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二次函数的概念教学设计
常德芷兰实验学校 陈佳雪
一、教材分析：
1、教材的地位和作用
二次函数是在学生学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习的一个新的函数，学习二次函数将为一元二次方程的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想，为后来学习二次函数的图象做铺垫，更是高中学习阶段不可缺少的一类重要函数，在学业水平测试中占有较大比例，更是压轴题的热门.
2、学情分析
从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但同时，学生进入九年级之后，上课气氛比较沉闷，不爱发表自己的见解，所以本节课我将利用生活中的视频，图片和时事问题引发学生的兴趣，创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学习的主动性。
从认知状况来说，学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数，对函数概念已经有了认识，但对于得出二次函数的概念（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以我将结合生活中的图片和实例予以引导。
二、教学目标分析
1、知识目标：掌握二次函数的概念，理解二次函数的一般式，初步运用二次函数解决简单应用题，了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
2、能力目标：通过视频图片的引入，培养学生的观察力，抽象概括能力及创造想象能力
3、情感目标：通过观察、讨论、合作交流等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的信心．
4、教学重点难点：新概念教学指出，正确的理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用知识解决问题的金钥匙，所以本节课的重点是对二次函数概念的理解。难点是由实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围。
三、 课堂结构设计
  1、设计理念：形的引入，揭示为什么学二次函数，再数的解析，得出什么是二次函数，最后达到数形结合的统一 、
  2、为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了六个教学环节：
（1）联系生活，引出概念
（2）合作交流，提炼概念
（3）全面剖析，理解概念
（4）例题讲练，运用概念
（5）拓展延伸，升华概念
（6）归纳小结，整理概念
四、教学过程分析：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图

（一）联系生活，引出概念

1．什么叫函数？我们之前学过了哪些函数？它们的形式和形状各是什么样子？
（一次函数，反比例函数）
x
y

0

0
【y=kx+b(k≠0)； y=（k≠0)】
2.学生观察一段投篮的导入视频.【视频】

3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？
（1）【图片】喷泉（2）【图片】彩虹
（3）【图片】桥梁.（4）【图片】战略导弹防御系统示意图，飞机飞行轨迹图，芷兰学校前的路障链条图等

教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么形状？是否象以前学过的函数图象？这样的曲线在生活中你还见过吗？这种曲线处处可见，那它是否像直线和双曲线一样有自己的解析式呢？这将是本章要解决的问题

复习函数是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念。
复习一次函数和反比例函数，是让学生回忆起这两种函数都能用图像表示，并且形成直线和双曲线都具有自己的解析式的思维理念，为二次函数形的引入到数的表达埋下伏笔。
视频图片是为了让学生看到图形，能准确的区分这是一种新的函数激发学生的求知欲，为后面自己探索二次函数的概念提高兴趣！

（二）、合作交流，提炼概念

例1、(1)圆的半径是r(cm)时，面积s (cm²)与半径之间的关系是什么?
解：s=πr²（r>0）
例2、“9·3”纪念抗战胜利70周年阅兵中，11个徒步方队包括了1个三军仪仗队方队和10个英模部队方队，其中“狼牙山五壮士”英模部队方队横排有x排，而每一排的人数是排数的两倍少两人，问这个方队总人数y人与x之间的关系怎样表示？ (插入一段阅兵式的视频)
解：y= x (2x-2)=2 x²-2x
例3、某型号笔记本电脑两年前的售价为6000元，现降价销售，若每年的平均降价率为x，怎样用x来表示该型号电脑现在的售价y（元）？
解：W=6000（1-x） ²
=6000x²-1200x+6000
（0<x<1)

二次函数的概念：如果函数表达式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数，一般式为y= ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数)， a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
教师提问：以上三个例子所列出的关系式整理之后是函数吗？它们有什么共同点，你能给它们起个名字吗？
学生讨论，教师总结：以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。

例1是一个简单的几何问题，例2是今年的热点时事问题，视频播放吸引学生的注意力，提高兴趣，例3是一个降低率的问题，这三个问题难易有序，为二次函数的三种特殊形式提供启发，让学生列出关系式后，归纳出这三个函数关系式的共同点(1)函数解析式均为整式（2)自变量的最高次数是2
由学生讨论自己得出二次函数的概念

