1998年考研数学三真题及全面解析.doc

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设曲线在点处的切线与轴的交点为,则 .
(2) .
(3) 差分方程的通解为 .
(4) 设矩阵满足,其中,为单位矩阵,为的伴随矩阵,则 .
(5) 设是来自正态总体的简单随机样本,
.则当 , 时,统计量服从分布,其自由度为 .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设周期函数在内可导,周期为4.又则曲线在点处的切线的斜率为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(2) 设函数讨论函数的间断点,其结论为 ( )
(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点
(C) 存在间断点 (D) 存在间断点
(3) 齐次线性方程组的系数矩阵记为.若存在三阶矩阵使得,则 ( )
(A) 且 (B) 且
(C) 且 (D) 且
(4) 设阶矩阵

,
若矩阵的秩为,则必为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(5) 设与分别为随机变量与的分布函数.为使 是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )
(A) (B)
(C) (D)

三、(本题满分5分)
设,求与.

四、(本题满分5分)
设,求.

五、(本题满分6分)
设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定)就售出,总收入为.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,年末总收入为假定银行的年利率为,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求时的值.

六、(本题满分6分)
设函数在上连续,在内可导,且试证存在使得

七、(本题满分6分)
设有两条抛物线和,记它们交点的横坐标的绝对值为

(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积；
(2) 求级数的和.

八、(本题满分7分)
设函数在上连续.若由曲线直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体体积为

试求所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件的解.

九、(本题满分9分)
设向量都是非零向量,且满足条件记矩阵求：
(1) ；
(2) 矩阵的特征值和特征向量.

十、(本题满分7分)
设矩阵矩阵其中为实数,为单位矩阵.求对角矩阵,使与相似,并求为何值时,为正定矩阵.

十一、(本题满分10分)
一商店经销某种商品,每周进货的数量与顾客对该种商品的需求量是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.

十二、(本题满分9分)
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；
(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】
【解析】曲线在点处的切线斜率,根据点斜式,切线方程为：

令,代入,则,即在轴上的截距为,
.
(2)【答案】
【解析】由分部积分公式,

.
【相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数,则
或者
(3)【答案】
【解析】首先把差分方程改写成标准形式,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为

故齐次方程的通解为为常数.
将方程右边的改写成,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为

从而代入原方程,得

故 .
于是通解为
(4)【答案】
【解析】由题设 ,
由于,所以可逆.上式两边左乘,右乘,得

(利用公式：)
(移项)
(矩阵乘法的运算法则)
将代入上式,整理得.
由矩阵可逆的定义,知均可逆,且
.
(5)【答案】
【解析】由于相互独立,均服从,所以由数学期望和方差的性质,得
,
所以,同理.

又因为与相互独立,且
；,
由分布的定义,当时,
.
即当时,服从分布,其自由度为.
严格地说,当时,；当时,也是正确的.
【相关知识点】1、对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布.
若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有
,
,
其中为常数.
2、定理：若,则.
3、分布的定义：若相互独立,且都服从标准正态分布,则
.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)【答案】(D)
【解析】根据导数定义：

所以
因为周期为4,的周期亦是4,即,
所以.
所以曲线在点处的切线的斜率为.选(D).

(2)【答案】(B)
【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该的(分段)表达式,然后再讨论的性质.不能隔着极限号去讨论.
【解析】现求的(分段)表达式：
当时,
；
当时,
；
当时,
；
当时,
.
由此, 即
再讨论函数的性质：在处,
,,
所以,,函数在处连续,不是间断点.
在处,；；
所以,函数在处不连续,是第一类间断点.故选(B).
(3)【答案】(C)
【解析】方法1:由知,又,于是
,故,即

,
得应选(C).
方法2:由知,又,于是,故.
显然,时,有故应选(C).
作为选择题,只需在与中选择一个,因而可以用特殊值代入法.
评注：对于条件应当有两个思路：一是的列向量是齐次方程组的解；二是秩的信息,即,要有这两种思考问题的意识.
(4)【答案】(B)
【解析】

其中变换：将1行乘以(-1)再分别加到其余各行；变换：将其余各列分别加到第1列.
由阶梯形矩阵知,当,即时,有,故应选(B).
(5)【答案】(A)
【解析】根据分布函数的性质,即
.
在所给的四个选项中只有(A)满足,故应选(A).
【相关知识点】分布函数的性质：

(1) 单调不减；
(2)
(3) 是右连续的.

三、(本题满分5分)
【解析】

由全微分与偏微分的关系可知,其中的系数就是,即.再对求偏导数,得

四、(本题满分5分)
y
x
O
【解析】表示圆心为,半径为
的圆及其内部,画出区域,如右图.
方法1:
所以, ,
令,则,,所以
上式.

