虚位移原理.ppt

第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理 （静力学问题）（静力学问题）14-1 14-1 约束约束,虚位移和虚功虚位移和虚功14-2 14-2 虚位移原理虚位移原理1,学会给机构虚位移学会给机构虚位移2,学会求虚功学会求虚功3,学会虚位移原理解题学会虚位移原理解题（几何法和解析法）（几何法和解析法）1 在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理虚位移原理。它是研。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。2约束约束：约束方程约束方程：一一 定义定义14-1 14-1 约束约束,虚位移和虚功虚位移和虚功限制质点或质点系位置和运动的条件限制质点或质点系位置和运动的条件限制条件的数学方程限制条件的数学方程二二 约束分类约束分类31,几何约束和运动约束几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为的条件称为几何约束几何约束。45限制质点系运动情况的运动学条件称限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。运动约束。62 定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束。常约束。73 其它分类其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分而不能约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分而不能表成有限形式表成有限形式 的约束称的约束称非完整约束非完整约束，否则为，否则为完整约束。完整约束。约束方程是等式的，称约束方程是等式的，称双侧约束双侧约束（或称（或称固执约束固执约束）,约束约束方程为不等式的，称方程为不等式的，称单侧约束单侧约束（或称（或称非固执单侧约束非固执单侧约束）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束8三 虚位移和虚功虚位移和虚功 M虚位移虚位移:在某一瞬时在某一瞬时,质点质点系在系在约束允许约束允许的条件下的条件下,可可能实现的任何无限小的位能实现的任何无限小的位移移.可以是线位移可以是线位移,也可以是也可以是角位移角位移,用用 (变分符号变分符号)表示表示.虚位移虚位移 非自由质点系非自由质点系:受到约束的质点系受到约束的质点系,运动不可运动不可 能完全自由的能完全自由的.9rlxy10 xyolM(x，y)虚位移与实位移的关系虚位移与实位移的关系:实位移除了与约束条件有实位移除了与约束条件有关外关外,还与时间还与时间,主动力主动力,及及初始条件有关初始条件有关,而虚位移只而虚位移只与约束条件有关与约束条件有关.在定常约束下在定常约束下,实位移是虚位实位移是虚位移移 中的一个中的一个.在非定常约束下在非定常约束下,实位移不一实位移不一定是虚位移定是虚位移 中的一个中的一个.11真实位移和虚位移都满足位移投影定理真实位移和虚位移都满足位移投影定理。ABAB12求求机构机构上点上点A,B,C的虚位移之间的关系的虚位移之间的关系13OOABEDOOABED14比照力的功，我们定义力的比照力的功，我们定义力的虚功虚功虚功同虚位移一样，是假想的。虚功同虚位移一样，是假想的。1,力是真实的，位移是虚位移力是真实的，位移是虚位移2,真实的力在力的作用点的虚位移上做的功，是虚真实的力在力的作用点的虚位移上做的功，是虚功。功。虚功虚功1516ol例例 计算单摆重力的虚功计算单摆重力的虚功解析法解析法几何法几何法xyM(x，y)352页思考题页思考题15-417如果约束反力在质点系的任何虚位移中的如果约束反力在质点系的任何虚位移中的虚功之和等于零，则这种约束称为虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束理想约束记为记为理想约束的典型例子如下：理想约束的典型例子如下：1、光滑支承面、光滑支承面理想约束理想约束182、光滑铰链、光滑铰链3、无重刚杆、无重刚杆4、不可伸长的柔索、不可伸长的柔索1914-2 14-2 虚位移原理虚位移原理受受理想约束理想约束的杆的杆在在平衡平衡力系作用下力系作用下给给受受理想约束理想约束的杆的杆杆一个虚位移杆一个虚位移20拉格朗日拉格朗日-意大利数学家，意大利数学家，研究变分法研究变分法,第一位提出第一位提出虚虚位移原理。