最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论.doc
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1、 . 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义:对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期:设是
2、周期函数,在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像:。2、奇偶函数:设若若。分段函数的奇偶性3、函数的对称性:(1)中心对称即点对称:点 (2)轴对称:对称轴方程为:。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1: 的图象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称推论3、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关于点对称推论2、 的图象关于点对称推论3、 的图象关于点对称(二)两个函数的图
3、象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与 图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称(三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数yf(x)关于直线xa轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(ax)f(ax) (2)f(2ax)f(x) (3)f(2ax)f(x)性质2 若函数yf(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:(1) f(ax)f
4、(ax)(2) f(2ax)f(x) (3)f(2ax)f(x)易知,yf(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、 若对于定义域内的任一变量x,均有fg(x)fg(x), 则复数函数yfg(x)为偶函数。定义2、 若对于定义域内的任一变量x,均有fg(x)fg(x), 则复合函数yfg(x)为奇函数。说明:(1)复数函数fg(x)为偶函数,则fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x),复合函数yfg(x)为奇函数,则fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。(2)两个特例:yf(xa)为偶函数,则f(xa)f(xa); yf(xa)为奇函
5、数,则f(xa)f(ax)(3)yf(xa)为偶(或奇)函数,等价于单层函数yf(x)关于直线xa轴对称(或关于点(a,0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3复合函数yf(ax)与yf(bx)关于直线x(ba)/2轴对称性质4、复合函数yf(ax)与yf(bx)关于点(ba)/2,0)中心对称推论1、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于y轴轴对称推论2、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数yf(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x
6、)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5 若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T2|ab|性质6、若函数yf(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T2|ab|性质7、若函数yf(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线xb轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T4|ab| 6、函数对称性的应用 (1)若,即 (2)例题 1、; 2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称:。 3、若的图像关于直线对称。设.(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、( ) 的周期为,(
7、)也是函数的周期2、 的周期为3、 的周期为4、 的周期为5、 的周期为6、 的周期为7、 的周期为8、 的周期为9、 的周期为10、若11、有两条对称轴和 周期推论:偶函数满足 周期12、有两个对称中心和 周期推论:奇函数满足 周期13、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.(1996年高考题)设是上的奇函数,当时,则等于(-0.5)(A)0.5; (B)-0.5; (C)1.5; (D)-1.5.例2
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