我们应该如何教几何.ppt
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1、我们应该如何教几何我们应该如何教几何人民教育出版社人民教育出版社 章建跃章建跃1 一、关于数学育人的基本观点一、关于数学育人的基本观点教育的根本任务是教育的根本任务是立德树人立德树人。数学教育要数学教育要着眼于学生的长期利益着眼于学生的长期利益。数学育人要数学育人要发挥数学的内在力量发挥数学的内在力量,充分挖掘数学,充分挖掘数学课程所蕴含的价值观资源,围绕学生数学学科核课程所蕴含的价值观资源,围绕学生数学学科核心素养的发展需要,以培育学生的理性精神、提心素养的发展需要,以培育学生的理性精神、提高学生的数学思维能力为核心,使学生掌握高学生的数学思维能力为核心,使学生掌握“四四基基”、“四能四能”
2、,学会,学会有逻辑地、创造性地思考有逻辑地、创造性地思考,成为善于认识问题、解决问题的人才。成为善于认识问题、解决问题的人才。2发挥数学的内在力量,实现发挥数学的内在力量,实现“教数育人教数育人”数学教师应成为学生发展的导师:数学教师应成为学生发展的导师:教数学知识教数学知识是手段,育人是目的是手段,育人是目的;数学源于对现实世界的抽象,不仅仅是符号运数学源于对现实世界的抽象,不仅仅是符号运算、形式推理、模型构建,也彰显了人与世界算、形式推理、模型构建,也彰显了人与世界的关系,更表达了宇宙空间的本质;的关系,更表达了宇宙空间的本质;数学的最本质特征是逻辑的严密性,其中蕴含数学的最本质特征是逻辑
3、的严密性,其中蕴含着讲规则、重证据、依逻辑、实事求是、严谨着讲规则、重证据、依逻辑、实事求是、严谨求实的科学精神与为人品格;求实的科学精神与为人品格;数学数学不仅有工具属性不仅有工具属性,也有鲜明的理性精神属性,也有鲜明的理性精神属性,所以数学教育必然是工具性和理性精神的统一体所以数学教育必然是工具性和理性精神的统一体。3二、教师专业发展的基石二、教师专业发展的基石理解数学,理解学生,理解教学,理解技术理解数学,理解学生,理解教学,理解技术。“四个理解四个理解”的内涵:掌握丰富的数学学科知识;的内涵:掌握丰富的数学学科知识;中小学数学课程结构体系、教学重点的知识;学中小学数学课程结构体系、教学
4、重点的知识;学生数学学习难点的知识;关于重点知识的教学解生数学学习难点的知识;关于重点知识的教学解释的知识;关于有效促进学生数学理解的知识;释的知识;关于有效促进学生数学理解的知识;关于评估学生的知识理解水平的知识;等。关于评估学生的知识理解水平的知识;等。特别是,特别是,教师对教师对“内容所反映的数学思想方法内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果。4理解数学知识的三重境界理解数学知识的三重境界 知其然知其然 知其所以然知其所以然 何由以知其所以然何由以知其所以然 启发学生,示以思维之道耳!启发学生,示以思维之道耳!5三、在理
5、解数学的基础上设计数学活动三、在理解数学的基础上设计数学活动几何的研究对象是什么?几何的研究对象是什么?空间的最基本概念是空间的最基本概念是“位置位置”。(1)几何中,)几何中,“位置位置”用什么来标记?用什么来标记?(2)空间中两个位置之间的差别用什么来标)空间中两个位置之间的差别用什么来标记?记?(3)“位置差别位置差别”用什么几何量来加以定量用什么几何量来加以定量化化的刻画的刻画?(4)如何刻画直线的)如何刻画直线的“直直”、平面的、平面的“平平”?6度量是数学的本质所在度量是数学的本质所在几何学是关于几何图形的形状、大小、位几何学是关于几何图形的形状、大小、位置关系的科学。置关系的科学
6、。点、直线、平面是基本几何图形,源于对点、直线、平面是基本几何图形,源于对现实事物的抽象现实事物的抽象纯粹的数学对象纯粹的数学对象。“位置位置”是宇宙空间的最基本要素,位置是宇宙空间的最基本要素,位置用用“点点”表示;表示;直线段是连接两点的最短通路,两个点的直线段是连接两点的最短通路,两个点的位置差异用线段的长度表示。位置差异用线段的长度表示。7直线由点组成,直线的直线由点组成,直线的“直直”用点与点之用点与点之间的关系来刻画;间的关系来刻画;平面由点、直线组成,平面的平面由点、直线组成,平面的“平平”用点、用点、直线的关系,用直线的直线的关系,用直线的“直直”来刻画。来刻画。8“方向方向”
7、是另一个基本概念是另一个基本概念(1)几何中,)几何中,“方向方向”用什么来表达?用什么来表达?(2)两个方向的差别用什么来度量?)两个方向的差别用什么来度量?9平面上的一条射线表达了一个方向,一条平面上的一条射线表达了一个方向,一条直线则是具有两个相反的方向。直线则是具有两个相反的方向。两条共起点的射线,在方向上的差别也就两条共起点的射线,在方向上的差别也就是是BAC的角度,即角度是其方向差的度的角度,即角度是其方向差的度量。量。10如何研究如何研究“相交线相交线”首要问题是什么?首要问题是什么?研究对象的抽象研究对象的抽象定义相交线。定义相交线。数学的方式:数学的方式:(1 1)低维定义高
