两个随机变量的函数的分布幻灯片.ppt
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1、课件制作:应用数学系概率统计课程组概率统计课程组概率论与数理统计概率论与数理统计第五节第五节 二维随机变量的函数分布二维随机变量的函数分布3.5.1 和的分布和的分布3.5.1.1 离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布3.5.1.2 连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布3.5.2 一般函数一般函数 的分布的分布 3.5.4 最大值、最小值的分布最大值、最小值的分布 在第二章中,我们讨论了一维随机函数的分布,在第二章中,我们讨论了一维随机函数的分布,现在我们进一步讨论现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题,我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题,然后将其推广到
2、多个随机变量的情形然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量当随机变量X1,X2,Xn的联合分布已知时,的联合分布已知时,如何求出它们的函数如何求出它们的函数 Y=g(X1,X2,Xn),i=1,2,m的分布的分布?一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形例例1 若若X、Y独立,独立,P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解:=a0br+a1br-1+arb0 由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2,和的分布:和的分布:Z=X+Y 解:依题意解:依题意 例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分
3、别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式由卷积公式即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.r=0,1,例例3 设设X和和Y相互独立,相互独立,XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样,同样,Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次
4、数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的概率都为概率都为p.故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数,每次试验中出现的次数,每次试验中A出现出现的概率为的概率为p,于是于是Z是以(是以(n1+n2,p)为参数)为参数的二项随机变量的二项随机变量即即:若若X与与Y Y相互独立,相互独立,XB(n1,p),B(n,p),则则X+YB(n1+n2,p)二项分布的可加性二项分布的可加性类似已知类似已知:
5、若若X,Y相互独立相互独立,XP(1),YP(2),则则 X+YP(1+2)Possion分布的可加性分布的可加性例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解:Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.一、连续型分布的情形一、连续型分布的情形和的分布:和的分布:Z=X+Y 化成累次积分化成累次积分,得得由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式
6、是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别,当特别,当X和和Y独立,设独立,设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式.为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式即即如图示如图示:于是于是为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 即即解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发
7、x+y=z当当z 0 时时,1yx1可用可用卷积公式直接求密度函数卷积公式直接求密度函数与与通过分布函数求通过分布函数求密度函数密度函数两种方法求和的分布两种方法求和的分布x+y=z当0 z 1 时,1yx1zzx+y=z当1 z 2 时,z-11yx1zz1yx1x+y=z22当2 z 时,例例6 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午1212时时3030分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:1512:15到到12:4512:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:0012:00到到13:0013:00之之间间是是
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