二次函数难题综合(附答案).doc

庞圣洁（二次函数难题）

一．选择题（共22小题）
1．（2015•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b=﹣2；
②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
④若a=1，则OA•OB=OC2．
以上说法正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③

2．（2013•泰安模拟）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A． B． C． D．

3．（2015•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（　　）
A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1

4．（2015•天桥区一模）如图，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤

5．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

6．（2015•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：
①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的顶点在第四象限．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．（2015•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（　　）

A．始终不相似 B．始终相似
C．只有AB=AD时相似 D．无法确定

8．（2015•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：
①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．
其中描述正确的有（　　）个．
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个

9．（2011•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2

10．（2013•盐城模拟）如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则的值为（　　）

A． B．2 C． D．

11．（2008•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2

12．（2008•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（　　）

A．M＞0 B．M＜0
C．M=0 D．M的符号不能确定

13．（2007•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最大值，且ac=4，则二次函数的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．（2012•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2

15．（2010•秀洲区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上，若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1=y2 D．y1与y2大小不能确定

16．（2013•天河区一模）如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，﹣3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1

17．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的，则a的取值范围（　　）
A．a＞ B．a＜0或a＞ C． D．

18．（2012•荣县校级二模）已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

19．（2012•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：
①抛物线交x轴有交点；
②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；
③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；
④抛物线的顶点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④

20．（2002•湖州）已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（　　）
A．|2+b||b+1| B．c（1﹣c） C．（b+1）2 D．

21．（2005•茂名）下列四个函数：
①y=kx（k为常数，k＞0）
②y=kx+b（k，b为常数，k＞0）
③y=（k为常数，k＞0，x＞0）
④y=ax2（a为常数，a＞0）
其中，函数y的值随着x值得增大而减少的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④

22．（2013•碑林区校级一模）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b

二．解答题（共8小题）
23．（2014•本溪）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；
（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．

24．（2014•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

25．（2014•遵义）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

26．（2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

27．（2014•义乌市）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；
②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（2015•黄冈模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．
①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

29．（2014•武汉）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．

30．（2014•六盘水）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

庞圣洁（二次函数难题）
参考答案与试题解析

一．选择题（共22小题）
1．（2015•陕西模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b=﹣2；
②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
④若a=1，则OA•OB=OC2．
以上说法正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】①二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值．
②根据图象的特点及与直线MN比较，可知当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在直线MN的下方．
③同②理．
④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA•OB的值，当x=0时，可得到OC的值．通过c建立等量关系求证．
【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴，
解得b=﹣2．
故该选项正确．

②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0
∴该二次函数图象开口向上
∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴直线MN的解析式为y﹣2=，
即y=﹣2x，
根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方，
∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；
方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，
所以二次函数图象与y轴交于负半轴．
故该选项正确．

③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．
故该选项错误．

④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1
当y=0时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得 x1•x2=c，
即OA•OB=|c|，
当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，
∴若a=1，则OA•OB=OC2，
故该选项正确．

总上所述①②④正确．
故选C．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定．

2．（2013•泰安模拟）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A． B． C． D．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．
【解答】解：如图
∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，
∴x2﹣x﹣=x﹣2，
解得：x=1或x=，
当x=1时，y=x﹣2=﹣1，
当x=时，y=x﹣2=﹣，
∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），
∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，
∴A′B′==．
∴点P运动的总路径的长为．
故选A．
【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．

3．（2015•潍坊模拟）若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（　　）
A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1
【考点】二次函数的性质；分式有意义的条件；函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据分式的意义，分母不等于0，得出x2﹣2x+c≠0，再根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，可知当二次项系数a＞0，△＜0时，有y＞0，此时自变量x的取值范围是全体实数．
【解答】解：由题意，得△=（﹣2）2﹣4c＜0，
解得c＞1．
故选C．
【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．难点在于分母是关于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，必须满足△＜0．

4．（2015•天桥区一模）如图，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】综合题；压轴题．
【分析】①由顶点坐标公式判断即可；
②根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数，抛物线当x大于0时为增函数，本选项正确；
③AB长不可能为5，由A、B的横坐标求出AB为5时，直线AB与x轴平行，即k=0，与已知矛盾；
④三角形OAB不可能为等边三角形，因为OA与OB不可能相等；
⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，作出对称后的图象，故y=﹣kx+b与抛物线交点横坐标分别为﹣3与2，找出一次函数图象在抛物线上方时x的范围判断即可．
【解答】解：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y=kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y=ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y=﹣kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示：

