践行新课标 凸显一致性——以“分数乘除法”一课为例.pdf

47教学探索践行新课标 凸显一致性以“分数乘除法”一课为例江苏省常州市武进区潘家小学 翟雪皎【摘 要】就分数乘除法的学习而言，学生往往容易掌握算法而难以说清算理。本文从数运算的一致性出发，以计数单位为统领，沟通算法和算理，引导学生将分数除法纳入数运算的一致性框架体系中，感悟方法的可迁移性，培养数学核心素养。【关键词】数的运算 计数单位 一致性 算理与算法的融通一、缘起：运算的一致性让算理和算法成为有根之木义务教育数学课程标准（2022年版）在“数与运算”主题中明确指出，要让学生感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，培养运算能力和推理意识。但就目前的教材和教学来看，整数、小数、分数的运算法则似乎各自为政，缺乏本质的关联性和内在的一致性。以苏教版数学六年级上册第三单元“分数除法”为例，教材以浓重的笔墨引导学生借助直观示意图“分一分”，联系分数的意义并借鉴整数除法的已有经验，分析、比较、归纳出分数除法的计算法则；在教学内容的安排上，教材遵循螺旋上升、循序渐进的原则，先教学分数除以整数，然后教学整数除以分数，最后教学分数除以分数；学生在经历“初步感知类比归纳验证猜想”的全过程后，进一步明确无论是分数除以整数，还是整数除以分数，又或者是分数除以分数，都可以用“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数”的方法来计算。在这样的教学观照下，学生看似很顺利地掌握了分数除法的计算法则，但由于教材选取的例题具有特殊性，更容易用画图的方式直观地表示出结果，因而在推广到一般分数除法的计算时，学生难以用画图表示出2345这类分数除法的计算结果，并且脱离具体的情境，也无法用分数的意义来解释分数除法。这样看来，分数除法的计算仅仅停留在运用算法的层面，缺乏实质、有效、一以贯之的算理支撑，学生一度陷入说理困难的窘境也就不足为奇了。事实上，数的认识与数的运算并不是割裂开来的两个部分，而是以“计数单位”为统领，具有逻辑关联性、内在一致性、前后承接性。相对于整数和小数而言，学生对分数的认知更有距离感，原因在于整数和小数都是以十进制计数法为基础的，分数的计数方法则是基于没有明确倍数关系的“分数单位”构建的。这种距离感在分数的运算中表现得尤为明显。在整数和小数的加减运算中，我们可以把相同数位上的数字进行加减，但在分数加减法的运算中，却不能把同为分母或分子的数字直接进行加减，而要通过转化成相同的“分数单位”再进行加减。此外，现有的教材在分数乘法的编写上，以画图直观法和对分数意义理解的方法展开教学，弱化了“分数单位”的作用。这些都对学生理解分数乘除法的算理产生了负向的迁移，导致学生会用“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”以及“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数”来进行分数乘除法的运算，却不知为何要这样计算。算法得不到算理的有效支撑，知识点呈散状分布，不利于学生构建“钢筋铁骨”的知识结构。基于 义务教育数学课程标准（2022年版）中数运算一致性的理念，本文以“分数乘除法”为例，从统整视角出发，探讨以计数单位（分数单位）来统领分数乘除法算法的可行性、有效性和必要性。二、构建：重视计数单位，让分数乘除法的运算有根可依要探寻计数单位对分数乘除法运算的可操作性，有必要从计数单位基于分数的加减法说起。（一）分数的加减法先以45+25为例，在算理上表现为把4个15与2个1548合起来，得到（4+2）个15，即65。继续以45-23为例，在算理上表现为从4个15里去掉2个13，由于分数单位（计数单位）不同，不能直接相减，因此转化为分数单位同为115的分数，即1215和1015。此时，可以用12个115直接减去10个115，结果为2个115，即215。值得一提的是，我们在整数与小数的加减运算中，也有相似的处理。如0.9+0.3，表现为9个0.1与3个0.1合起来，得到12个0.1，也就是1.2；当遇到408时，我们从4个10里去掉8个1，并没有直接相减，而是把计数单位统一后，用40个1减去8个1，得到32个1，也就是32。由此可见，分数的加减法与整数、小数的加减法在算理上是一致的：都是相同计数单位个数的加或减，计数单位不变。分数的加减法在算法上虽与整数、小数的加减法表述不同，但剥去算法的外衣由表及里，我们发现它们在算理上保持着高度的一致。这也为我们探索以计数单位为核心的分数乘除法运算指明了方向。（二）分数的乘法要把学生熟知的分数乘法算法即“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”讲出道理来，就需要教师明确分子相乘的积与分母相乘的积各表示什么含义。我们向下寻根，先来找找整数乘法与小数乘法在算理上的相同点。整数乘法：如203=（210）（31）=（23）（101）=610=60，这也就能解释在算法上先算23的积，表示的是计数单位上的数与计数单位上的数字相乘，即计数单位的个数；再在积的末尾添0，表示计数单位与计数单位相乘。小数乘法：如1.20.3=（123）（0.10.1）=360.01=0.36，在算法上我们先算123的积，表示的也是计数单位上的数与计数单位上的数相乘，即计数单位的个数；再根据乘数的小数位数一共有两位，就从积的右边起数出两位，这一步实际上就是在算计数单位与计数单位相乘。