实变函数测试题与答案.doc

实变函数试题一，填空题1. 设, , 则.2. ,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，.4. 若集合满足, 则为集.5. 若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:, .6. 设使闭区间中的全体无理数集, 则.7. 若, 则说在上.8. 设, ,若,则称是的聚点.9. 设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于.10. 设, 则的子列, 使得.二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若可测, 且,则.2. 设为点集, , 则是的外点. 3. 点集的闭集.4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若,满足, 则为无限集合.三, 计算证明题1. 证明:2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集.4. 设是集, .求.5. 设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求.6. 求极限: .实变函数试题解答一 填空题1. .2. 3. ; .4. 闭集.5. 6. .7. 几乎处处收敛于 或 收敛于.8. 对有.9. 10. 于.二 判断题1. . 例如, , , 则且,但.2. . 例如, , 但0不是的外点.3. . 由于.4. . 例如, 在 中, , 是一系列的闭集, 但是不是闭集. 5. . 因为若为有界集合, 则存在有限区间, , 使得, 则于.三, 计算证明题.1. 证明如下:2. 中任何一个元素可以由球心, 半径为唯一确定, , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集. 3. 令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故,令, 得到, 故可测. 从而可测.4. 已知, 令, 则.5. 将积分区间分为两两不相交的集合: , , , 其中为集, 是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并. 由积分的可数可加性, 并且注意到题中的, 可得 6. 因为在上连续, 存在且与的值相等. 易知由于在上非负可测， 且广义积分收敛，则在上可积， 由于， ，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）1. 非可数的无限集为c势集 2. 开集的余集为闭集。 3. 若mE=0，则E为可数集 4. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测 5. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积 二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分）1. _可数集之并是可数集。A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个 2. _闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个 3. 可数个开集之交是_A开集 B闭集 C F型集 D G型集 4. 若 |f| 在E上可积，则_A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限 三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：1. S-S=(S-S) 2. Efa=Efa- 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有? |f|d|f|d（7分）七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）1. sin(nx)d=? 2. 设f(x)=求d=? 3. 设f(x)= ?n=2,3, ?求d=? 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例) 1. 非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。 2. 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。 3. 若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。 4. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如） 5. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测，但不可积） 二、将正确答案填在空格内1 至多可数个 可数集之并是可数集。A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个2.有限个 闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个3.可数个开集之交是 G型集A开集 B闭集 C? F型集 D? G型集 4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限 A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）。四、证明下列集合等式1.S-S=(S-S) 解：=(S-S)2。Efa=Efa-证明： 所以，同理，? 故五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。? 证明：（分析法证明）设要证为开集，只须证明事实上，取时，自然有。? 故为开集。无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E， 且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有 |f|d|f|d证明：因为f(x)f(x) a.e于E，对任意由Fatou引理知|f|d|f|d而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：一方面|f|d= |f|d|f|d另一方面，|f|d= |f|d|f|d|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d故|f|d|f|d|f|d即|f|d= |f|d七、计算下列各题： 1sin(nx)d=?解：因为?sin(nx) 0于0，1第 3页? 共 4 页 ? 且|1则由Lebesgue控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02设f(x)=求d=?解：所以3设f(x)= ?n=2,3,? 求d=?解：因为f(x)=? ?n=2,3,在上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：d=。一、选择题 (共10题，每题3分，共30分)1.设是中有理数的全体，则在中的导集是 【 】(A) (B) (C) (D)2.设是一列闭集，则一定是 【 】(A)开集 (B)闭集 (C) 型集(D) 型集3.设是中有理数全体，则 【 】(A) 0 (B)1 (C) (D)-4.下面哪些集合的并组成整个集合的点 【 】 (A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，孤立点 (C) 孤立点，界点，外点(D) 孤立点，聚点，外点5.设是Cantor集，则 【 】(A) 与对等，且的测度为0(B) 与对等，且的测度为1(C) 与不对等，的测度为0(D) 与不对等，的测度为16. 设与在上可测，则是 【 】(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定7. 设在可测集上有定义，则是 【 】(A) 单调递增函数列(B) 单调递减函数列(C) 可积函数列(D) 连续函数列8. 设是任一可测集，则 【 】(A) 是开集 (B) 是闭集(C) 是完备集(D) 对任意，存在开集，使9设，则 【 】 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 410设是上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意，有下面条件成立，则 依测度收敛于 【 】 (A) (B) (C) (D) 二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)1.鲁津定理2.Fatou引理三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分)1. 若与它的真子集对等，则一定是有限集 【 】 2. 凡非负可测函数都是可积的 【 】3.设为空间中一非空集，若则 【 】4.设为可测集，则存在型集，使得，且 【 】5.在上可积，则在可积且 【 】四、证明题(共4题，每题10分，共40分)1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集2.