位移原理。Josepb Louis Lagrange（1736-1813）虚位移原理虚位移原理 具有具有理想约束理想约束的质点系的质点系(整体机构整体机构)，平衡的必要，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力（真实主与充分条件是：作用于质点系的所有主动力（真实主动力和非理想约束力）在任何虚位移上所作的虚功之动力和非理想约束力）在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即和等于零。即211几何法几何法(在图中调整正负号在图中调整正负号)2解析法解析法(1),在方程中调整正负号在方程中调整正负号 (2)保证机构上点的坐标任意性保证机构上点的坐标任意性)22虚位移原理虚位移原理 对具有理想约束的质点系可对具有理想约束的质点系可直接求出直接求出主动力主动力,而不必计算约束力而不必计算约束力,为人为人类类节省多少华年节省多少华年,增添巨大方便。增添巨大方便。将约束解除，代之相应的约束反力，并视将约束解除，代之相应的约束反力，并视为主动力，又可求出约束为主动力，又可求出约束力。多么灵活！力。多么灵活！对具有不理想约束的质点系对具有不理想约束的质点系,将不理想约束将不理想约束解除解除,使之成为使之成为具有理想约束的质点系具有理想约束的质点系,将将不不理想理想约束约束力视力视为主动力为主动力,又可应用又可应用虚位移原理。虚位移原理。多么辩证！多么辩证！力学之金律力学之金律23一一,求出求出主动力主动力(具有理想或非理想约束的机构具有理想或非理想约束的机构)二二,求约束力求约束力(具有理想或非理想约束的结构具有理想或非理想约束的结构)3，受力图，受力图（主动力，非理想约束，要求的一个约束力）（主动力，非理想约束，要求的一个约束力）解题类型解题类型解题步骤解题步骤1，以受力系作用而，以受力系作用而平衡平衡的质点系为研究对象的质点系为研究对象4，用虚位移原理（几何法或解析法）求解未知量，用虚位移原理（几何法或解析法）求解未知量2，把质点系改变为具有，把质点系改变为具有理想约束理想约束的的机构机构24例图所示椭圆规例图所示椭圆规机构机构中，连杆中，连杆AB长为长为L，滑块滑块，与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力求：主动力 之间的关系。之间的关系。一一,求出求出主动力主动力(具有理想约束的机构具有理想约束的机构)25解：解：(1)用几何法用几何法,给机构虚位移给机构虚位移由由代入虚位移原理代入虚位移原理,有有26(2)用解析法。在机构上建立坐标系用解析法。在机构上建立坐标系,由由27例如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，例如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩与与主动力主动力之间的关系之间的关系。28由图中关系有由图中关系有代入虚功方程得代入虚功方程得解：解：给虚位移给虚位移几何法几何法29例例 滑套滑套D套在光滑直杆套在光滑直杆AB上，上，并带动杆并带动杆CD在铅直滑道上滑动。在铅直滑道上滑动。已知已知=0o时，弹簧等于原长，时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（求在任意位置（角）平衡时，角）平衡时，加在加在AB杆上的力偶矩杆上的力偶矩M？(354页页15-7)二二,求出求出主动力主动力(具有非理想约束的机构具有非理想约束的机构)30解解:以去掉弹簧后的整体机构为研究对象。以去掉弹簧后的整体机构为研究对象。