8、维;)低维定义高维;(2 2)组成要素的基本关系。)组成要素的基本关系。11接下来的研究内容是什么?接下来的研究内容是什么?性质性质“相交线的性质相交线的性质”的内涵是什么的内涵是什么?两条直线相交形成四个角(几何元素),两条直线相交形成四个角(几何元素),这些角之间的相互关系这些角之间的相互关系几何图形组成几何图形组成元素间的相互关系就是性质!元素间的相互关系就是性质!如何发现这些角的相互关系?如何发现这些角的相互关系?12探究过程探究过程四个角的关系四个角的关系1+2+3+4=360三个角的关系三个角的关系变化中不存在不变性变化中不存在不变性没有固定的关系没有固定的关系两个角的关系两个角的
9、关系(1)两两两两配对配对有有6对角,即对角,即1和和2,1和和3,1和和4,2和和3,2和和4,3和和4。13(2)1和和2的关系如何研究?的关系如何研究?从角的定义出发,得到研究内容从角的定义出发,得到研究内容:两个角的顶:两个角的顶点、边的关系,得到点、边的关系,得到1与与2的的位置位置关系。关系。顶点重合;一边重合,称这两个角顶点重合;一边重合,称这两个角“相邻相邻”;另一边互为反向延长线,所以两个角另一边互为反向延长线,所以两个角“互补互补”。用用几何语言准确几何语言准确表达表达即为即为邻邻补角的定义:补角的定义:1与与2有一条公共边有一条公共边OA,它们的另一边互为反,它们的另一边
10、互为反向延长线,即向延长线,即1与与2互补,具有这种关系的两互补,具有这种关系的两个角,互为邻补角个角,互为邻补角14(3)其余)其余5对角的关系的研究对角的关系的研究让让学生类比学生类比1与与2的位置关系的研究过程,的位置关系的研究过程,对对其余其余5对角的边的位置关系对角的边的位置关系进行进行自主探究自主探究,并作出分类并作出分类,得出,得出对顶角的定义,再得出:两条对顶角的定义,再得出:两条直线相交所形成的直线相交所形成的4个角中,两两之间的位置关系,个角中,两两之间的位置关系,根据两个角的边之间特殊的位置关系,分成两类,根据两个角的边之间特殊的位置关系,分成两类,一类是邻补角,一类是对
11、顶角一类是邻补角,一类是对顶角。过程与结果的融合,直观想象、数学抽象等素过程与结果的融合,直观想象、数学抽象等素养的落实。养的落实。15接下去研究什么?接下去研究什么?已经已经研究了两条直线相交形成的研究了两条直线相交形成的6 6对角的位对角的位置关系,发现可以分为两类。那么,邻补置关系,发现可以分为两类。那么,邻补角、对顶角分别有怎样的角、对顶角分别有怎样的大小大小关系呢?这关系呢?这就是接下来要研究的问题。就是接下来要研究的问题。几何学是几何学是研究几何图形的形状、大小、位置关系的研究几何图形的形状、大小、位置关系的科学。科学。16如何让学生感受证明如何让学生感受证明“对顶角相等对顶角相等
12、”的必要性的必要性从一个给定的图形中得到从一个给定的图形中得到“对顶角相等对顶角相等”,但,但任意两个对顶角都相等吗任意两个对顶角都相等吗?观察剪刀观察剪刀剪纸的过程,这个过程中什么在变化?剪纸的过程,这个过程中什么在变化?对顶角的相等关系总能保持吗?为什么?对顶角的相等关系总能保持吗?为什么?在在一个平面内的两条相交线,不仅一个平面内的两条相交线,不仅AB,CD的的位置关系可以改变,交点位置关系可以改变,交点O的位置也可以改变。的位置也可以改变。在这些变化过程中,对顶角仍然相等吗?你如何在这些变化过程中,对顶角仍然相等吗?你如何使人相信:如果两个角具有对顶角的位置关系,使人相信:如果两个角具
13、有对顶角的位置关系,那么它们就一定相等?你能把道理完整地写出来那么它们就一定相等?你能把道理完整地写出来吗?吗?17接下来研究什么?接下来研究什么?垂线垂线从一般相交到相互垂直。从一般相交到相互垂直。从一般到特殊是发现和提出数学问题的从一般到特殊是发现和提出数学问题的“基本之道基本之道”!“特殊特殊”往往很重要。往往很重要。18小结:相交线的研究路径小结:相交线的研究路径概念概念性质性质特例特例其中,概念的定义明确了研究对象及其几其中,概念的定义明确了研究对象及其几何要素(何要素(4 4个共顶点的角);性质是指几何个共顶点的角);性质是指几何要素之间的相互关系(要素之间的相互关系(4 4个角的
14、位置关系、个角的位置关系、大小关系);特例是指两条相交线的特殊大小关系);特例是指两条相交线的特殊位置关系,即垂直,与距离这一重要数学位置关系,即垂直,与距离这一重要数学概念相关,因此有特别的重要性。概念相关,因此有特别的重要性。角的关系是指角的组成要素之间的关系。角的关系是指角的组成要素之间的关系。从定义出发研究性质从定义出发研究性质。19如何研究平行线的性质?如何研究平行线的性质?大前提大前提:两条直线平行;:两条直线平行;小前提小前提:与第三条直线相交;:与第三条直线相交;结论结论:同位角相等,内错角相等,同旁内:同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。角互补。性质的表现方式性质的表现方式
