概率论与数理统计第三章课后习题答案.doc

习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
X
Y

0
1
2
3
1
0

0
3

0
0

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
X
Y

0
1
2
3
0
0
0

1
0

2
P(0黑,2红,2白)=

0

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.
【解】如图

题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由
得 A=12
（2） 由定义，有

(3)

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}；
（3） 求P{X<1.5}；
（4） 求P{X+Y≤4}.
【解】（1） 由性质有

故 
（2）

(3)

(4)

题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

而

所以

(2)

7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求（X，Y）的联合分布密度.
【解】
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】

题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】

题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度.
【解】（1）

得.
(2)

11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题11图
【解】

所以

12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1） X与Y的联合分布律如下表

Y
X

3
4
5

1

2
0

3
0
0

(2) 因
故X与Y不独立
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
X
Y

2 5 8

0.4
0.8
0.15 0.30 0.35
0.05 0.12 0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1）X和Y的边缘分布如下表
X
Y

2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2

0.2
0.42
0.38

(2) 因
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）=
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】（1） 因
故

题14图
(2) 方程有实根的条件是

故 X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：

15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为
f（x）=

求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
(1) 当z≤0时，
（2） 当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=）(如图a)

题15图
(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

即
故
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.

【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），
从而

17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，
P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
P{Z=i}=，i=0，1，2，….
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，
所以

于是

18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.
【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则
X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,
X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.
19.设随机变量（X，Y）的分布律为
X
Y

0 1 2 3 4 5

0
1
2
3
0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；
（2） 求V=max（X，Y）的分布律；
（3） 求U=min（X，Y）的分布律；
（4） 求W=X+Y的分布律.
【解】（1）

（2）

所以V的分布律为
V=max(X,Y)
0
1
2
3
4
5
P
0
0.04
0.16
0.28
0.24
0.28

(3)

于是
U=min(X,Y)
0
1
2
3
P
0.28
0.30
0.25
0.17
(4)类似上述过程，有
W=X+Y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P
0
0.02
0.06
0.13
0.19
0.24
0.19
0.12
0.05
20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.
（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；
（2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

题20图
【解】因（X，Y）的联合概率密度为

（1）

(2)

21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图
【解】区域D的面积为 （X,Y）的联合密度函数为

（X，Y）关于X的边缘密度函数为

所以
22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
X
Y

y1 y2 y3
P{X=xi}=pi

x1
x2
1/8
1/8

P{Y=yj}=pj
1/6
1

【解】因,
故
从而

而X与Y独立，故,
从而
即：
又
即
从而
同理
又,故.
同理
从而

故
Y
X

1

23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.
【解】(1) .
(2)

24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

由于X和Y独立，可见

由此，得U的概率密度为

25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.
解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

因为X，Y相互独立，所以

推得 .
26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

X
Y

-1 0 1

-1
0
1
a 0 0.2
0.1 b 0.2
0 0.1 c
其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)= -0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求：
（1） a,b,c的值；
（2） Z的概率分布；
（3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，
a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.
由，可得
.
再由 ,
得 .
解以上关于a，b，c的三个方程得
.
(2) Z的可能取值为-2，-1，0，1，2，
，
，
，
，
，
即Z的概率分布为
Z
-2 -1 0 1 2
P
0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
(3) .

习题四
1.设随机变量X的分布律为

X
-1 0 1 2
P
1/8 1/2 1/8 1/4
求E（X），E（X2），E（2X+3）.
【解】(1)
(2)
(3)

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为
X
0
1
2
3
4
5
P

故

3.设随机变量X的分布律为
X
-1 0 1
P
p1 p2 p3
且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.
【解】因……①,
又……②,
……③
由①②③联立解得
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

5.设随机变量X的概率密度为

f（x）=
求E（X），D（X）.
【解】

故
6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1） U=2X+3Y+1；
（2） V=YZ -4X.
【解】(1)

(2)

7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.
【解】(1)
(2)
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试确定常数k，并求E（XY）.
【解】因故k=2
.
9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
fX（x）= fY（y）=

求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值

由X与Y的独立性，得

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

于是

10.设随机变量X，Y的概率密度分别为
fX（x）= fY（y）=
求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.
【解】

从而(1)
(2)
11.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.
【解】(1) 由得.
(2)

(3)
故
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

于是，得到X的概率分布表如下：
X
0
1
2
3
P
0.750
0.204
0.041
0.005
由此可得

13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
f（x）=
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 -200元

故 (元).
14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记
，S2=.
（1） 验证=μ， =；

（2） 验证S2=；
（3） 验证E（S2）=σ2.
【证】(1)

(2) 因

故.
(3) 因,故
同理因,故.
从而

15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,
计算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.
【解】

(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).
16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】设.

同理E(Y)=0.
而
,
由此得,故X与Y不相关.
下面讨论独立性，当|x|≤1时，
当|y|≤1时，.
显然
故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为
X
Y

-1 0 1

-1
0
1
1/8 1/8 1/8
1/8 0 1/8
1/8 1/8 1/8
验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

X
-1
0
1
P

Y
-1
0
1
P

XY
-1
0
1
P

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.
从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,
即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
又
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.
【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为

题18图

从而

同理
而
所以
.
从而
19.设（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.
【解】

从而

同理
又
故

20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.

【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
从而

故
21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：
［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.
【证】令
显然

可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0，
即

故
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)==5.
依题意Y=min(X,2).
对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0.
对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.
对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为
P{X≤x}=1 -e -λx,所以
F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 -e -y/5.

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）