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1 第第3章章 复合运动复合运动3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动绝对运动、相对运动、牵连运动3.2 变矢量的绝对导数与相对导数变矢量的绝对导数与相对导数 3.3 点的复合运动的分析解法点的复合运动的分析解法（不要求）（不要求）3.3.1 动点的运动方程动点的运动方程 3.3.2 动点的速度和加速度合成的解析表达式动点的速度和加速度合成的解析表达式 3.4 点的复合运动的矢量解法点的复合运动的矢量解法 3.4.1 速度合成定理速度合成定理 3.4.2 加速度合成定理加速度合成定理3.5 刚体的复合运动刚体的复合运动（不作为重点内容，简单介绍）（不作为重点内容，简单介绍）3.5.1 刚体平面运动的角速度合成定理刚体平面运动的角速度合成定理 3.5.2 刚体平面运动可分解为平移和转动刚体平面运动可分解为平移和转动 3.5.3 某类刚体的平面运动分解为两个转动某类刚体的平面运动分解为两个转动 作业作业 3.6 3.7 3.8 3.9 3.11 3.15 3.18 3.19 3.21 3.22 9学时速度分析加速度分析12024/6/17 周一2 本章主要内容：本章主要内容：第第3章章 复合运动复合运动物体的运动具有相对性。对于同一物体，若选取的参考空间不同，则其运动状态也就不同。学习本章的意义：学习本章的意义：在前面的章节中，对物体运动的研究都是在同一个参考空间中进行的。本章将在两个不同的参考空间中讨论同一物体的运动，并给出物体在这两个参考空间中的运动量之间的数学关系式。物体相对于甲空间的运动可视为其相对于乙空间的运动和乙空间相对于甲空间运动的复合运动。本章介绍复合运动的基本知识。复合运动是研究刚体复杂运动的重要基础。22024/6/17 周一3 第第3 3章章 复合运动复合运动 3.1 绝对运动绝对运动 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 1.基本概念基本概念 定参考系（定系）动参考系（动系）绝对运动 相对运动 牵连运动 2.举例说明举例说明 直升飞机车轮运动吊车飞机螺旋桨偏心凸轮车轮上的点的运动32024/6/17 周一4 3.复合运动复合运动 研究对象在不同的参考空间中的运动状态是不同的。这种差别是由于动系相对于定系有运动，即存在牵连运动所导致牵连运动所导致的。如果没有牵连运动，研究对象的绝对运动和相对运动就没有任何差别。如果物体作相对运动的同时还存在牵连运动，两种运动的结果就是在定系中所看到的运动。换言之，当已知研究对象的相对运动及牵连运动，则研究对象的绝对运动必为某一确定的运动。这说明研究对象的绝对运动可视为其相对运动和牵连运动的合成运动，通常将这种合成运动称为复合运动复合运动。42024/6/17 周一5 结论：结论：物体（点或刚体）的相对运动与其随同动系的牵连运动合成为物体的绝对运动，或者说，物体的绝对运动可分解为物体的相对运动和其随同动系的牵连运动。注意：物体运动的合成与分解是在两个有相对运动的不同的参考空间中进行的，因此，必须明确研究对象、动参考系和定参考系。4.运动合成与分解的应用运动合成与分解的应用（1）某些工程机构，只有用上述方法才能求出机构中各构件的运动关系；（2）实际问题需要在不同的参考空间研究物体的运动。这种利用动系和定系来分析运动的方法（或运动的合成与分解），不仅在工程技术上有广泛应用，而且还是在非惯性参考系中研究动力学问题的基础。52024/6/17 周一6 3.2 变矢量的绝对导数与相对导数变矢量的绝对导数与相对导数 目的：目的：为了给出绝对与相对速度、加速度的关系，需要在两个相对运动着的参考空间中考察同一个变矢量的变化率。为此，本节引入矢量的绝对导数和相对导数的概念，并研究它们之间的关系。变矢量其变化依赖于所选取的参考空间。定义其中一个空间为定系，另一个空间为动系。定系动系规定：绝对增量绝对增量 ：相对增量相对增量 ：迁移增量迁移增量 ：变矢量 相对定系的增量。变矢量 相对动系的增量。动系相对于定系发生方位的改变，的方位改变而产生的增量。