上全体有理数点集的外测度为零3.设函数列在上依测度收敛，且于，则于4.设在上可积，则得 分阅卷人 判断题（每题2分，共20分）1.必有比大的基数。 （ ） 2.无限个闭集的并必是闭集。 （ ）3.若，则是至多可列集。 （ ）4.无限集的测度一定不为零。 （ ）5.两集合的外测度相等，则它们的基数相等。 （ ）6.若在的任意子集上可测，则在可测集上可测。 （ ）7.上可测函数列的极限函数在上不一定可测。 （ ）8.是上的可测函数，则可积。 （ ）9.若且，则于。 （ ）10.若在上可积，则在上也可积。 （ ）二、填空题（每题2分，共20分）1.设，则 ， 。2.设，则 ， 。3.设是开区间中有理点的全体，则 。4.单调函数的不连续点集的基数是 。 5.设是上的集，则 。6.闭区间 上的有界函数可积的充要条件是 。7. 狄利克雷函数函数是 可积的， 。三、计算题（每题10分，共20分）.1.计算。（提示：使用Lebesgue控制收敛定理）2. 设，其中是Cantor集，试计算。四、证明题（每题8分，共40分）1. 证明： 2. 设是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明是是至多可列集。3. 如果，则的任何子集也可测且测度为零。4.设在上可积，且于，证明：也在上可积。5. 可测集上的函数为可测函数充分必要条件是对任何有理数，集合是可测集。 一、单项选择题（3分5=15分）1、1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若, 则 (B) 是可测函数 （C）是可测函数;（D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数（C）在上L可积 (D) 二. 填空题(3分5=15分)1、_2、设是上有理点全体，则=_,=_,=_.3、设是中点集，如果对任一点集都有_，则称是可测的4、可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_,则称为 上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。2、若，则一定是可数集.3、若是可测函数，则必是可测函数。4设在可测集上可积分，若，则四、解答题（8分2=16分）.1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。2、（8分）求五、证明题（6分4+10=34分）.1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。 4、（6分）设在上可积，则.得 分阅卷人复查人5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）11. 非可数的无限集为c势集12. 开集的余集为闭集。13. 若mE=0，则E为可数集14. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测15. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分）16. _可数集之并是可数集。A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个17. _闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个18. 可数个开集之交是_A开集 B闭集 C F型集 D G型集19. 若 |f| 在E上可积，则_A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：20. S-S=(S-S)21. Efa=Efa-五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有?|f|d|f|d（7分）七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）22. sin(nx)d=?23. 设f(x)=求d=?24. 设f(x)= ?n=2,3, ?求d=?一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)6. 非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。7. 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。8. 若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。9. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如）10. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1 至多可数个可数集之并是可数集。A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个2.有限个闭集之并交是闭集。A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个3.可数个开集之交是 G型集A开集 B闭集 C? F型D? G型集4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材）。四、证明下列集合等式1.S-S=(S-S)解：=(S-S)2。Efa=Efa-证明：所以，同理，? 故五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。? 证明：（分析法证明）设要证为开集，只须证明事实上，取时，自然有。 ? 故为开集。无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有|f|d|f|d证明：因为f(x)f(x) a.e于E，对任意由Fatou引理知 |f|d|f|d而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：一方面|f|d= |f|d|f|d另一方面，|f|d= |f|d|f|d|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d故|f|d|f|d|f|d即|f|d= |f|d七、计算下列各题：1sin(nx)d=?解：因为?sin(nx) 0于0，1 且|1则由Lebesgue控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02设f(x)=求d=?解：所以3设f(x)= ?n=2,3,? 求d=?解：因为f(x)=? ?n=2,3,在上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：d=。一、填空：（共10分）1如果 则称是自密集，如果 则称是开集，如果则称是 ，称为的 .2设集合可表示为一列开集之交集：，则称为 . 若集合可表示为一列闭集之并集：，则称为 .3（Fatou引理）设是可测集上一列非负可测函数，则 .4设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使成一有界数集，则称为上的 ，并称这个数集的上确界为在上的 ，记为 .二、选择填空：（每题4分，共20分）1下列命题或表达式正确的是 A B C对于任意集合，有或 D2下列命题不正确的是 A若点集是无界集，则 B若点集是有界集，则C可数点集的外测度为零 D康托集的测度为零3下列表达式正确的是 B D4下列命题不正确的是 A开集、闭集都是可测集 B可测集都是Borel集C外测度为零的集是可测集 D型集，型集都是可测集5下列集合基数为（可数集）的是 A康托集 BC设是整数， D区间中的无理数全体三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理四、（20分）设，是上有限的可测函数，证明：存在定义在上的一列连续函数，使得于 五、（10分）证明 六、（10分）设是满足Lipschitz条件的函数，且于，则为增函数七、（10分）设是上的有界变差函数，证明也是上的有界变差函数一、填空题：（共10分）1、,（或） 闭集，闭包2、型集，型集3、 4、有界变差函数，全变差， 二、选择填空：（每小题4分，共20分）1、D 2、A 3、D 4、B 5、C三、（20分）定理：设有限于，若对于任意的，总有闭集，使，且在上连续，则是上的可测函数. 证 对任意的正整数，存在闭集使，且在上连续，从而在上可测 设，则是可测集，且，于是 在上可测 由于，只须证在上可测，事实上，对任意的，是可测集在上可测在上可测 （5分）四、（20分）证明 在上可测，由Lusin定理，对任何正整数，存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有 （7分）所以对任意的，成立， 因此 由F.Riesz定理，存在的子列，使于，记，则于 五、（10分）证明 设则在上连续，因而可积可积，且 取，则，而由Lebesgue有界收敛定理六、（10分）证 因为满足Lipschitz条件，所以是绝对连续函数，对任意的，由牛顿莱布尼兹公式（1）（2） （2）（1）是上的单调函数 七、（10分） 证 是有界变差函数，因而是有界函数，于是， 对的任意分划有 因此也是上的有界变差函数