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2023年 6 月第40卷 第 3 期三 明 学 院 学 报JOURNAL OF SANMING UNIVERSITYJun.2023Vol.40 No.3doi:10.14098/35-1288/z.2023.03.003紧支撑小波在 Lebesgue 空间中的表现王凯城(三明学院 信息工程学院,福建 三明 365004)摘要:给予紧致小波正交基底在 Lebesgue 空间的完备性,证明的取得并不需要任何衰退或平滑的条件,舍弃传统的 Caldern-Zygmund 算子方法,进而使用更加直观的 Caldern-Zygmund 分解定理。关键词:紧支撑小波;Lebesgue 空间;无条件基;Caldern-Zygmund 分解定理中图分类号:O177.92 文献标志码:A 文章编号:1673-4343(2023)03-0012-05Lebesgue 空间中小波基底的完备性与描述,一般使用两种方法之间:使用 Caldern-Zygmund 算子(CZO)和使用 Caldern-Zygmund 分解定理(CZD)。一方面,使用 CZO 是通过提供平滑度和众所周知的定理来使某些算子获得 LP有界的一种方法。这种获得 LP有界的方法被广泛使用。至于小波基的取得,2016 年宋亮等1多尺度多重解析构建双正交小波,须求条件为有限频率与时间域平滑性。张静等2使用双向细分方程与双向小波,对多尺度函数的逼近阶作了介绍。陈清江等3构造多尺度双向向量值小波,须求条件为小波须为紧支撑。Kumar4-7在 20092014 年间,发表一系列的特定小波诠释算子的有界性的文章,专门介绍空间的紧致性与算子的有界性,藉由成熟的 CZO 技术,取得相当多的成果。可是,使用 CZO,不可避免小波必定要有平滑性。而相关算子的有界性,需要具备平滑性条件取得,更遑论空间的紧致性的取得。本文的目的并不着重在于小波基底的取得,而是对于一群特殊的小波基底 紧致小波正交基底,使用 CZD,说明他们在 Lebesgue 空间中具有完备性。并且不需要额外具备其他的条件。1 基本背景和符号本文使用以下符号。AB 如果 ACB,C 为常数。AB 如果 AB 并且 BA。本文所有的基底均为 Schauder 基底。无条件基底可以被描述如下。定理 1 在 Banach 空间中给定序列 xn。以下是等价的。(a)xn无条件收敛;(b)nxn对于每个符号选择 n=1 收敛;(c)nxn对于标量 n的每个有界序列收敛。可测函数 f 属于 W(L,l1),如果满足fW(L,l1):=kZsup0,1)|f|(x+k)(Afp)q,q0。其中,A 不依于 f 或;而 m 是 Lebesgue 测度。注意到(p,q)类型的运算也是弱(p,q)。更多详细资讯可在参考文献8中找到。称 i:i 为 L2()的框架,如果存在两个常数使得A f22k 2 B f22,fL2()。如果 A=B,称这是一个紧框架(tight frame)。请注意框架不一定线性无关。定义的 i:i 框架算子 S 为Sf:=i i。其中的每一个 fL2()皆可分解成f=i i=i Si。该序列在 L2()中无条件收敛。Si:i 被称为i:i 的规范对偶,而每一个框架都有自己的规范对偶。T 称为i:i 的预框架,被定义为T:l2()L2(),Tcii:=i cii,S=TT。S 和 S-1是类型 2,2(),有界的,自伴,正定,并且可逆在 L2()。Si:i 也是 L2()中的一个框架。紧框架的规范对偶Si:i 为1Ai:i。在 L2()的正交基底即为紧框架在 L2()。接下来转向小波(wavelet)。在本文中,使用以下符号j,k(x):=DjTk(x)=2j/2(2jx+k)。其中,Dj()(x):=2j/2()(2jx),Tk()(x):=()(x+k).在 L2(),由 生成的仿射小波框架系统定义为j,k:j,k,也是 L2()的框架。