函数与方程思想在数列中应用.doc
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1、 . 典例42015湖北高考设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1a1,b22,qd,S10100.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当d1时,记cn,求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有,即解得或故或(2)由d1,知an2n1,bn2n1,故cn,于是Tn1,Tn.可得Tn23,故Tn6.数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似,但要注意数列问题中n的取值范围为正整数,涉及的函数具有离散性特点,其一般解题步骤是:第一步:分析数列式子的结构特征第二步:根据结构特征构造“特征”函数(方程),转化问题形式第三步:研究
2、函数性质结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质,主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究第四步:回归问题结合对函数(方程)相关性质的研究,回归问题【针对训练4】2016东城模拟已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12,且a2,a3,a41成等比数列,求数列an的通项公式an;(2)在(1)的条件下,数列an的前n项和为Sn,设bn,若对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值解(1)因为a12,aa2(a41),又因为an是正项等差数列,故公差d0,所以(22d)2(2d)(33d),解得d2或d1(舍去),所以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1),b
3、n,令f(x)2x(x1),则f(x)2,当x1时,f(x)0恒成立,所以f(x)在1,)上是增函数,故当x1时,f(x)minf(1)3,即当n1时,(bn)max,要使对任意的正整数n,不等式bnk恒成立,则须使k(bn)max,所以实数k的最小值为.数列1等差数列通项公式:ana1(n1)d.2等差数列前n项和公式:Snna1.3等比数列通项公式:ana1qn1.4等比数列前n项和公式:Sn.5等差中项公式:2anan1an1(nN*,n2)6等比中项公式:aan1an1(nN*,n2)7数列an的前n项和与通项an之间的关系:an.重要结论1通项公式的推广:等差数列中,anam(nm)
4、d;等比数列中,anamqnm.2增减性:(1)等差数列中,若公差大于零,则数列为递增数列;若公差小于零,则数列为递减数列(2)等比数列中,若a10且q1或a10且0q0且0q1或a11,则数列为递减数列3等差数列an中,Sn为前n项和Sn,S2nSn,S3nS2n,仍成等差数列;等比数列bn 中,Tn为前n项和Tn,T2nTn,T3nT2n,一般仍成等比数列失分警示1忽视等比数列的条件:判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件2漏掉等比中项:正数a,b的等比中项是,容易漏掉.3忽略对等比数列的公比的讨论:应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于1.4anan1d或q中注意n
5、的范围限制5易忽略公式anSnSn1成立的条件是n2.6证明一个数列是等差或等比数列时,由数列的前n项和想当然得到数列的通项公式,易出错,必须用定义证明7等差数列的单调性只取决于公差d的正负,而等比数列的单调性既要考虑公比q,又要考虑首项a1的正负.考点数列的概念、表示方法及递推公式典例示法题型1利用递推关系求通项公式典例1(1)已知正项数列an满足a11,(n2)a(n1)aanan10,则它的通项公式为()Aan BanCan Dann解析由(n2)a(n1)aanan10,得(n2)an1(n1)an(an1an)0,又an0,所以(n2)an1(n1)an,即,an1an,所以ana1
6、a1(n2),所以an(n1适合),于是所求通项公式为an.答案B(2)2015江苏高考设数列an满足a11,且an1ann1(nN*),则数列前10项的和为_解析由a11,且an1ann1(nN*)得,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n,则2,故数列前10项的和S1022.答案题型2利用an与Sn的关系求an典例22015全国卷Sn为数列an的前n项和,已知an0,a2an4Sn3.(1)求an的通项公式;(2)设bn,求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3,可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1,即2(an1an)aa(an1an)(an1a
7、n)由于an0,可得an1an2.又a2a14a13,解得a11(舍去)或a13.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn,则Tnb1b2bn.求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法(2)已知Sn与an的关系,利用an求an.(3)累加法:数列递推关系形如an1anf(n),其中数列f(n)前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法)(4)累乘法:数列递推关系形如an1g(n)an,其中数列g(n)前n项可求积,此数列求通项公式一般采用累乘
8、法(叠乘法)(5)构造法:递推关系形如an1panq(p,q为常数)可化为an1p(p1)的形式,利用是以p为公比的等比数列求解;递推关系形如an1(p为非零常数)可化为的形式考点等差、等比数列的运算典例示法题型1等差、等比数列的基本运算典例32015全国卷已知等比数列an满足a1,a3a54(a41),则a2()A2 B1C. D.解析设等比数列an的公比为q,a1,a3a54(a41),由题可知q1,则a1q2a1q44(a1q31),q64,q616q3640,(q38)20,q38,q2,a2,故选C.答案C题型2等差、等比数列性质的运算典例42016全国卷设等比数列an满足a1a31
9、0,a2a45,则a1a2an的最大值为_解析设an的公比为q,由a1a310,a2a45得a18,q,则a24,a32,a41,a5,所以a1a2ana1a2a3a464.答案641等差(比)数列基本运算中的关注点(1)基本量在等差(比)数列中,首项a1和公差d(公比q)是两个基本量(2)解题思路求公差d(公比q):常用公式anam(nm)d(anamqnm);列方程组:若条件与结论的联系不明显时,常把条件转化为关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元及整体计算,以减少计算量2等差(比)数列的性质盘点考点等差、等比数列的判断与证明典例示法典例52014全国卷已知数列an的前n项和为Sn,
10、a11,an0,anan1Sn1,其中为常数(1)证明:an2an;(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由解(1)证明:由题设,anan1Sn1,an1an2Sn11,两式相减得an1(an2an)an1.因为an10,所以an2an.(2)由题设,a11,a1a2S11,可得a21,由(1)知,a31.若an为等差数列,则2a2a1a3,解得4,故an2an4.由此可得a2n1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n14n3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n4n1.所以an2n1,an1an2.因此存在4,使得数列an为等差数列在本例题(2)中是否存在,使得an为等比数列?
11、并说明理由解由题设可知a11,a1a2S11,得a21,由(1)知a31,若an为等比数列,则aa1a3,即(1)21,解得0或3.当0时,anan11,又a11,所以a21,a31,an(1)n1,所以数列an为首项为1,公比为1的等比数列;当3时,a11,a22,a34,故可令an2n1,则anan122n1.Sn132n4,易得anan1与Sn1不恒相等,与已知条件矛盾综上可知,存在0,使得an为等比数列1等差数列的判定方法(1)证明一个数列an为等差数列的基本方法有两种利用等差数列的定义证明,即证明an1and(nN*);利用等差中项证明,即证明an2an2an1(nN*)(2)解选择
12、、填空题时,亦可用通项或前n项和直接判断通项法:若数列an的通项公式为n的一次函数,即anAnB,则an是等差数列前n项和法:若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A,B是常数),则an是等差数列2等比数列的判定方法(1)定义法:若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2),则an是等比数列(2)中项公式法:若数列an中,an0且aanan2(nN*),则数列an是等比数列(3)通项公式法:若数列通项公式可写成ancqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列(4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列提醒:若判断
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