可得出直线y=﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选B．
【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线顶点坐标公式，一次函数与二次函数的增减性，关于y轴对称点的性质，利用了数形结合的思想，熟练对称性质及数形结合思想是判断命题⑤的关键．

5．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据图象得到x=﹣2时对应的函数值小于0，得到N=4a﹣2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=﹣1右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到a小于0，变形即可对于P作出判断，根据a，b，c的符号判断得出a+b﹣c的符号．
【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴a，b同号，
∴a＜0，b＜0，
∵图象经过y轴正半轴，
∴c＞0，
∴M=a+b﹣c＜0
当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，
∴N=4a﹣2b+c＜0，
∵﹣＞﹣1，
∴＜1，
∵a＜0，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，
∴P=2a﹣b＜0，
则M，N，P中，值小于0的数有M，N，P．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及a，b，c的符号是解题关键．

6．（2015•杭州模拟）关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：
①2a+b＜0；②ab＜0；③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；④抛物线y=2x2+ax+b﹣2的顶点在第四象限．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=﹣8，判定①正确；利用根与系数的关系求出a＜﹣8，b＞8，从而判定②正确；根据二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点，且顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位，与x轴不一定有交点，判定③错误，向下平移2个单位，顶点一定在第四象限，判定④正确．
【解答】解：∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根，
∴2×4+2a+b=0，
∴2a+b=﹣8＜0，故①正确；
∵x=2是方程2x2+ax+b=0的两个根中较小的根，
∴﹣＞2+2，＞2×2，
∴a＜﹣8，b＞8，
∴ab＜0，故②正确；
∵方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，
∴二次函数y=2x2+ax+b与x轴有两个交点，且对称轴在直线x=2的右边，
∴二次函数y=2x2+ax+b顶点坐标在第四象限，
向上平移2个单位得到二次函数y=2x2+ax+b+2，与x轴不一定有交点，
∴关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根错误，故③错误；
向下平移2个单位得到二次函数y=2x2+ax+b﹣2，顶点坐标一定在第四象限，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④共3个．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，二次函数图象与几何变换，③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键．

7．（2015•无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（　　）

A．始终不相似 B．始终相似
C．只有AB=AD时相似 D．无法确定
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】先求出点P的坐标，从而得到OP的长，再设点A的横坐标为m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根据△PEF和△PDO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA2、PE、PD，从而得到=，再根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似解答．
【解答】解：令x=0，则y=1，
∴OP=1，
设点A的横坐标为m，
则AD=﹣m2+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=1﹣（﹣m2+1）=m2，
在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，
在Rt△POD中，PD===，
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，
∴=，
即=，
解得，PE=m2，
∴PA2=PD•PE=m4+m2，
∴=，
∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD与△PEA始终相似．
故选B．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．

8．（2015•杭州模拟）下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：
①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．
其中描述正确的有（　　）个．
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
【考点】抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据m的取值进行判断，另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况．
【解答】解：令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，
△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2，
①当m≠3，m=±1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；
②当m=3时，△=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；
③若只有两个公共点，m=3或m=±1，故错误；
④若有三个公共点，则m≠3且m≠±1，故正确；
综上可得只有②④正确，共2个．
故选B．
【点评】此题考查了抛物线与x轴交点的知识，同学们容易忽略m=±1时，函数是一次函数的情况，这是我们要注意的地方．

9．（2011•黄石）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）
A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2
【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．
【解答】解：令m=0，
则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2．
故选D．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．

10．（2013•盐城模拟）如图，分别过点Pi（i，0）（i=1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则的值为（　　）

A． B．2 C． D．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：AiBi=x2﹣（﹣x）=x（x+1），
∴==2（﹣），
∴++…+=2（1﹣+﹣+…+﹣）=．
故选A
【点评】此题考查了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．

11．（2008•西湖区校级模拟）已知二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】压轴题；推理填空题．
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【解答】解：y=ax2﹣2ax+1（a＜0），
对称轴是直线x=﹣=1，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x=1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
A点关于直线x=1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＞y1＞y3，
故选D．
【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

12．（2008•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（　　）

A．M＞0 B．M＜0
C．M=0 D．M的符号不能确定
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】根据图象特征，首先判断出M中的各代数式的符号，然后去绝对值．
【解答】解：因为开口向下，故a＜0；
当x=﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0；
当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；
因为对称轴为x=＜0，又a＜0，则b＜0，故2a+b＜0；
又因为对称轴x=﹣＞﹣1，则b＞2a
∴2a﹣b＜0；
∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b，
因为2a﹣b＜0，a＜0，
∴3a﹣b＜0，即M＜0，
故选B．
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．

