二项分布类试验设计研究.pdf
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1、2023 年 8 月第 19 卷 第 3 期系统仿真技术System Simulation TechnologyAug.,2023Vol.19,No.3二项分布类试验设计研究张志辉(91404单位 河北 秦皇岛 066001)摘要:为了准确设计二项分布类试验样本和评估试验质量,从数理统计出发,直接从参数p分布角度,提出了改进算法。该算法可用于评价任何样本量试验质量和试验设计,尤其适用于小样本的试验设计和质量评价。该算法整个计算过程,涉及主观假定少,能够更准确、更直观地评价二项分布类试验质量。关键词:二项分布;试验设计;试验质量Study of Binomial Distribution Exp
2、erimental DesignZHANG Zhihui(91404 Unit,Qinhuangdao 066001,China)Abstract:In order to accurately design binomial distribution test samples and accurately evaluate test quality,an improved algorithm is proposed from the perspective of mathematical statistics and direct research on parameter p distrib
3、ution.The algorithm can be used for any sample size test quality evaluation and test design,especially for small sample size test design and quality evaluation.The whole calculation process of the algorithm involves less subjective assumptions,and more accurate and intuitive evaluation of binomial d
4、istribution test quality.Key words:binomial distribution;test design;test quality随着武器装备不断发展,试验任务大大增加。如何提高试验效益、节省样本量成为试验设计的首要任务。因此,首先需要从试验设计的基础理论着手。导弹命中成功率、干扰成功率、雷达发现距离等二项分布类试验占据该类试验一大部分。因此,可从最简单的二项分布开始,重新审视试验设计的基础理论。研究试验设计问题,关键需要一种准确的、直观的描述方法来评价试验质量。本研究从数理统计方法入手,寻找对二项分布类试验样本准确设计和试验质量准确评估的算法。1 传统设计方法
5、 设X为试验成功次数,x为观察值,n为试验次数,p为成功率。因XB(n,p),其条件概率为P(x|p)=Cxnpx(1-p)n-x(1)其中,参数p可用X=X/n来估计。根据中心极限定理,当n +时,二项分布将逼近正态分布,则Z为Z=X-npnp(1-p)=X-pp()1-p/nN(0,1)(2)当给定置信水平为时,使P Z1-2X-pp()1-pn Z1+2=即 置 信 水 平 为 时,置 信 区 间 为p-Z1+2p()1-pn,p+Z1+2p()1-pn其中Z可查标准正态表得出。设置信区间宽度为估计精度A,则通信作者:张志辉,E-mail:中图分类号:TP 39 文献标志码:A DOI:
6、10.16812/31-1945.2023.03.004系统仿真技术第 19 卷 第 3 期A=2Z1+2p()1-pn(3)当已知估计精度为A的情况下,则试验次数n为n=4Z21+2p(1-p)/A2(4)上述方法计算简便,但仅适用于n较大时。其中,当二项分布逼近正态分布,n为有限值时,会引入计算误差;X分布与参数p分布是有区别的,直接利用X分布代替参数p分布进行计算会引入误差;参数p值是未知的,直接利用X的观察值代替参数p进行计算也会引入误差。因此,针对这些局限性,需要寻找对试验样本准确设计和试验质量准确评估的计算方法。2 改进设计方法 本研究从试验后的结果直接对参数p分布进行分析,评价试
7、验质量。在试验前,可认为无任何先验信息,即认为成功率p在 0,1 区间均匀分布。即p先验概率密度为(p)=10 p 10其他根据贝叶斯公式2,可计算试验后对参数p估计条件概率密度函数为f()p|x=P()x|p()p01P()x|p()p dp=P()x|p01P()x|p dp=(n+1)Cxnpx(1-p)n-x(5)其与试验次数n、成功次数x有关,曲线如图1所示。即当已知试验次数为n、成功次数为x时,可计算出参数p的概率分布。参数p的估计值同传统算法一样,取x/n。当给定置信水平为时,使P(p1 p p2)=为使置信区间最窄,选取f(p1|x)=f(p2|x)可计算出p1和p2。即置信水
8、平为时,置信区间为p1,p2,设置信区间宽度为估计精度A,则A=p2-p1(6)上述结果可整理成表格,当已知估计精度为A的情况下,可通过查表,反查出试验次数n。当试验结果p=0.8时,估计精度随试验次数变化曲线见图2。可根据估计精度A的设计需求,选择试验次数n。上述改进方法,仅需要假定p的先验概率密度和置信水平,未引入任何其他主观假定。其中置信水平采用任何方法都需要,无法避免;而p的先验概率密度:“无任何先验信息时,成功率p在 0,1 区间均匀分布”这一假设内容清晰,容易得到大家一致认可。因此,该改进算法整个计算过程,涉及主观假定少,能更加准确、直观地评价试验质量。3 2种算法计算结果对比 采
9、用传统算法和改进算法分别进行计算,对比结果如图3所示,改进算法与传统算法估计精度的差值如图4所示。从图4中可以看出,改进算法估计精度明显提高,对试验质量评价更加准确。改进算法适用于任何样本量试验,尤其是小样本无可替代时。当n 38时,改进算法与传统算法估计精度的差值小于0.01,即当试验次数不小于38次时,2种算法计算结果没有明显差别。图1二项分布参数p概率密度曲线Fig.1Probability density curve of binomial distribution parameters图2p=0.8时,估计精度随试验次数的变化曲线Fig.2Curve of estimation ac
10、curacy versus test number when p=0.8280张志辉:二项分布类试验设计研究4 结 论 本研究利用试验后的结果,从数理统计出发直接对参数p分布提出了改进算法。该算法可用于任何样本量试验质量评价和试验设计,尤其适用于小样本的试验质量评价和试验设计。该改进算法整个计算过程,涉及主观假定少,能够更准确、更直观地评价二项分布类试验质量。该算法根据试验后结果,研究参数p分布,涉及主观假定最少,能够推广至正态分布、指数分布类试验,能更为准确、更为直观地反映试验设计水平。参考文献:1陈相麟,蒋谱成,陈军,等.雷达试验 M.北京:国防工业出版社,2004:180-186.CHE
11、N Xianglin,JIANG Pucheng,CHEN Jun,et al.Radar test M.Beijing:National Defense Industry Press,2004:180-186.2姜礼平,吴晓平,戴明强,等.工程数学 M.武汉:湖北科学技术出版社.2000:373-395.JIANG Liping,WU Xiaoping,DAI Mingqiang,et al.Engineering mathematicsM.Wuhan:Hubei Science and Technology Press,2000:373-395.3刘倩.随机变量和的密度函数解法 J.高师理
12、科学刊,2017(11),37(11):63-66.LIU Qian.Solving methods for the density function of sum of random variablesJ.Journal of Science of Teachers College and University,2017,37(11):63-66.4吴贤君.求解标准正态分布的特征函数的方法探讨和扩展 J.高等数学研究,2020,23(4):77-78,81.WU Xianjun.On method for finding characteristic function of standard
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