二次函数难题综合(附答案).doc
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1、庞圣洁(二次函数难题)一选择题(共22小题)1(2015陕西模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)经过点M(1,2)和点N(1,2),交x轴于A,B两点,交y轴于C则:b=2;该二次函数图象与y轴交于负半轴;存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上;若a=1,则OAOB=OC2以上说法正确的有()ABCD2(2013泰安模拟)如图,抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为()ABCD3(2015潍坊模拟)若函数y=的自
2、变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是()Ac1Bc=1Cc1Dc14(2015天桥区一模)如图,直线y=kx+b(k0)与抛物线y=ax2(a0)交于A,B两点,且点A的横坐标是2,点B的横坐标是3,则以下结论:抛物线y=ax2(a0)的图象的顶点一定是原点;x0时,直线y=kx+b(k0)与抛物线y=ax2(a0)的函数值都随着x的增大而增大;AB的长度可以等于5;OAB有可能成为等边三角形;当3x2时,ax2+kxb,其中正确的结论是()ABCD5(2013遵义)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,若M=a+bc,N=4a2b+c,P=2ab则M,N,P中,值小于0
3、的数有()A3个B2个C1个D0个6(2015杭州模拟)关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根,且较小的根为2,则下列结论:2a+b0;ab0;关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根;抛物线y=2x2+ax+b2的顶点在第四象限其中正确的结论有()A1个B2个C3个D4个7(2015无锡校级三模)已知抛物线y=x2+1的顶点为P,点A是第一象限内该二次函数图象上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD,PD交AB于点E,PAD与PEA相似吗?()A始终不相似B始终相似C只有AB=AD时相似D无法
4、确定8(2015杭州模拟)下列关于函数y=(m21)x2(3m1)x+2的图象与坐标轴的公共点情况:当m3时,有三个公共点;m=3时,只有两个公共点;若只有两个公共点,则m=3;若有三个公共点,则m3其中描述正确的有()个A一个B两个C三个D四个9(2011黄石)设一元二次方程(x1)(x2)=m(m0)的两实根分别为,且,则,满足()A12B12C12D1且210(2013盐城模拟)如图,分别过点Pi(i,0)(i=1、2、n)作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi则的值为()AB2CD11(2008西湖区校级模拟)已知二次函数y=ax22ax+1(a0)图象上三点A(1,y1),B
5、(2,y2)C(4,y3),则y1、y2、y3的大小关系为()Ay1y2y3By2y1y3Cy1y3y2Dy3y1y212(2008乐山)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,令M=|4a2b+c|+|a+b+c|2a+b|+|2ab|,则()AM0BM0CM=0DM的符号不能确定13(2007包头)已知二次函数y=ax2+2x+c(a0)有最大值,且ac=4,则二次函数的顶点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限14(2012蚌埠自主招生)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,Q(n,2)是图象上的一点,且AQBQ,则a的值为()ABC1D215(2010秀洲区一模)
6、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线y=ax2+2ax+4(0a3)上,若x1x2,x1+x2=1a,则()Ay1y2By1y2Cy1=y2Dy1与y2大小不能确定16(2013天河区一模)如图,二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+b的交点A,B的坐标分别为(1,3),(6,1),当y1y2时,x的取值范围是()A1x6Bx1或x6C3x1Dx3或x117已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+7a3在2x5上的函数值始终是正的,则a的取值范围()AaBa0或aCD18(2012荣县校级二模)已知直线经过点A(0,2),B(2,0),点C在抛物线y=x2的图象上,
7、则使得SABC=2的点有()个A4B3C2D119(2012下城区校级模拟)关于二次函数y=2x2mx+m2,以下结论:抛物线交x轴有交点;不论m取何值,抛物线总经过点(1,0);若m6,抛物线交x轴于A、B两点,则AB1;抛物线的顶点在y=2(x1)2图象上其中正确的序号是()ABCD20(2002湖州)已知抛物线y=x2+bx+c(c0)经过点(c,0),以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S,则S可表示为()A|2+b|b+1|Bc(1c)C(b+1)2D21(2005茂名)下列四个函数:y=kx(k为常数,k0)y=kx+b(k,b为常数,k0)y=(k为常数,k0,x0)
8、y=ax2(a为常数,a0)其中,函数y的值随着x值得增大而减少的是()ABCD22(2013碑林区校级一模)已知函数y=(xm)(xn)+3,并且a,b是方程(xm)(xn)=3的两个根,则实数m,n,a,b的大小关系可能是()AmabnBmanbCambnDamnb二解答题(共8小题)23(2014本溪)如图,直线y=x4与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C,连接BC(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;(2)点M在抛物线上,连接MB,当MBA+CBO=45时,求点M的坐标;(3)点P从点C出发,沿线段CA由C向A运动,同时点Q从点B
9、出发,沿线段BC由B向C运动,P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度,当Q点到达C点时,P、Q同时停止运动,试问在坐标平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻,以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,说明理由24(2014黔南州)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3)(1)求此抛物线的解析式;(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且
10、位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积25(2014遵义)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(1,0),与y轴交于点C若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由(3)当P,Q运动到t秒时,APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,