方法2:引入极坐标系,于是
,
其中倒数第二步用了华里士公式：
,其中为大于1的正奇数.

五、(本题满分6分)
【分析】根据连续复利公式,在年利率为的情况下,现时的(元)在时的总收入为,反之,时总收入为的现值为,将代入即得到总收入的现值与窖藏时间之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.
【解析】由连续复利公式知,这批酒在窖藏年末售出总收入的现值为,而由题设,年末的总收入,据此可列出：
,
令 ,
得惟一驻点 .

.

根据极值的第二充分条件,知：是的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大值点.故窖藏年出售,总收入的现值最大.
当时, (年).
【相关知识点】极值的第二充分条件：设函数在处具有二阶导数且,
,当时,函数在处取得极大值；当时,函数在处取得极小值.

六、(本题满分6分)
【分析】本题要证的结论中出现两个中值点和,这种问题一般应将含有和的项分别移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证
.
【解析】方法1: 函数在上连续,在内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,对函数在上用拉格朗日中值定理,有

又函数与满足柯西中值定理的条件,将函数与在上用柯西中值定理,有
,即.
从而有
,即.
方法2：题中没有限制,因此取,即成为要去证存在使
在上对函数用拉格朗日中值定理,存在使

再取,则,原题得证.
【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：
如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点,使等式成立.
2. 柯西中值定理：如果函数及满足
(1) 在闭区间上连续；
(2) 在开区间内可导；
(3) 对任一,,
那么在内至少有一点,使等式成立.

七、(本题满分6分)
【解析】(1)由与得
因图形关于轴对称,所以,所求图形的面积为

(2)由(1)的结果知
,
根据级数和的定义,

八、(本题满分7分)
【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线等围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体体积与包含函数的一个恒等式,这正是列方程的依据.

【解析】由绕轴旋转的旋转体体积公式得,于是,依题意得
,即.
两边对求导,化成微分方程
,
其中为未知函数.按通常以表示自变量,表示未知函数,于是上述方程可写为

即
这是一阶齐次微分方程.令,有,则上式化为

即 (*)
若,则不满足初始条件,舍弃；
若,则也不满足初始条件,舍弃；
所以,,且.
由(*)式分离变量得两边积分得.从而方程(*)的通解为
为任意常数.
再代入初值,由,得,从而所求的解为

【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若,,均一阶可导,则 .

九、(本题满分9分)
【解析】(1)对等式两边取转置,有,即.
利用及矩阵乘法的运算法则,有

,
即是阶零矩阵.
(2)设是的任一特征值,是属于特征值的特征向量,即.
对上式两边左乘得,由(1)的结果,得,因,故(重根),即矩阵的全部特征值为零.
下面求的特征向量：先将写成矩阵形式
.
不妨设,则有

于是得方程组同解方程组,这样基础解系所含向量个数为.
选为自由未知量,将它们的组值代入,可解得基础解系为

则的属于的全部特征向量为,其中为不全为零的任意常数.

十、(本题满分7分)
【分析】由于是实对称矩阵,必可相似对角化,而对角矩阵即的特征值,只要求出的特征值即知,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零,的取值亦可求出.

【解析】方法1：由
,
可得的特征值是
那么,的特征值是,而的特征值是
又由题设知是实对称矩阵,则故
,
即也是实对称矩阵,故必可相似对角化,且
.
当时,的全部特征值大于零,这时为正定矩阵.
方法2：由
,
可得的特征值是
因为是实对称矩阵,故存在可逆矩阵使,即.那么

即.故.
当时,的全部特征值大于零,这时为正定矩阵.
【相关知识点】1.特征值的性质：若有特征值,则的特征多项式有特征值.
2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.

O
10 20 x
y

10
20
十一、(本题满分10分)
【解析】设表示商店每周所得的利润,
当时,卖得利润为(元)；
当时,调剂了,总共得到利润
(元).
所以,
由题设与都服从区间上的均匀分布,联合概率密度为

由二维连续型随机变量的数学期望定义得

十二、(本题满分9分)
【解析】记事件“第次抽到的报名表是女生表”,“报名表是第个地区的”.易见,构成一个完备事件组,且

(1) 应用全概率公式,知
.

(2) .需先计算概率与.对事件再次用全概率公式：
,
由“抽签原理”可知,
.
【相关知识点】1.全概率公式：如果事件构成一个完备事件组,即它们是两两互不相容,其和为(总体的样本空间)；并且,则对任一事件有
.

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