62024/6/17 周一7 绝对导数绝对导数 ：相对导数相对导数 ：推导绝对导数和相对导数之间的关系：推导绝对导数和相对导数之间的关系：限于所学知识，仅讨论动系相对定系作平面运动平面运动情形，对于更复杂的运动复杂的运动，所得结论依然正确。绝对增量 相应的导数为绝对导数。相对增量 相应的导数为相对导数。其中 是由于动系相对定系发生方位改变，造成 的方向改变而产生的增量。在这一变化过程中，矢量 的大小保持时刻t的值不发生变化，因此，当 足够小，即动系作平面运动的角位移 足够小时，由附录I.1知则72024/6/17 周一8 动系相对定系在t时刻的角速度矢量。(3.1)变矢量的绝对导数与相对导数的关系式上式表明：同一变矢量相对不同的参考空间其变化率一般不同，这种差别是由动系方位变化所引起的。动系作平移的特殊情况：当动系作平移时，由于动系无方位改变，其角速度 ，因此在这一特殊情况下，变矢量 的绝对导数与相对导数相等，即(3.2)82024/6/17 周一9 3.4 点的复合运动的矢量解法点的复合运动的矢量解法 3.4.1 动点的运动方程动点的运动方程 (1)确定参考点：定系中任一确定点动系中任一确定点(2)动点M的变化规律：绝对运动方程相对运动方程牵连运动方程点 相对点 的矢径在任意时刻t(3.3)给出了动点的绝对运动方程、相对运动方程以及牵连运动为平面运动时的牵连运动方程。根据点的运动学知识，由此完全可求出该点相对于定系或动系的轨迹、速度、加速度及其在这两个参考系中这些量之间存在的关系。92024/6/17 周一10 3.4.2 动点的速度和加速度动点的速度和加速度 绝对速度绝对速度：动点M相对于定系的速度(3.18)绝对加速度绝对加速度：动点M相对于定系的加速度(3.19)相对速度相对速度：动点M相对于动系的速度(3.20)相对加速度相对加速度：动点M相对于动系的加速度(3.21)绝对导数绝对导数在动系中的相对导数在动系中的相对导数矢量解法的优点：与第二章相类似，对于能构成复合运动的机构，如果需要求系统在某一瞬时某一瞬时的运动学量，这时用分析法求解则比较麻烦，如果用点的速度合成定理和加速度合成定理所给出的矢量公式进行求解则很方便。102024/6/17 周一11 3.4.3 速度合成定理速度合成定理 已知：动点M 动点M相对定系的绝对矢径为动点M相对动系的相对矢径为动空间参考点 的绝对矢径为则(3.3)对时间t求绝对导数，得其中动点M的绝对速度动系参考点 相对定系的绝对速度（相对矢径的绝对速度）动系的角速度112024/6/17 周一12(3.32)定义牵连速度：定义牵连速度：在动空间中对动点M的绝对运动产生直接影响的是此瞬时动系上与动点相此瞬时动系上与动点相重合的点重合的点N。定义重合点N相对定系的绝对速度为牵连速度牵连速度，记作 。则重合点N的绝对速度为当牵连运动为平面运动时，其角速度为 ，(3.33)(3.34)于是速度合成定理速度合成定理（矢量方程式，在任意瞬时均成立）速度合成定理：速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。速度合成定理的适用范围：速度合成定理虽然是在牵连运动为平面运动时推导所得，但当牵连运动为其他形式的刚体运动时，依然成立。122024/6/17 周一13 3.4.4 加速度合成定理加速度合成定理 加速度合成关系的推导：加速度合成关系的推导：定义定义牵连加速度牵连加速度：当动系作平面运动时，动系上与动点重合点N的绝对加速度，定义为牵连加速度。(3.35)则(3.36)牵连速度的绝对导数并不等于牵连加速度。132024/6/17 周一14(3.37)相对速度的绝对导数并不等于相对加速度。的产生原因：的产生原因：的产生时由于相对运动和牵连运动同时存在相对运动和牵连运动同时存在的结果。在式(3.36)中，由于相对运动的存在相对运动的存在，在定系中看到的重合点不是动系中的固在定系中看到的重合点不是动系中的固定不变点定不变点，由于重合点的改变而产生了该项附加加速度。在式(3.37)中，由于牵连运动使得相对速度的方向在定系中发生变化牵连运动使得相对速度的方向在定系中发生变化而产生的附加加速度。定义科氏加速度：定义科氏加速度：法国人科里奥利（G.G.Coriolis 17921843）在1835年提出，(3.38)加速度合成定理：加速度合成定理：(3.39)加速度合成定理的矢量公式，在任意瞬时均成立。