，
∴，
∴
评注：（1）通过一对相似三角形来证明比例线段，是证比例线段的一种基本方法。本例第（1）小题证明MA2=MDME，经常可以把其中的MA看作一对相似三角形的公共边，再去寻觅与确定需证相似的三角形。
（2）本例的关键是证明△MAE∽△MDA，这种具有特殊关系（有一个公共角和一条公共边）的三角形的相似，在解题中应用很多，应从下面两个方面深刻理解：
命题1 如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。
命题2 如图，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。

例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。

分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。与结论相比较，显然问题转化为证。
证明：过D点作DG∥AB交FC于G
则△AEF∽△DEG。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）
（1）
∵D为BC的中点，且DG∥BF
∴G为FC的中点
则DG为△CBF的中位线， （2）
将（2）代入（1）得：

评注：（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。
（2）在探索证题思路的过程中，我们可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即构造相似形，写出比例式时要始终注意待证结论中的有关线段，并及时与待证结论中的有关线段进行比较，以便确定下一步需要解决什么问题。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例1：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：∠AEF=∠FBD
分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，
证明：作FG⊥BD，垂足为G。
设AB=AD=3k
则BE=AF=k，AE=DF=2k，
BD=
∵∠ADB=450，∠FGD=900
∴∠DFG=450
∴DG=FG=
∴BG=
∴
又∠A=∠FGB=900
∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD
评注：本例是通过构造一对相似三角形，而证明两个角相等，而证明两个三角形相似又运用了代数法，设参数，计算边长，从而证明两个三角形的对应边成比例。运用代数法解几何题一般在遇到正方形和正三角形的条件时效果很好，同学们可以试试看。
例2、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，
求证：SQ∥AB，RP∥BC

分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。要证明SQ∥AB，只需证明AR：AS=BR：DS。
证明：在△ADS和△ARB中。
∵∠DAR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC
∴△ADS∽△ABR
但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，
则，∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BC
例3、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且
AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD
分析：要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明AF∥CD，只要证明即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。
证明：∵AB∥ED，BC∥FE
∴，∴
两式相乘可得：
例4、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG

分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到（“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成证明。
证明：∵ FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF
则有
而FC∥DE ∴△AED∽△AFC
则有 ∴
又∵BE=DE（正方形的边长相等）
∴，即GF=CF。
例5、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，
求证：AE=BF
证明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，
故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴
又OF∥BC，∴
又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴，即
∴AE=BF。
评注：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。（2）要注意比例性质的灵活运用，善于总结比例式变换时的方法和技巧。变化时，要头脑清醒，思路清晰，一个字母也不放过，并且每一步都要有根有据，切不可无根据的乱变，或者相当然地硬变。

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