交换半环上半模的u-内积.pdf
《交换半环上半模的u-内积.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《交换半环上半模的u-内积.pdf(9页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、书 书 书 年月第卷第期四川师范大学学报(自然科学版)(),收稿日期:接受日期:基金项目:国家自然科学基金()通信作者简介:舒乾宇(),教授,主要从事半环理论的研究,:引用格式:游昌禄,舒乾宇交换半环上半模的内积四川师范大学学报(自然科学版),():交换半环上半模的内积游昌禄,舒乾宇(四川师范大学数学科学学院,四川成都)摘要:研究交换半环上半模的内积首先,介绍内积的定义和在内积情况下标准正交的定义;然后,讨论正交集和正交子半模在内积定义下的性质;最后研究在内积情况下标准正交集的扩张问题关键词:半模;标准正交集;内积;正交子半模;标准正交集的扩张中图分类号:文献标志码:文章编号:():对于半环上
2、半模的研究已经有很长的历史年,介绍了半环上逆半模的概念和一些与模理论相对应的定理 年,系统介绍了半环结构及其一些应用;之后十余年,半环的研究被广泛地应用在计算机科学理论和密码学,研究者们也开始系统地研究半环上的线性代数理论 年,和等在有限生成半模上给出了每组基有相同基数的充要条件;同年,研究了半模上的内积,在半域上研究了标准正交集的扩张问题,并提出一个开问题:每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基的交换半环是什么半环?年,对半模上标准正交集的性质(即半模上每一组标准正交集可扩张成一组标准正交基)进行了研究,得出整的半环满足性质的一些刻画,但是这些刻画在一般的半环上不成立 年,等研究了子半模上正
3、交集的性质并证明了子半模的正交补的正交补等于它本身的充要条件,随后给出了半模上的标准正交集可扩张成标准正交基的充要条件并用正交元和正交基来等价刻画正合半环,同时也提出在内积的定义下是否有类似的结论本文将就这个问题给出答案论文的主要工作如下:第一部分将给出交换半环上半模的一些基本定义和相关引理;第二部分研究带有内积的半模的正交集的性质;第三部分讨论带有内积的半模的正交子半模的性质;最后研究了带有内积的半模上的标准正交集的扩张问题预备知识为了下面讨论方便,本节先给出一些基本定义和相关引理定义 半环(,)是满足下述性质的代数结构:)(,)是交换幺半群;)(,)是幺半群;)对任意的,满足()和();)
4、对任意的,有 成立;)若对任意的,满足 ,则称是交换半环对任意的,若由 知 ,则称是半环定义 设(,)是半环,(,)为一个加法交换幺半群若外积:满足对任意的,和,都有:)()();)();)();););则称(,)为左半模第期游昌禄,等:交换半环上半模的内积 类似地,还可以定义右半模令,其中为任意正整数如无特别说明,下文中所指的半环均为交换半环,半模均为左半模例 设是半环,对每一个,令()(,):,其中(,)表示(,)的转置对任意的(,),(,)()和,定义运算如下:(,),(,),则()是左半模设为半模的非空集合,中所有包含的子半模的交集也是的子半模,称为由生成的子半模,记为()易证():,
5、其中称为,的线性组合如果(),称为的生成集称存在有限生成集的半模为有限生成半模,否则,称为无限生成半模称的生成集中的最小基数为的秩,记为()事实上,任意有限生成半模的秩都存在定义 设为半模的一个非空集合若对任意的,有(),则称是线性无关的;否则,称是线性相关的若中任意元素最多用一种方法由中元素线性表出,则称是自由的定义 设为半模,称中线性无关的生成集为的基称中自由的生成集为的自由基例 设()是例 中定义的有限生成的自由的半模,则,是()的一组自由基,其中(,),(,),(,)给出了交换半环上半模的内积的概念和一些与内积相关的性质,接下来将给出内积的定义令():存在使得 定义 在半模上定义了一个