142024/6/17 周一15 加速度合成定理：加速度合成定理：任一瞬时动点的绝对加速度等于其相对加速度、牵连加速度与科氏加速度的矢量和。适用于任何形式的牵连运动。科氏加速度科氏加速度 的大小和方向：的大小和方向：(1)大小、方向：为 的正向与 正向的夹角；沿 和 组成平面的法向，指向由右手法则决定(如图所示)。(2)特殊情况：当 时，方向由 顺 的转向转 得到。152024/6/17 周一16 当 或 时，一般情况下，得到 ，将 正交分解，(3)综合上述：大小其方向为 顺 的转向转过 (如图所示)时所指方向。162024/6/17 周一17 思思考考以作匀速定轴转动水管中的水滴M为动点，请分析对应于式(3.39)中每一项的物理含义。动点：水管中的水滴M，动系：与水管固连。绝对运动：未知曲线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：随水管的定轴转动的圆周运动。大小方向172024/6/17 周一18 例例3.7 图a所示机构中，曲柄OA以匀角速度 作定轴转动，带动杆AC在套筒B内滑动，套筒B和与其刚性连接的杆BD又可绕B轴转动。已知OA=BD=r，图示瞬时杆OA处于铅垂位置，杆AC与水平线的夹角 ，试求此时点D的速度和加速度。解解(1)运动分析：动点：杆AC上的点B；动系：与BD固连。(2)速度分析：大小方向沿 轴方向投影：动系：动点：杆AC上的点A；与BD固连。教材中改变动点和动系，如何？182024/6/17 周一19 方向沿 轴方向投影：(3)加速度分析：大小方向192024/6/17 周一20 沿 轴方向投影：方向方向202024/6/17 周一21 3.5 刚体的复合运动刚体的复合运动 3.5.1 刚体平面运动的角速度合成公式刚体平面运动的角速度合成公式 设刚体相对于地面固连的空间作平面运动，以刚体的平面图形S代表刚体。，定系：动系：。动系相对于定系作平面运动，图形S相对于动系作平面运动。平面运动方位角随时间的变化规律为任一瞬时各方位角之间有如下关系(3.40)对时间求导数(3.41)角速度转向如图所示绝对角速度相对角速度牵连角速度212024/6/17 周一22 用矢量表示角速度因为在运动过程中(3.42)称为刚体平面运动的角速度合成定理。对式(3.42)求导(3.43)得到角加速度的关系222024/6/17 周一23 3.5.2 刚体平面运动可分解为平移和转动刚体平面运动可分解为平移和转动 动系原点 与图形S上的点A铰接，使动系与点A以相同的规律作平移。图形S的绝对运动绝对运动：平面运动；图形S的相对运动相对运动：绕A轴的定轴转动；图形S的牵连运动牵连运动：与A同规律的平面平移。图形S的平面运动绕A轴的定轴转动与A同规律的平面平移。注意：点A的选取具有任意性。由于牵连运动为平移，所以，平面图形S上任一点B的速度、加速度可由复合运动方法得到：232024/6/17 周一24 点B的相对运动相对运动：以A为圆心，以AB为半径的圆周运动；点B的牵连运动牵连运动：以A同规律的平移。点B的速度为点B的加速度为以上两式正是在第二章中得到的平面图形上两点速度与加速度关系，这些关系现在从复合运动的途径得到的。通过上述的推导可进一步理解公式(2.21)和(2.24)中各项的物理含义。由于刚体的平面运动可以由平移和定轴转动合成得到，因此，通常把平移和定轴转动称作刚体运动的基本形式。242024/6/17 周一25 3.5.3 某类刚体的平面运动可分解为两个某类刚体的平面运动可分解为两个 转动转动 如果平面图形S在运动过程中，其上有一点A到定系中某一固定点O的距离始终保持不变，那么点A在定系中的轨迹是以O为圆心，OA为半径的圆周曲线。对于满足上述条件的平面运动，引入动系和定系：与O,A两点连线固连；定系为动系：动系相对于定系绕O轴作定轴转动，图形S相对于动系绕A轴作定轴转动。刚体的平面运动相对于动系绕A轴的定轴转动（相对运动）随同动系绕O轴的定轴转动（牵连运动）。由于轴O和A相互平行，因此又称这样的平面运动为绕两平行轴转动的合成。252024/6/17 周一26 转动偶转动偶在任意时刻在特殊情况下，任意时刻均有 ，由 得此时刚体的绝对运动为平移，这样的运动称为转动偶转动偶。利用上述定系、动系求解平面图形上任一点B的绝对速度、加速度：各项分析如下图所示：262024/6/17 周一27 272024/6/17 周一