31由虚位移原理，得：由虚位移原理，得：32三三 求约束力求约束力(具有理想或非理想约束的结构具有理想或非理想约束的结构)1,去掉原结构要求的一个约束去掉原结构要求的一个约束,代之以约束力代之以约束力,这样这样把结构变为机构把结构变为机构(一个自由度一个自由度),再把机构改变为具再把机构改变为具有理想约束的机构有理想约束的机构;3,以此类推，直至求出所有要求的约束力以此类推，直至求出所有要求的约束力.2,给机构给机构(理想约束理想约束)一个虚位移一个虚位移,用虚位移定理求用虚位移定理求这个未知的主动力即约束力这个未知的主动力即约束力.33例例 多跨静定梁，多跨静定梁，求支座求支座B处反力。处反力。解解：将支座将支座B 除除去，代入相应的去，代入相应的约束反力约束反力 。除除某一某一约束代之相应的约束反力，并视为主动力约束代之相应的约束反力，并视为主动力.343536练习练习:多跨静定梁多跨静定梁,求支座求支座B处反力处反力.支座支座D,F处反力处反力37求铰求铰A的约束力的约束力1,求铰求铰A的约束力的约束力FAx练习求练习求FAy38例例 平面桁架平面桁架ABCD，在节点在节点D受载荷受载荷P作用，作用，求杆求杆BD的内力。的内力。ABCDP杆杆BD的内力是约的内力是约解：解：束力，为求之，应将束力，为求之，应将BC杆的作用以力杆的作用以力S，S代替，并视为主动力。代替，并视为主动力。39令令以固定点以固定点A为原点建立坐标为原点建立坐标A-xyABCDPssy40ABCDPssy两蓝式连立，并将两蓝式连立，并将代入代入求得杆求得杆BD的内力的内力由由B和和D的横坐标相等的横坐标相等寻求虚位移关系寻求虚位移关系,变分变分解析法要求坐标的一般性解析法要求坐标的一般性41例图中所示结构，各杆自重不计，在例图中所示结构，各杆自重不计，在点作用一铅直点作用一铅直向上的力向上的力，求：支座求：支座的水平约束力。的水平约束力。42解解:解除解除B端水平约束端水平约束,以力以力 代替代替,如图如图(b)带入虚功方程带入虚功方程43如图在如图在CG间加一弹簧，刚度间加一弹簧，刚度K，且已有伸长量且已有伸长量 ，仍求仍求 。在弹簧处也代之在弹簧处也代之 以力，以力，如图，其中如图，其中 4445练习练习:求求1，2杆的内力杆的内力4647同学：同学：1，虚位移定理的几何法与解析法的，虚位移定理的几何法与解析法的步骤分别是什么？步骤分别是什么？如果机构稳定和特殊，一般用解析如果机构稳定和特殊，一般用解析法（坐标一般性），其他用几何法。法（坐标一般性），其他用几何法。48 解解1：研究曲柄连杆机构的平衡，在理想研究曲柄连杆机构的平衡，在理想约束下，据约束下，据虚位移原理：虚位移原理：oABPQAB两点虚位移关系：两点虚位移关系：解得解得 曲柄连杆曲柄连杆机构机构如图，如图，OA=AB=L，处在处在平衡状态，不计摩擦，求主动力平衡状态，不计摩擦，求主动力P和和Q的关系的关系。例例几何法几何法49解得解得有有变分之变分之解解2:研究曲柄连杆研究曲柄连杆机构机构的平衡的平衡以固定点以固定点O为原点建立坐标为原点建立坐标OxyoABPQxy解析法解析法50oABCDMP练习练习求平衡时，求平衡时，与与 的关系。的关系。MP几何法几何法51据虚位移原理据虚位移原理虚位移关系虚位移关系oABCDMP解得解得52已知：已知：P,Q,BD=DO=,AD=求主动力求主动力P和和Q的关系。的关系。以固定点以固定点O为原点建立坐标为原点建立坐标OxyxyoBPQDA53解得解得oBPQDAxy54Npp例例 螺旋压榨机在手柄上作用一个力偶螺旋压榨机在手柄上作用一个力偶,其矩其矩，螺杆的螺距为，螺杆的螺距为，求平衡时，求平衡时对被压物体的压力。对被压物体的压力。解：取手柄，螺杆和解：取手柄，螺杆和压板来研究压板来研究55虚位移原理虚位移原理对于单头螺纹：对于单头螺纹：代入，因代入，因解得解得压板对被压物体的压力压板对被压物体的压力寻求虚位移关系：寻求虚位移关系：Npp56据虚位移原理据虚位移原理虚位移关系虚位移关系解出解出习题习题ACDBPSS杆杆3的作用以力的作用以力S，S代替代替57练习练习:多跨静定梁，求支座多跨静定梁，求支座B处反力。支座处反力。支座A处反力处反力5859