6、二元运算,当它满足下列性质时,则称之为的一个内积,其中(,),(),),;),其中,例 在半模()中,对任意的向量(,),(,)(),定义和的二元运算如下:,由定义 知,此二元运算为()上的一个内积特别地,若(,),则称该内积是标准内积定义 设为半模,若,则称,是正交的,记作设是的子集,若对任意的,则称是正交的若是正交的且对任意的,有,(),则称是标准正交的特别地,若是的一组基且是标准正交的,则称是的一组标准正交基例 设()是例 中定义的有限生成的半模,则例 中定义的也是()的一组标准正交基设为半模,是的子集,记:任意的都有下面将用()来表示半环上所有的 阶矩阵构成的集合,当 时,记()()对
7、任意的(),()(),()()定义运算如下:(),(),(),正交集的性质文献刻画了标准内积下正交集的一些性质,文献提到了内积,由定义 和例 不难看出,标准内积实际上是一种特殊的内积自然而然地要问,标准内积的性质在一般内积下是否仍然成立,本节将在下面的讨论中给出答案为讨论方便,以下假设总是带有内积的半模由定义 易知下面的结论成立 四川师范大学学报(自然科学版)第卷定理 若是上的一组标准正交集且是的非空子集,则也是标准正交集定理 任意的,则),;),设,定义的矩阵为:,显然,()是对称矩阵定理 设,是上个子集若(,)(,),其中(),则()()证明由(,)(,),可知,即()()由文献可知若,是
8、自由的,则矩阵(,)是可逆的,自然地想到,若是标准正交的,则矩阵有什么性质?记(,)定义 设()(),若(,),(),则称为广义正交矩阵引理 设()为广义正交矩阵,则是可逆矩阵定理 设,(),若,是()一组标准正交集,则矩阵(,)是广义正交矩阵并且是可逆矩阵证明因为,是一组标准正交集,所以,;,(),即 (,),(),则是广义正交矩阵由引理 可知,是可逆矩阵定理 设,是上的一组标准正交集,则)是自由的;)()是对角矩阵并且是可逆矩阵;)若(,)满足(,)(,),(),则()和是可逆的证明)任意的,存在,使得,取,因为,是上的一组标准正交集,所以,即,所以是自由的)因为,是上的一组标准正交集,任
9、意的,(),其中,当,即(),因为任意的,(),所以()第期游昌禄,等:交换半环上半模的内积 是对角矩阵并且是可逆矩阵)由定理 可知,()(),又因为()是可逆的对角矩阵,所以()也是可逆的对角矩阵,即()和是可逆的从定理 知道,上的一组标准正交集一定是自由的,又因为自由集一定是线性无关的,那么下面的推论成立推论标准正交的向量组是线性无关的记():存在使得 定理 设,是上的一组标准正交集,若,是线性相关的,则可由中向量唯一地线性表出证明设,是线性相关的,则,或者可由其余向量线性表出假设,有,(),则()在中找一个,有,因为,(),所以,即(),所以 ,(),又因为,是自由的,所以可由中元素唯一
10、地线性表出下面将举例说明定理 中的标准正交这个条件不能去掉例 取,显然,不是一组标准正交集,取(,),则,是线性相关的,但由,线性表出的方式不唯一引理 设和是半模上两组有限集且等价于,则)若是自由的,则;)若和是自由的,则 由定理 和引理 可以得到下面的推论推论 设,是上的两组标准正交集,若等价于,则 注 本节的定理 对应推广了文献中的定理,定理 对应推广了文献中的定理,定理 对应推广了文献中的定理,定理 对应推广了文献 中的定理 子半模的性质文献举例说明了在带有标准内积的半模上,是的子半模,有和成立,接着证明了成立的充要条件,但是没有讨论这些结论在带有内积的半模上是否成立,接下来本节将对此进
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 交换 上半 内积
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。