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加法原理与乘法原理
知识精讲
加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计数方法。
举个例子：餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐；2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨。
点菜时如果只点一个菜，有炒菜和炖菜这两种方式，也就是说，可以点红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4+2=6种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜。这就是加法原理。
加法原理：如果完成一件事有几类方式，每一类方式中又有不同的方法，那么把每一类方法数相加就得到所有的方法数。

如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个组合，点炒菜是第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可。比如炒菜选红烧鱼块的搭配有两种（红烧鱼块——土豆炖牛肉 红烧鱼块——萝卜炖排骨），类似的滑溜里脊也有两种搭配（滑溜里脊——土豆炖牛肉 滑溜里脊——萝卜炖排骨）......4种炒菜合在一起就有4×2=8种点菜方法，这就是乘法原理。
乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每个步骤中又有不同的方法，那么把每一步的方法数相乘就得到所有的方法数。

例1 小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以做飞机。经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班。任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？

练习1 书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架中任意选取一本书，有多少种不同的取法？

例2 如图用红色、黄色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分涂色，每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法？

练习2 如图 用红、黄两种颜色给图中鸭子的嘴巴、眼睛、身子三个部分涂色，每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法？

小结：分类是指完成一件事有几类不同方法，从中任意选取一类即可，他们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事。这种情况一般要用到加法原理。
分步是指完成一件事有好几步，每一步都必须执行，他们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事。这种情况一般要用到乘法原理。

例3 如图从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路。如果要求所走的路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少种不同的路线？

练习3 如图，任意两地之间的路线已在图中标示出来，如果要求所走的路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少种不同的路线？

加法原理与乘法原理的区别
加法原理
类与类之间会满足下列要求：
1. 只能选择其中一类，而不能几类同时选。
2. 类与类之间可以相互替代，只需选择某一类就可以满足要求；
比如例1种飞机、火车或汽车可以随意选择，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能达到目的地。

乘法原理
1. 每步只是整件事情的一部分，必须全部完成才能满足结论；
2. 步骤之前有先后顺序，先确定好一步，再做下一步...直到最后。
加法原理与乘法原理的混合
有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系。这时应分清主次，弄清到底是“分类中含有分步”还是“分步中含有分类”。如果是某一大类里又可以分为几小步，那么应该这一类里用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例3.
最后介绍一种解决路径条数问题的方法：标数法。
如图1，我们要计算蚂蚁从A点沿箭头的方向爬到B点的不同路线有多少条。

例4 如图，在图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同的走法？

练习4 如图，在图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同的走法？

挑战题
1. 老师要求莫墨在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减少必须是两位数，请问：莫墨有多少种不同的写法？

2. 书架上有3层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书各不相同，请问：
（1） 如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？
（2） 如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法？
（3） 如果从中取2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？

作业
1题库中有3中类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从这三种类型的题目中各取一道组成一张试卷。请问：由该题库可组成多少种不同的试卷？

2.小琴、小慧、小梅三人报名参加了运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一个比赛，不一定三项比赛都有人参加。请问：报名的情况有多少种？

3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书。
（1） 莫墨要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？
（2） 莫墨三种书要各借一本，有多少种不同的选择？

4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置客厅，有几种选法？

5.如图，如图从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同的走法？