在 L2()的仿射小波正交基底即为紧框架在L2()。特别的是,仿射小波正交基底需要具备线性无关,并且其规范对偶与原正交基底结构一致。相关于本文中,小波上的限制有以下几点,需要注意。一般来说,小波函数 须属于 L2(),并且=0。紧支撑的小波不可能符合无穷多次可导。2 结果及其证明以下是 CZD 与目标算子特殊的设计。对于所有 fL1L2()和 0,存在一个集合 2,这样间隔Im,n(m,n)不相交,Im,n:=2-mn,2-m(n+1),|f(x)|,对于几乎所有 F:=(m,n)Im,n,以及所有(m,n)中,2mIm,n|f|2。因此,(m,n)2-mf1。设 F:=j,k:j,k 是仿射紧支撑(compactly supported)小波正交基底系统,并且因为 F 正交在 L2(),所以:=j,kj,k=j,k;j,k 。定义仿射运算子 Q():=j,k j,kj,k,其中:=j,k:j,k l。Q 的类型为 2,2(),因为 Q()22=j,k j,kj,k22j,k 222。一旦 Q 的 Lp有界取得,便可取得小波基底在 Lp(),1p+的完备性。实际上,由于 L2Lp()是 Lp(),1p+的紧致子集,对于任何 fL2Lp()且 Q 为 Lp有界,则 f=j,k j,kLp()。该序列在 Lp(),1p+中无条件收敛。用 Pm表示从 L2()到子空间 Vm:=spanj,k:j,k,jm的投影 Pm(f):=j,k,jmj,k。因此,设置-31-第 3 期三明学院学报g:=f F+(m,n)Pm(f Im,n),h:=f-g=(m,n)f Im,n-Pm(f Im,n)=(m,n)j,k j,k-Pm(f Im,n)=(m,n)j,k,jmj,k,Qh=j,k j,k(m,n)j,k,jmj,k,j,kj,k=(m,n)j,k,jmj,kj,k。以下,将要介绍定理 2,是本文主要结果的基础。定理 2 给定仿射紧支撑小波正交基底系统 F:=j,k:j,k,以下会成立,并且有限的取得与m,n 无关。j,k,jmsup2jIm,n+k (x)Im,n2j/2j,k2j-m-1)supk,k+2j-m)(x)(k-2j-m-+2j-m+1+k)21j=mk=-22j-m-(-k-2j-m)+k=122j-m+1(k)2j=mk=122j-m+1(k)p=1(log2p+2)(p)1(log2p+2)(x)dx+。上式有限的取得是来自于 是紧支撑的。其次有,j=m(-2j-m+1k2j-m-1)supk,k+2j-m)|(x)(k-2j-m-+2j-m+1+k)|j=m(-2j-m+1k2j-m-1)supk,k+2j-m)|(x)(-2j-m-1-+2j-m+1+k)|mk supk,k+2j-m)|(x)0,存在 j0m,k0,q1,q2 使得V j0+q1-1j=j0k0+q2-1k=k0supk,k+2j-m)|(x)q1q2supk1,k1+2j1-m)|(x)其中,j1j0,j0+1,j0+q1-1,k1k0,k0+1,k0+q2-1。并且也存在 x0与 n0,x0k1,k1+2j1-m)使得Vq1q2|(x0)supn0,n0+1)|(x)(x)n1,n1+1)(x)n1,n1+q1q2)-41-第 40 卷王凯城:紧支撑小波在 Lebesgue 空间中的表现其中,n1:=min|n0|,|n0+1|。对于不等式两侧同积分,V=n1+q1q2n1Vq1q2n1+q1q2n1(x)dx.与0(x)dx矛盾。接下来,将会证明定理 3,这说明算子 Q 具备 Lp有界。相较于文献9-10,没有复杂的证明程序,也不需要任何衰退或平滑的条件。定理 3 给定仿射紧支撑小波正交基底系统 F:=j,k:j,k.则,对于 1p,算子 Q 具备Lp有界,弱 1,1()类型,与(p,p)类型。证明:本证明最主要是要证明 Q 为弱 1,1()类型。确实的,先前已说明 Q 为 2,2()类型,一旦说明Q 为弱 1,1()类型,根据 Marcinkiewicz 拓补定理,Q 为(p,p),1p0,有g22/2mx:|Qg|/2+mx:|Qh|/22/4+1f11f1。