2014-2015年考研数学二真题及答案解析.doc

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
(3) 设函数具有2阶导数，，则在区间上 （ ）
(A) 当时， (B) 当时，
(C) 当时， (D) 当时，
(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5) 设函数，若，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则 （ ）

(A)的最大值和最小值都在的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得
(C) 的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得
(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得
(7) 行列式 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8) 设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组
线性无关的 （ ）
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
((9) __________.
(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 __________.
(11) 设是由方程确定的函数，则__________.
(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是__________.
(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标__________.

(14) 设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求极限
(16)(本题满分10分)
已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小
值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域计算.
(18)(本题满分10分)
设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.
(19)(本题满分10分)
设函数的区间上连续，且单调增加，.证明：
(I),
(II).
(20)(本题满分11分)
设函数，定义函数列
，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.

(21)(本题满分11分)
已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.
(22)(本题满分11分)
设矩阵，为三阶单位矩阵.
(I)求方程组的一个基础解系；
(II)求满足的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)
证明阶矩阵与相似.

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( )

(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由定义
所以，故.
当时，是比的高阶无穷小，所以，即.
故选B
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】关于C选项：.
，所以存在斜渐近线.
故选C
(3) 设函数具有2阶导数，，则在区间上 （ ）
(A) 当时， (B) 当时，
(C) 当时， (D) 当时，
【答案】D
【解析】令，则
,
,.
若，则，在上为凸的.
又，所以当时，，从而.
故选D.

(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】

故选C
(5) 设函数，若，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】因为，所以

故选D.
(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则 （ ）

(A)的最大值和最小值都在的边界上取得
(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得
(C) 的最大值在的内部取得，最小值在的边界上取得
(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得
【答案】A
【解析】记
则,所以在内无极值，则极值在边界处取得.
故选A
(7) 行列式 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列

.
(8) 设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的 ( )
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
【答案】A

【解析】.
记，，. 若线性无关，则，故线性无关.
举反例. 令，则线性无关，但此时却线性相关.
综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件.
故选A
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
【答案】
【解析】

(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 __________.
【答案】1
【解析】且为偶函数
则
又且为奇函数，故

又的周期为4，
(11) 设是由方程确定的函数，则__________.
【答案】
【解析】对方程两边同时对求偏导

当时,
故
故
(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是__________.
【答案】
【解析】由直角坐标和极坐标的关系 ，
于是对应于
切线斜率
所以切线方程为

即
(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度,则该细棒的质心坐标__________.
【答案】
【解析】质心横坐标

(13) 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_________.
【答案】
【解析】配方法：
由于二次型负惯性指数为1，所以，故.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
求极限
【解析】

.
(16)(本题满分10分)
已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小
值.
【解析】 由，得
………………………………………………………①
此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为

由得
又由①可得
当时，，且有：

所以在处取得极小值，在处取得极大值

即：的极大值为1，极小值为0.
(17)(本题满分10分)
设平面区域计算.
【解析】D关于对称，满足轮换对称性，则：

(18)(本题满分10分)
设函数具有二阶连续导数，满足，若，求的表达式.
【解析】由
，

由 ，代入得，

即

，
令得
特征方程 得齐次方程通解
设特解，代入方程得，特解
则原方程通解为
由，得, 则
.
(19)(本题满分10分)
设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：（I）,
（II）.
【解析】（I）由积分中值定理
，

（II）直接由，得到

（II）令

由（I）知

又由于单增，所以
单调不减，
取，得，即（II）成立.
(20)(本题满分11分)
设函数，定义函数列
，记是由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积，求极限.
【解析】

(21)(本题满分11分)
已知函数满足，且求曲线所围成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为,所以其中为待定函数.
又因为则，从而
.
令可得，当时，或，从而所求的体积为

(22)(本题满分11分)
设矩阵，为三阶单位矩阵.
(I)求方程组的一个基础解系；
(II)求满足的所有矩阵.
【解析】

,
(I)的基础解系为
(II)
的通解为
的通解为
的通解为
（为任意常数）
(23)(本题满分11分)

证明阶矩阵与相似.
【解析】已知，，
则的特征值为，(重).
属于的特征向量为；，故基础解系有个线性无关的解向量，即属于有个线性无关的特征向量；故相似于对角阵.
的特征值为，(重)，同理属于有个线性无关的特征向量，故相似于对角阵.
由相似关系的传递性，相似于.