需要注意的是：在对整数乘法和小数乘法展开说理的时候，并没有因为两个乘数的计数单位相同或不同而有不同的处理，都是在用计数单位上的数与计数单位上的数相乘，再乘计数单位与计数单位的乘积。分数的乘法是否有相同的推论呢？先以1323为例，按照上面的方法，1323=（12）（1313）=219=29，结论适用。再以4523为例，从计数单位和计数单位的个数可知，4个15与2个13相乘，得到（42）个（1513），即8个115，115是新产生的分数单位。由此可见，不管两个乘数的分数单位是否相同，分数的乘法都能用到分数单位上的数与分数单位上的数相乘，这一步也就解释了算法中分子相乘的积作分子；再乘分数单位与分数单位的乘积，这一步实际上解释了分母相乘的积作分母。因此，分数乘法的运算与整数乘法、小数乘法的运算保持一致。不仅如此，我们还发现，在计算45-23和4523时，虽然它们都涉及115这个分数单位，但115的作用却不相同：分数加减法的分数单位115是为了统一成相同分数单位而产生的，分数乘法的分数单位115则是分数单位与分数单位相乘得到的，即换成同分母分数依旧需要用到分数单位与分数单位相乘的积这一步。（三）分数的除法除法运算的一致性体现为计数单位与计数单位相除，计数单位上的数字与计数单位上的数字相除。我们以整数除法和小数除法来分别举例。整数除法602=（62）（101）=310=30，小数除法0.60.2=（62）（0.10.1）=31=3。我们试着来验证分数除法。先从简单的3212入手，3212=（31）（1212），再根据相同数相除（0除外）商是1，得到结果为3。同时它也表示被除数里有3个12，除数里有1个12，易得3个12是1个12的3倍。再以1215为例，1215=（11）（1215），这样处理似乎又回到了求1215这一步，我们想到可以将被除数和除数的分数单位统一起来，即1215=510210=（52）（110110）=52。也就是说，当被除数和除数的分数单位不统一，直接除起来有困难，可以试着将被除数和除数的分数单位统一起来，即转化成510210，这样一来，被除数里有5个110，除数里有2个110，算得5个110是2个110的52倍。试着以前文提到的4523为例，4523=（12151015）（1210）（115115）=1210。当被除数和除数的分数单位49教学探索不统一时，直接除还是有困难，可以转化成12151015，如此一来，被除数里有12个115，除数里有10个115，算得12个115是10个115的1210倍，化简得65。我们进一步梳理、完善上面的计算过程得到：3212=32222122=（32）（21）=3221=32211215=15252125=（15）（21）=1521=12514523=43535253=（43）（52）=4352=4532推广到用字母表示的分数除法算式得到：c ad b=cb abad ab=（cb）（ab）=cb ad=c ab d据此，不难得出“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数”的结论。我们还能发现分数除法也同样适用整数、小数、分数的基本规律，即计数单位与计数单位相除，计数单位上的数与计数单位上的数相除。这也体现了分数除法的运算与整数除法和小数除法的运算的一致性。三、建议：数运算的教学要整体设计扎根串连分数的乘除法作为小学阶段运算教学的收尾部分，有必要撑起数运算的钢架结构，而计数单位作为纲举目张的存在也同样需要渗透到日常运算的教学中。为了达成以上目标，教师应该以整体教学的视角把握教学内容，注重知识的“生长点”和“延伸点”，帮助学生感悟数运算的一致性，让学生学会用联系的、发展的眼光看问题，让数学核心素养落地生根。经过思考和研究，笔者将第一课时和第二课时以表格式的大任务Aclassproject为主题来进行教学活动。第一课时见表1：表 1 第一课时大任务设计Report：AboutAustraliaCities：，MelbourneandCanberraWeather：warmandsunnySeasonnow：Interestinganimals：andemusExcitingsport：，surfingandsailingFamousfood：Others：516parksforplantsandanimals第二课时见表2、表3、表4：表 2“Aclassproject”大任务设计AclassprojectSubjectInterestingcountries：Australia，theUK，ChinaMembers.CountriesAustralia，theUK，ChinaWays.Aspectsweather，cities，food，sports.表 3“AbouttheUK”大任务设计AbouttheUKWeatherrainyCitiesLondon，OxfordPlacesBigBen，LondonEye，TowerBridgeSportsfootballFoodfishandchips，afternoontea.表 4“AboutChina”大任务设计AboutChinaWeather.Cities.Places.Sports.Food.四、结语总之，教师应基于 义务教育英语课程标准（2022年版）的指导思想，遵循学生的认知特征及学习需求，从大观念着眼、大任务着手，以单元主题为核心，巧妙地创设真实的、关联的情境，整体设计丰富的、多元的学习活动，实现课程内容、学生生活、言语实践的协调融通，激发学生的学习兴趣与动机，培养学生的学习能力，为学生的终身学习奠定坚实的基础。（上接第 46 页）