Q 即为弱 1,1()类型。首先证明,根据定理 2 与 Dirichlet 检定,对于任何(m,n),(m,n),mm,以下 M1,M2,M3均为定值,并且有限的取得与 m,n 无关M1:=422j,k,jm2j-m2supIm,n|(2jx+k)+M2:=j,k,jm2j-msupImn|(2jx+k)-11+j,k,jm2j-m2supIm,n|(2jx+k)+j,k,jm2j-m2supIm,n|(2jx+k)j,k,jm2j-m2supIm,n|(2jx+k)+j,k,jm2j-m2supIm,n|(2jx+k)M2j,k,jm2j-msupIm,n|(2jx+k)+(m,n)Pm(f Im,n)22=(m,n)(m,n)Pm(f Im,n)Pm(f Im,n)(m,n)(m,n)j,k,jmj,k,jm|f Im,n,j,kf Im,n,j,kj,k,j,k|222(m,n)(m,n),mm,nnj,k,jmjk?jmIm,n|f|()2j2supIm,n|(2jx+k)(22-m)2j2supIm,n|(2jx+k)422(m,n)Im,n|f|()(m,n),mmj,k,jm2j-m2supIm,n|(2jx+k)j,k,jm2j-m2supIm,n|(2jx+k)M1M2(m,n)Im,n|f|(m,n),mmj,k,jm2j-msupIm,n|(2jx+k)(m,n)Im,n|f|p m=m(p+1)2m-m+1n=p2m-m()j,k,jm2j-msupIm,n|(2jx+k)(m,n)Im,n|f|p j,k,jm2j-msupIm,p|(2jx+k)f1。其中,p j,k,jm2j-msupIm,p|(2jx+k)+。是基于以下:-51-第 3 期三明学院学报Im,n(m,n)不重叠,并且在 mm,p2m-mn(p+1)2m-m之下,有 Im,nIm,p而此将会导致,对于有限个 k,m=m(p+1)2m-m-1n=p2m-m2-m2-m,p,j,k,jmsupIm,p|(2jx+k)k sup0,1)|(x+k)W(L,?l1)+。紧接着,|f F|2F|f|f1.故,g22f1。再证,Im,n:=2-m(n-1),2-m(n+2),F:=(m,n)Im,nF|Qh|Im,n|Qh|(m,n)j,k,jm|(Im,n|j,k|)(m,n)SIm,n|f|j,k,jm supIm,n|(2jx+k)(Im,n|j,k|)f1。最后,请注意 mF/21f1。参考文献:1 宋亮,张桂霞,程正兴.多尺度多重向量值双正交小波的构建算法与性质J.数学的实践与认识,2016(9):230-240.2 张静,张建基,卢维娜.双向多尺度函数的逼近阶及计算J.新疆师范大学学报(自然科学版),2015,34(4):42-46.3 陈清江,王晓凤,白娜,魏冰蔗.多尺度双向向量值小波的构造与性质J.应用数学,2015,28(3):662-673.4 KUMAR D.Wavelets convergence and unconditional bases for Lp(n)and H1(n)J.Chinese Journal of Mathematics,2014:984280.5 KUMAR 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conditions.The traditional Caldern-Zygmund operator method is abandoned and a more intuitive Caldern-Zygmund decomposition theorem is used.Key words:compactly supported wavelet;unconditional basis;Caldern-Zygmund decomposition theorem(责任编辑:朱联九)-61-第 40 卷