13．（2007•包头）已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最大值，且ac=4，则二次函数的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】已知二次函数y=ax2+2x+c（a≠0）有最大值，即抛物线的开口向下，因而a＜0．求抛物线的顶点坐标利用公式法：y=ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是x=；代入就可以求出顶点坐标，从而确定顶点所在象限．
【解答】解：顶点横坐标x==，纵坐标y==；
∵二次函数有最大值，即抛物线的开口向下，a＜0，
∴，，即：横坐标x＞0，纵坐标y＜0，顶点在第四象限．
故选D．
【点评】考查求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法：

14．（2012•蚌埠自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，Q（n，2）是图象上的一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2
【考点】抛物线与x轴的交点；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】由勾股定理，及根与系数的关系可得．
【解答】解：设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2．
依题意有AQ2+BQ2=AB2．
（x1﹣n）2+4+（x2﹣n）2+4=（x1﹣x2）2，
化简得：n2﹣n（x1+x2）+4+x1x2=0．
有n2+n+4+=0，
∴an2+bn+c=﹣4a．
∵（n，2）是图象上的一点，
∴an2+bn+c=2，
∴﹣4a=2，
∴a=﹣．
故选B．
【点评】此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是注意数形结合思想．

15．（2010•秀洲区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上，若x1＜x2，x1+x2=1﹣a，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1=y2 D．y1与y2大小不能确定
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中得y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①；y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②；利用作差法求出y2﹣y1＞0，即可得到y1＞y2．
【解答】解：将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）中，得：
y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①，
y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②，
②﹣①得：
y2﹣y1=（x2﹣x1）[a（3﹣a）]，
因为x1＜x2，3﹣a＞0，
则y2﹣y1＞0，
即y1＜y2．
故选B．
【点评】本题难度较大，要充分利用数据特点，进行计算．

16．（2013•天河区一模）如图，二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，﹣3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】根据函数图象，找出抛物线在直线上方的部分的自变量x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，当x＜1或x＞6时，抛物线在直线的上方，
所以，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，利用数形结合的思想解答即可，比较简单．

17．已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函数值始终是正的，则a的取值范围（　　）
A．a＞ B．a＜0或a＞ C． D．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】按照a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时，图象开口向上，只要顶点纵坐标为正即可；当a＜0时，抛物线对称轴为x=﹣1，根据对称性，只要x=5时，y＞0即可．
【解答】解：当a＞0时，图象开口向上，顶点纵坐标为=6a﹣3，当6a﹣3＞0，即a＞时，y＞0；
当a＜0时，抛物线对称轴为x=﹣1，根据对称性，只要x=5时，y＞0即可，此时y=25a+10a+7a﹣3＞0，解得a＞，不符合题意，舍去．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数开口方向，顶点坐标，对称轴在实际问题中的运用，还考查了分类讨论的数学思想．

18．（2012•荣县校级二模）已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】解：通过计算发现，当O与C重合时，S△ABC=2，据此推断出以AB为底边的三角形的高，从图上找到点C1、C2，再作CC3∥AB，使得C3与C到AB的距离相等，若求出C的坐标，则存在C3点，使得以AB为底的三角形面积为2．
【解答】解：∵S△ABC=×2×2=2，
可见，当O与C重合时，S△ABC=2，
作CD⊥AB，
∵AO=BO=2，
可见，△ACB为等腰直角三角形，
CD=2×cos45°=2×=．
由图易得，到AB距离为的点有C、C1、C2，
作CC3∥AB，
则CC3的解析式为y=﹣x，
将y=﹣x和y=x2组成方程组得，
，
解得，，，
则C3坐标为（﹣1，1），
可见，有四个点，使得S△ABC=2．
故选A．

【点评】本题考查了二次函数的性质，知道平行线间的距离相等以及知道同底等高的三角形面积相等是解题的关键．

19．（2012•下城区校级模拟）关于二次函数y=2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：
①抛物线交x轴有交点；
②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；
③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；
④抛物线的顶点在y=﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由二次函数的解析式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入b2﹣4ac，利用完全平方公式化简后，根据完全平方式恒大于等于0，可得出b2﹣4ac大于等于0，进而确定出该抛物线与x轴有交点，故①正确；将x=1代入抛物线解析式，求出y=0，可得出此抛物线恒过（1，0），故②正确；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，设方程