塑性力学05球对称与轴对称问题幻灯片.ppt
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1、塑性力学051 第五章第五章 球对称和轴对称的弹塑性问题球对称和轴对称的弹塑性问题5-1 理想弹塑性材料的厚壁球壳理想弹塑性材料的厚壁球壳 问题的描述与分析问题的描述与分析问题问题:内径为内径为 ,外径为外径为 球球,受受内压力内压力 ,求弹塑性极限荷载求弹塑性极限荷载.分析分析:很显然它的应力和位移很显然它的应力和位移场是球对称的场是球对称的,采用球坐标采用球坐标.应力场应力场:应变为应变为显然显然这就是说这就是说,在加载过程中在加载过程中 应力和应变主方向是重合的应力和应变主方向是重合的,并保持并保持不变不变,那么加载是简单加载那么加载是简单加载,适用全量理论适用全量理论.2 球对称问题的
2、平衡方程球对称问题的平衡方程,应变连续方程和边界条件应变连续方程和边界条件平衡方程为平衡方程为(不考虑体力不考虑体力):应变分量为应变分量为这里这里 是径向位移是径向位移.它们应满足应变连续性方程它们应满足应变连续性方程边界条件为边界条件为1.弹性状态弹性状态 首先建立位移表示的平衡方程首先建立位移表示的平衡方程.球体处于弹性状态球体处于弹性状态,根据广义根据广义Hooke定律定律然后用应变表示应力得到然后用应变表示应力得到:3把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程把它代入平衡方程得到用位移表示的平衡方程:解这个方程得解这个方程得利用边界条件得到利用边界条件得到最后得到位移解为最后得到位移解
3、为:4可以得到应力分量可以得到应力分量 求弹性极限压力求弹性极限压力.根据球壳的屈服条件根据球壳的屈服条件(例例2-3)即即将上面的应力分量代入屈服条件得将上面的应力分量代入屈服条件得从上式可以看出在球壳内壁最先屈服从上式可以看出在球壳内壁最先屈服,令令 得到弹性得到弹性极限压力极限压力:从上式可以看出从上式可以看出,当当 时时,这说明如果使这说明如果使球壳处于弹性工作状态球壳处于弹性工作状态,那么无论壁厚增加多少也不能提那么无论壁厚增加多少也不能提高它的承载能力高它的承载能力.52.弹塑性状态弹塑性状态当压力当压力 时时,球壳内壁开始屈球壳内壁开始屈服并向外扩展到半径服并向外扩展到半径 处处
4、,如果材如果材料是理想弹塑性料是理想弹塑性,在塑性区应力仍在塑性区应力仍要满足平衡条件要满足平衡条件,此时考虑到屈服此时考虑到屈服条件条件 ,因此有因此有积分得到积分得到根据边界条件根据边界条件得到积分常数得到积分常数得到塑性区的应力为得到塑性区的应力为弹性区的应力把前面的弹性弹性区的应力把前面的弹性解中的解中的 即可即可6考虑到在交界面处考虑到在交界面处 要连续要连续,所以得到所以得到 和和 的关系式的关系式.3.塑性极限状态塑性极限状态.上式令上式令 ,球壳全部进入塑性得到塑性球壳全部进入塑性得到塑性极限压力为极限压力为 此时塑性区的应力为此时塑性区的应力为75-2 棒材的拉拔加工棒材的拉
5、拔加工1)问题说明见图问题说明见图2)假定条件假定条件 理想弹塑性理想弹塑性无摩擦无摩擦,接触面接触面是主平面是主平面 塑性变形向塑性变形向o点径点径向流动向流动,并且稳定并且稳定.3)可以看成球壳的一部分可以看成球壳的一部分,全部进入塑性状态全部进入塑性状态,可以利用上面解可以利用上面解球壳的思路球壳的思路.平衡方程不变平衡方程不变.屈服条件的形式不同屈服条件的形式不同,因为在拉拔因为在拉拔情况情况,屈服条件为屈服条件为 代入平代入平衡方程得到衡方程得到8解这个方程得到解这个方程得到:由进口截面处的边界条件由进口截面处的边界条件 得积分常数为得积分常数为解得应力分量为解得应力分量为4)求解出
6、口截面的求解出口截面的拉拔应力拉拔应力为为那么拉拔力为那么拉拔力为5)定义截面减缩率为定义截面减缩率为可以求得拉拔时可以求得拉拔时最最大减缩率大减缩率.因为材料是理想弹塑性因为材料是理想弹塑性,出口截面处的拉拔应力不能超过屈出口截面处的拉拔应力不能超过屈服应力服应力,所以有所以有这样得到这样得到那么最大减缩率为那么最大减缩率为95-3 理想弹塑性材料的厚壁圆筒理想弹塑性材料的厚壁圆筒问题的描述问题的描述:分析内径为分析内径为 ,外径为外径为 的厚壁圆筒的厚壁圆筒,在其内表面受在其内表面受内压为内压为 .假定是不可压缩的理想弹塑性材料假定是不可压缩的理想弹塑性材料,并限定为平面应并限定为平面应变
7、问题变问题.取柱坐标取柱坐标,使使 轴与筒轴线重合轴与筒轴线重合.1)弹性状态弹性状态 弹性应力解为弹性应力解为(由于材料不可压缩由于材料不可压缩 ):那么根据那么根据Mises屈屈服条件得到弹性极服条件得到弹性极限压力为限压力为:应力强度为应力强度为即即因此可见最大应力强度发生在内壁处因此可见最大应力强度发生在内壁处.102)弹塑性状态弹塑性状态 令令 是弹塑性交界面的半径是弹塑性交界面的半径.首先我们分析一首先我们分析一下在塑性区的应力分量的关系下在塑性区的应力分量的关系.因为材料的不可压缩因为材料的不可压缩,又又因为的平面应变因为的平面应变 ,这样根据简单加载的全量理论有这样根据简单加载
8、的全量理论有因此得到因此得到另外根据筒的受力性质知道另外根据筒的受力性质知道 是拉应力是拉应力,是压应力是压应力,所以应所以应力强度力强度根据塑性区是理想弹塑性所以根据塑性区是理想弹塑性所以Mises屈服条件有屈服条件有平面轴对称问题的平衡方程为平面轴对称问题的平衡方程为 这样由屈服条件和平衡方程得到这样由屈服条件和平衡方程得到积分得到积分得到再由边界条件再由边界条件得积分常数得积分常数11 这样得到塑性区的应力这样得到塑性区的应力:弹性区的应力弹性区的应力,可以利用弹可以利用弹性状态的解令性状态的解令 交界面应力连续得到交界面应力连续得到这是这是 和和 的关系式的关系式.3)上式令上式令 ,
9、得到塑性极限得到塑性极限压力压力:此时塑性区应力为此时塑性区应力为:124)残余应力的计算残余应力的计算.厚壁圆筒在进入塑性状态以后厚壁圆筒在进入塑性状态以后,将内压力将内压力全部卸载全部卸载,此时卸载的荷载变换为此时卸载的荷载变换为 ,按弹性计算得到变化的应按弹性计算得到变化的应力力,这样用卸载前的应力减去这个变换应力就得到残余应力这样用卸载前的应力减去这个变换应力就得到残余应力.用用图来表示图来表示(残余应力只给出环向应力残余应力只给出环向应力)为为:从残余应力图中看出从残余应力图中看出,内壁有残余压应力内壁有残余压应力,这就是对厚壁圆筒施这就是对厚壁圆筒施加了预应力加了预应力,从而可以提
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