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线段之和最短问题.doc
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1、线段之和最短问题一 常见数学模型:1.如图,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。2.如图,直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。3. 如图,直线和的异侧两点A、B,分别在直线、上求作一点P、Q两点,使AP+PQ+QB最小。4. 如图,直线的同侧两点A、B,分别在直线上求作一点P、Q两点,且PQ=a,使AP+PQ+QB最小。5.如图,点P是MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B使PAB的周长最小。6.如图,点P,Q为MON内的两点,分别在OM,ON上作点A,B。使四边形PAQB的周长最小。为方便归类,将这种情况称为“两点之间线段
2、最短型”5.如图,点A是MON外的一点,在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图,点A是MON内的一点,在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小为方便归类,将以上两种情况,称为“垂线段最短型”练习题1在平面直角坐标系中,有A(3,2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n =_时,AC + BC的值最小2如图,护城河在CC处直角拐弯,宽度保持为4米,从A处往B处,经过两座桥:DD,EE,设护城河是东西南北方向的,A,B在东西方向上相距64米,南北方向上相距84米,如何设计两座桥梁DD,EE的位置,使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短?最短
3、路程是多少?3如图AOB = 45,P是AOB内一点,PO = 10,Q、P分别是OA、OB上的动点,求PQR周长的最小值4如图,在ABC中,ACBC2,ACB90,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则ECED的最小值为_。5如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作ABBD,EDBD,连接AC、EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示ACCE的长;(2)请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式+错误!未定义书签。的最小值6桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高为12厘米,底面周长18厘米,在杯口内壁离杯口
4、3厘米的A处有一滴蜜糖,一只小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时,突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。7著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路x同侧,、到直线x的距离分别为和,要在沪渝高速公路旁修建一服务区,向、两景区运送游客如果拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直,建立如图所示的直角坐标系,到直线y的距离为,请你在x旁和y旁各修建一服务区、,使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值8如图,在锐角ABC中,AB = ,BAC45,BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的
5、最小值是_9如图,ABC中,AB=2,BAC=30,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,则这个最小值 10如图,四边形ABCD是正方形,ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、CM 求证:AMBENB; 当M点在何处时,AMCM的值最小;当M点在何处时,AMBMCM的值最小,并说明理由; 当AMBMCM的最小值为时,求正方形的边长.参考答案1在平面直角坐标系中,有A(3,2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n =_时,AC + BC的值最小点C(1,n),说明点C在直线x=1上,所以作点A关于
6、直线x=1的对称点A,连接AB,交直线x=1于点C,则AC+BC的值最小设直线AB的解析式为y=kx+b,则-2=-k+b 2=4k+b解得:k = (4/5) b = - (6/5)所以:y = (4/5)x-(6/5)当x = 1时,y = -(2/5)故当n = -(2/5)时,AC+BC的值最小2如图,护城河在CC处直角拐弯,宽度保持为4米,从A处往B处,经过两座桥:DD,EE,设护城河是东西南北方向的,A,B在东西方向上相距64米,南北方向上相距84米,如何设计两座桥梁DD,EE的位置,使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短?最短路程是多少?如图,作BBa,AA b,且BB = 4,
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