2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、 选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；

，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数在(-∞,+∞)内
(A) (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“”型极限，直接有

,
在处无定义，
且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(3)设函数().若
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】易求出

再有

于是，存在此时.
当，，
=
因此，在连续。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数的图形如右图所示，
则曲线的拐点个数为 A O B
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。 的可疑拐点是

的点及不存在的点。
的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数满足则与依次是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】先求出
令
于是
因此

综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线与直线 围成的平面区域，函数在D上连续，则
(A)
(B)

(C)
(D)
【答案】 B
【解析】D是第一象限中由曲线与直线 围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
D的极坐标表示为

因此

综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7)设矩阵A=,b=。若集合，则线性方程 有无穷多解的充分必要条件为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】
是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则
，此时有唯一解，排除(A),(B)
类似的，若，则，排除(C)
当时，，
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。
(8)设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若Q=在正交变换
下的标准形为
(A) (B)

(C) (D)
【答案】A
【解析】设二次型矩阵为A,则

可见都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值为-1，因此

因此在正交变换下的标准二次型为
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。
二、填空题：()小题，每小题4分，共24分。
(9)设则
【答案】48
【解析】由参数式求导法

再由复合函数求导法则得
=
,
综上所述，本题正确答案是48。
【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导
(10)函数处的n阶导数
【答案】
【解析】

解法1 用求函数乘积的阶导数的莱布尼茨公式

其中注意,于是

因此
解法2
利用泰勒展开

由于泰勒展开系数的唯一性，得
可得
综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—一元函数微分学—高阶导数，泰勒展开公式
(11)设函数连续，.若=1，则

【答案】2
【解析】改写,由变限积分求导法得

由=1= ，
可得
综上所述，本题正确答案是2
【考点】高等数学—一元函数积分学—变限积分函数的性质及应用

(12)设函数是微分方程，且在处
取得极值3，则=
【答案】
【解析】求归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题

由特征方程 可得特征根 于
是得通解
又已知

综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学—常微分方程—二阶常系数齐次线性方程
(13)若函数由方程确定，则

【答案】
【解析】 先求 ，在原方程中令得

方程两边同时求全微分得

令 得

综上所述，本题正确答案是
【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分
(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，,其中E为3
阶单位矩阵，则行列式|B|=
【答案】 21
【解析】 A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1
所以|B|=21
【考点】线性代数—行列式—行列式计算
线性代数—矩阵—矩阵的特征值

三、解答题：小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)设函数,若与在时是等价无穷小，求的值。
【解析】利用泰勒公式

当时，，则
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小的比阶，泰勒公式
(16)设A>0，D是由曲线段及直线所
围成的平面区域，分别表示D绕轴与绕轴旋转所成旋转体的体积。若，求A的值
【解析】

由A>0可得

=
=
又 可得A=
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
(17)已知函数

求的极值。
【解析】

由 ，得

又已知 可得

得 ,从而

对积分得
又， 所以
所以
于是, ,
=2
令得驻点(0,-1)，所以
A= B=
C=
由于,所以极小值为
【考点】高等数学—多元函数微分学—二元函数的无条件极值
(18)计算二重积分,
其中D=
【解析】
因为区域D关于y轴对称，所以=0
原式=
=

=
令,则
==
又
所以二重积分=
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分的计算
(19)已知函数 ，求的零点个数
【解析】
,令得驻点,
当时，,单调减少；
当时，,单调增加；
因为，所以在上存在唯一零点。
又,，所以在上存在唯一零点。
综上可知，有且仅有两个零点。
【考点】高等数学—一元函数微分学—方程的根（零点问题）
(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却，30min后该物体降温至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间？
【解析】
设该物体在t时刻的温度为，由题意得

其中k为比例系数，k>0.解得

将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100
将

令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min）
【考点】高等数学—常微分方程—一阶常微分方程，微分方程应用
(21)已知函数在区间上具有2阶导数，曲线在点()处的切线与轴 的交点是(),证明
【解析】
曲线在点()处的切线方程是
,
解得切线与轴交点的横坐标为

由于，故单调增加。由.
又,故,即有

由拉格朗日中值定理得

因为，所以单调增加，从而,故

由此可知,即
综上所述，
【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理
(22)设矩阵=,且
(1)求的值；
(2)若矩阵,其中为三阶单位矩阵，求
【解析】
(1) 由于，所以

于是
(2) 由于

所以
由(1)知

因为均可逆，所以

【考点】线性代数—矩阵—矩阵方程
(23)设矩阵=相似与矩阵=
(1)求的值；
(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵。
【解析】
(1) 由于矩阵与矩阵相似，所以

于是
解得
(2) 由(1)知矩阵=,=
由于矩阵与矩阵相似,所以

故的特征值为
当,解方程组,得线性无关的特征向量

当，解方程组,得特征向量

令,则
，
故为所求可逆矩阵。
【考点】线性代数—矩阵的特征值与特征向量—矩阵的相似对角化

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