15、:“第三条直线第三条直线”在运动在运动变化过程中,与两条平行线相交形成的角变化过程中,与两条平行线相交形成的角(几何要素)之间具有确定的关系。(几何要素)之间具有确定的关系。20体现核心素养的体现核心素养的“大概念大概念”从方法论的高度看从方法论的高度看,研究,研究两条直线某种位置关系的两条直线某种位置关系的性质,性质,就是探索在这种位置关系就是探索在这种位置关系下,两条直线的组成要素之间以及下,两条直线的组成要素之间以及与其他直线所形成的图形中出现的确定关系(不变性和不变与其他直线所形成的图形中出现的确定关系(不变性和不变量)。量)。具体方法是具体方法是让几何元素动让几何元素动起来,看起来,
16、看“变化中的变化中的不变性、不不变性、不变量变量”。这是教学设计的源头,需要采用单元设计,把这是教学设计的源头,需要采用单元设计,把“数数学对象的抽象学对象的抽象组成元素的提取组成元素的提取相互关系的猜想相互关系的猜想猜想的证明猜想的证明性质的应用性质的应用”等落实下来。等落实下来。21提倡单元整体设计教学提倡单元整体设计教学学生数学学科核心素养水平的达成不是一学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的,具有蹴而就的,具有阶段性、连续性、整合性阶段性、连续性、整合性等特点。教师应理解不同数学学科核心素等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平的具体要求,不仅关注每一节课的养水平的具体要求,不
17、仅关注每一节课的教学目标,更要关注主题、单元的教学目教学目标,更要关注主题、单元的教学目标标。所以,。所以,整体把握教学内容整体把握教学内容对对促进数学促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展学科核心素养连续性和阶段性发展具有重具有重要意义。这就是提倡要意义。这就是提倡单元整体单元整体设计教学的设计教学的理由。理由。22要防止碎片化教学现象的延续要防止碎片化教学现象的延续老师的困惑:单元设计会出现课的容量过老师的困惑:单元设计会出现课的容量过大问题,知识不巩固、解题能力不过关。大问题,知识不巩固、解题能力不过关。受应试的困扰,大家习惯于受应试的困扰,大家习惯于“当堂巩固当堂巩固”,学一个知识点就
18、要进行大量巩固性练习。,学一个知识点就要进行大量巩固性练习。这样的教学,结果必然是:知识碎片化,这样的教学,结果必然是:知识碎片化,而孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练而孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练也导致了训练效果不佳,学生综合运用知也导致了训练效果不佳,学生综合运用知识的能力不强。识的能力不强。23思想、方法的普遍适用性思想、方法的普遍适用性例如,直线平行于平面的性质例如,直线平行于平面的性质位置关系(大前提)位置关系(大前提):直线:直线l 平面平面;探究性质的思路:直线探究性质的思路:直线l、平面、平面与其他直线、与其他直线、平面所形成的确定关系,可以得到命题:平面所形成的确定关系
19、,可以得到命题:(1)如果)如果 al(小前提)(小前提),那么,那么a ;(2)如果)如果 a,那么,那么a l;(3)如果)如果a l,那么,那么a;(4)如果)如果a,那么,那么a l;24(5)如果)如果l,那么,那么;(6)如果)如果,那么,那么l;(7)如果)如果l,那么,那么;(8)如果)如果 ,那么,那么 l。25(9)与)与“公理公理”相联系,直线相联系,直线l与平面与平面 内任内任意一点意一点A确定一个平面确定一个平面,=m,那么,那么 ml;(10)l,所以,所以l=。如果。如果m在在 内,则内,则或者或者ml,或者,或者m与与l是异面直线。是异面直线。(11)直线)直线
20、m与直线与直线l异面,则过直线异面,则过直线m有且只有且只有一个平面与直线有一个平面与直线l平行。平行。(12)l,=l,=l1,=l2,那那么么l1l2。26研究对象在变,研究对象在变,“研究套路研究套路”不变,思想方法不变!不变,思想方法不变!这就是数学基本思想、数这就是数学基本思想、数学基本活动经验的力量!学基本活动经验的力量!27几何性质的分类几何性质的分类几何学的基本研究对象可分为两类:物体的形几何学的基本研究对象可分为两类:物体的形状、物体的状、物体的位置,它们的特征就是性质。位置,它们的特征就是性质。几何图形的几何图形的形状形状:通过它的组成元素的形状及:通过它的组成元素的形状及
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