11、请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标26(2014兰州)如图,抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(1,0),C(0,2)(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标27(2014义乌市)如图,直角梯形ABCO的两边OA,OC在坐标轴的正半轴上,BCx轴,O
12、A=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A,B,C三点(1)求该抛物线的函数解析式;(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在梯形ABCO的一边上取点P当m=0时,如图1,点P是抛物线对称轴与BC的交点,过点P作PH直线l于点H,连结OP,试求OPH的面积;当m=3时,过点P分别作x轴、直线l的垂线,垂足为点E,F是否存在这样的点P,使以P,E,F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由28(2015黄冈模拟)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P
13、(x,y)(0x6)是抛物线上的动点,过点P作PQy轴交直线BC于点Q当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,其最大值是多少?是否存在这样的点P,使OAQ为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由29(2014武汉)如图,已知直线AB:y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A,B两点(1)直线AB总经过一个定点C,请直接出点C坐标;(2)当k=时,在直线AB下方的抛物线上求点P,使ABP的面积等于5;(3)若在抛物线上存在定点D使ADB=90,求点D到直线AB的最大距离30(2014六盘水)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点,并经过B点,已知A点坐标是(2
14、,0),B点的坐标是(8,6)(1)求二次函数的解析式(2)求函数图象的顶点坐标及D点的坐标(3)该二次函数的对称轴交x轴于C点连接BC,并延长BC交抛物线于E点,连接BD,DE,求BDE的面积(4)抛物线上有一个动点P,与A,D两点构成ADP,是否存在SADP=SBCD?若存在,请求出P点的坐标;若不存在请说明理由庞圣洁(二次函数难题)参考答案与试题解析一选择题(共22小题)1(2015陕西模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)经过点M(1,2)和点N(1,2),交x轴于A,B两点,交y轴于C则:b=2;该二次函数图象与y轴交于负半轴;存在这样一个a,使得M、A、C三点在同一条直线上
15、;若a=1,则OAOB=OC2以上说法正确的有()ABCD【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题;数形结合【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a0)经过点M(1,2)和点N(1,2),因而将M、N两点坐标代入即可消去a、c解得b值根据图象的特点及与直线MN比较,可知当1x1时,二次函数图象在直线MN的下方同理当y=0时利用根与系数的关系,可得到OAOB的值,当x=0时,可得到OC的值通过c建立等量关系求证【解答】解:二次函数y=ax2+bx+c(a0)经过点M(1,2)和点N(1,2),解得b=2故该选项正确方法一:二次函数y=ax2+bx+c,a0该二次函数图象开口向上点M(1
16、,2)和点N(1,2),直线MN的解析式为y2=,即y=2x,根据抛物线的图象的特点必然是当1x1时,二次函数图象在y=2x的下方,该二次函数图象与y轴交于负半轴;方法二:由可得b=2,a+c=0,即c=a0,所以二次函数图象与y轴交于负半轴故该选项正确根据抛物线图象的特点,M、A、C三点不可能在同一条直线上故该选项错误当a=1时,c=1,该抛物线的解析式为y=x22x1当y=0时,0=x22x+c,利用根与系数的关系可得 x1x2=c,即OAOB=|c|,当x=0时,y=c,即OC=|c|=1=OC2,若a=1,则OAOB=OC2,故该选项正确总上所述正确故选C【点评】本题是二次函数的综合题
17、型,其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定2(2013泰安模拟)如图,抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B若使点P运动的总路径最短,则点P运动的总路径的长为()ABCD【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】首先根据题意求得点A与B的坐标,求得抛物线的对称轴,然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A,作点B关于x轴的对称点B,连接AB,则直线AB与直线x=的交点是E,与x轴的交点是F,而且易得AB即是所求的长度
18、【解答】解:如图抛物线y=x2x与直线y=x2交于A、B两点,x2x=x2,解得:x=1或x=,当x=1时,y=x2=1,当x=时,y=x2=,点A的坐标为(,),点B的坐标为(1,1),抛物线对称轴方程为:x=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A,作点B关于x轴的对称点B,连接AB,则直线AB与对称轴(直线x=)的交点是E,与x轴的交点是F,BF=BF,AE=AE,点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=AE+EF+FB=AB,延长BB,AA相交于C,AC=+(1)=1,BC=1+=,AB=点P运动的总路径的长为故选A【点评】此题考查了二次函数与一次函数的综合应用注意找到点P运动的最短路径
19、是解此题的关键,还要注意数形结合与方程思想的应用3(2015潍坊模拟)若函数y=的自变量x的取值范围是全体实数,则c的取值范围是()Ac1Bc=1Cc1Dc1【考点】二次函数的性质;分式有意义的条件;函数自变量的取值范围菁优网版权所有【专题】计算题;压轴题【分析】先根据分式的意义,分母不等于0,得出x22x+c0,再根据二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象性质,可知当二次项系数a0,0时,有y0,此时自变量x的取值范围是全体实数【解答】解:由题意,得=(2)24c0,解得c1故选C【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法要使得本题函数式子有意义,必须满足分母不等于0难点在于分母是关于自
20、变量x的二次函数,要使自变量x的取值范围是全体实数,必须满足04(2015天桥区一模)如图,直线y=kx+b(k0)与抛物线y=ax2(a0)交于A,B两点,且点A的横坐标是2,点B的横坐标是3,则以下结论:抛物线y=ax2(a0)的图象的顶点一定是原点;x0时,直线y=kx+b(k0)与抛物线y=ax2(a0)的函数值都随着x的增大而增大;AB的长度可以等于5;OAB有可能成为等边三角形;当3x2时,ax2+kxb,其中正确的结论是()ABCD【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题;压轴题【分析】由顶点坐标公式判断即可;根据图象得到一次函数y=kx+b为增函数,抛物线当x大于0时
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