（三）、全面剖析，理解概念

1、 二次函数的一般式具有哪些特点？
2、 在 y=ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是不是都是一切实数呢？这里要具体问题具体分析
3、 在二次函数定义中要求a≠0 ， b和c是否可以为零？你能得到哪些形式？
由例1可知，b和c均可为零．
　　若b=0，则y=ax2＋c；
　　若c=0，则y=ax2＋bx；
　　若b=c=0，则y=ax2．
注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．
教师逐一抛出问题，学生思考，合作讨论等，答出问题
这里从二次函数一般式的形上面找特点，再从自变量上反思，最后在各个系数上分类讨论，既体现了知其然又知其所以然，又体现了分类划归的思想，使学生彻底理解了二次函数的概念。

（四）、例题讲练，运用概念

例1、判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．
(1) s=3-2t² (2)
(3)y=3(x-1)²+1 (4)y=(x+3)²- x²
(5) s=10πr² (6) y=2²+2x
（7） y=ax2+bx+c
例2、如图，一块矩形木板，长为120cm，宽为80cm，在木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积s(cm ²)与x之间的函数表达式，并指出x的范围
解：S=120·80-4·x²
=-4 x²+9600,(0<x≤40)

1． 学生抢答，教师点评指正
2． 学生说思路，教师板书，规范作业书写格式

例1是针对二次函数概念所设计的一个习题，主要让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。通过学生抢答的方式可以充分的活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性，而例2 是一个简单的几何题主要让学生了解如何根据实际问题列出二次函数解析式并确定自变量的范围，针对习题，突出重点突破难点。我们对二次函数的概念是不是学到这里就结束了，当然不是，只要你踮起脚尖就可以触摸到更高的云彩，下面我们一起进入下一个环节。

（五）拓展延伸，升华概念

1、已知函数，
(1) m取什么值时,此函数是正比例函数？
(2) m取什么值时,此函数是反比例函数？
(3) m取什么值时,此函数是二次函数？
2、为了迎接芷兰实验学校每年一次的班级排球赛，如图初三某学生现站在0处练习发球，将球从0点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足表达式（插入视频）
y=a(x-6) ²+h.已知球网与0点的距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距0点的水平距离为18m
（1）当h=2.6时，求y关于x的函数表达式（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？试说明理由。

解：（1）点A(0，2)代入解析式得
2=a(0-6) ²+2.6得：a=-1/60
所以y=-1/60(x-6) ²+2.6
（2）当x=9时，y=-1/60(9-6) ²+2.6
=2.45>2.43,可以过网
当y=0时，0=-1/60(x-6) ²+2.6
x≈18.5或x≈-6.5（舍）
∵18.5>18 ∴会出界

学生上黑板解答，答完由班上学生点评，让学生在点评中发现问题并改正所犯的同类错误

第2个问题有难度，可能需要老师适当的引导，学生才能发现坐标，再结合待定系数法列出方程，求出a

第一个习题，主要让学生区分三种函数类型，通过对比，熟记二次函数的概念，形神升华
第二个习题以身边的问题为题，提高兴趣，让学生了解数学来源于生活服务生活的道理，更是体现了数形结合的统一，再一次升华概念。

（六）
归纳小结，整理概念

1、本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方?
1、二次函数的概念：如果函数表达式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数，一般式为y= ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数)， a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
2、三种特殊形式b和c均可为零．若b=0，则y=ax2＋c；若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c=0，则y=ax2．
2、布置作业，引导预习
必做题：
1. 正方形的边长为4，如果边长增加x，则面积增加y，求y关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？
2. 在长20cm，宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。
选做题：
1.已知函数是二次函数，求m的值。
2、课本P4B组习题

学生发言，自我小结

作业学生独立完成

让学生来谈本节课的收获，可以培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。
分层作业，可以激发学生的好胜心，让他们各显身手。
五、教学评价分析
数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。
在这一个过程中，我突出了三个特色
特色一：以二次函数的概念这把金钥匙为主角jue，让学生经历发现钥匙，找到钥匙并运用钥匙的过程，完全掌控了这把金钥匙。
特色二：始终以形到数到数形结合为主线，目的明确，思路清晰，让学生充分感受到数形结合的魅力。
特色三：以生活中的视频图片引入，再回归到解决身边的问题，让学生了解了数学来源于生活又服务于生活的道理，学以致用，增强信心！
以上就是我对二次函数概念教学上的一些想法，请大家提出宝贵的意见，谢谢。
毕达哥拉斯曾经说过，在数学的天地里，不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么