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交换半环上半线性空间的幂等变换相关性质.pdf
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1、交换半环上半线性空间的幂等变换相关性质张兴均*,李骏(四川文理学院 数学学院,四川 达州 635000)摘要:通过了解交换半环上半线性空间中幂等变换的一些性质,讨论了半线性空间中幂等变换的值域与核的一些关系,得到了与经典线性代数中不一样的结果.关键词:半环;半线性空间;幂等变换;值域;核中图分类号:O159;O151.2文献标志码:A文章编码:1674-5248(2023)05-0028-04引言半环作为环与分配格的共同推广,是一种重要的基本代数结构.2007年,Di Nola1等通过半环、半模等概念引入了半线性空间的概念,之后许多学者在半线性空间中做了大量的工作,得到了许多与经典线性代数不同
2、的结果.如:半线性空间中基的向量个数不具有惟一性,线性无关的向量组不一定能扩充为半线性空间的基等.1线性变换是研究线性空间中向量间相互关系的重要工具.2020年,张兴均2等人在半线性空间中对线性变换进行了推广,介绍了半线性空间上线性变换、幂等变换等概念,得到了线性变换的值域与核的一些基本关系.本文进一步地介绍了交换半环上半线性空间中幂等变换的一些性质,得到了与经典线性代数中不一样的结果.为了后续研究需要,接下来给出一些已知定义及一些基本概念.1基本概念定义1.13-4半环L=(L,+,0,1)是满足以下性质的代数结构:1)(L;+,0)是交换幺半群;2)(L;,1)是幺半群;3)r,s,t L
3、,r (s+t)=r s+r t与(s+t)r=s r+t r成 立;4)r L,0 r=r 0=0成立;5)0 1.特别地,若a,b L都有a b=b a,则称半环L为可交换的.定义 1.23设 L=(L,+,0,1)为半环,A=(A,+A,0A)为交换幺半群.若外积*:L A A满足:r,r L;a,a A,1)(r r)a=r(r a),2)r(a+Aa)=ra+Ara,3)(r+r)a=ra+Ar a,4)1a=a,5)0a=r0A=0A,则称(L,+,0,1;A,+A,0A)为左L-半模.类似可给出右L-半模定义.收稿日期:2022-10-24基金项目:四川文理学院 2021年科研启
4、动项目资助“交换半环上半线性空间理论研究”;四川文理学院科研项目资助(2017KZ011Y)作者简介:张兴均(1992),男,四川达州人.助教,硕士,主要从事半环上线性代数理论研究.*通讯联系人,e-mail:zxjsa-.第33卷第5期Vol.33 No.5四川文理学院学报Sichuan University of Arts and Science Journal2023年9月Sep.2023 28称半环 L 上的半模为 L-半线性空间1.这里的半模或是左L-半模或是右L-半模.4不失一般性,设以下讨论的半模均为左L-半模.通常情况下,将半环中的元称为标量或者系数,将半线性空间中的元称为向量
5、.在不致混淆的 情 况 下,将(r r)a写 作(rr)a.记-n=1,2,n.下面给出一个 L-半线性空间的例子.例 1.15设 L=(L,+,0,1)为 半 环,对n 1,令:Vn(L)=(a1,a2,an)T:ai L,i-n.其中(a1,a2,an)T表示(a1,a2,an)的 转 置.x=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T Vn(L)和r L,定义x+y=(x1+y1,x2+y2,xn+yn)T,rx=(rx1,rx2,rxn)T.则 称:Vn=(L,+,0,1;Vn(L),+,0n 1)是 L-半 线 性 空 间.其 中0n 1=(0,0,0)T.定义1.34半环L
6、=(L,+,0,1)中元素a称为加法可消的,当且仅当b,c L由a+b=a+c可得b=c.用集合K+(L)表示半环 L 中所有加法可消元构成的集合.若K+(L)=L,则称半环L为加法可消的.定义1.44设L=(L,+,0,1)为半环,记:W(L)=a L:b L,r L;st:a+r=b or a=b+r.显然W(L).若W(L)=L,则称半环 L为yoked半环.2主要结果半线性空间V到自身的映射称为V的变换.定义2.12交换半环上L-半线性空间V的变换A称为线性变换,若,V及r L,都有:1)A(+)=A()+A(),2)A(r)=rA().定义2.2设A为交换半环上L-半线性空间V 的线
7、性变换,若 A2=A,则称 A 为幂等线性变换,简称幂等变换.设A为L-半线性空间V的线性变换,记Im(A)=A(a):a V,称 Im(A)为 A 的值域.记Ker(A)=a V:A(a)=0,称Ker(A)为A的核.2命题2.12设A为交换半环上L-半线性空间V的可逆幂等线性变换,则A是单位变换.命题2.2 L为加法可消交换半环,A为L-半线性空间V的幂等变换,若A是单变换,则A为单位变换.证明a V,作A(a)+a,A是幂等变换,:A(A(a)+a)=A2(a)+A(a)=A(a)+A(a)=A(a+a),因为 A 是单变换,则有 A(a)+a=a+a,又因 L为加法可消交换半环,所以A
8、(a)=a,由向量a的任意性,即证A为单位变换.众所周知,在经典线性代数中下述结果是成立的:设A、B皆为数域P上线性空间V上的幂等变换,则Ker(A)=Ker(B)的充要条件为AB=A且BA=B.将此结论推广至交换半环上半线性空间中,可得如下命题.命题 2.32设 A与 B是交换半环上 L-半线性空间 V 的两个线性变换,若 AB=A 且 BA=B,则Ker(A)=Ker(B).命题 2.4 设 L 为加法可消的yoked交换半环,A、B是半环上L-半线性空间V的两个幂等变换,若Ker(A)=Ker(B),则AB=A且BA=B.证明a V,因为L为yoked半环,所以存在 V,使得 A(a)=
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